W urnie są \(3\) kule czerwone i \(5\) niebieskich. Z urny losujemy dwa razy bez zwracania po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania:

a) dwóch kul czerwonych,

b) dwóch kul różnych kolorów.

Odpowiedź:      

a) \(\frac{3}{28}\)
b) \(\frac{15}{28}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania kuli czerwonej. W urnie mamy łącznie \(3+5=8\) kul. Początkowe prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej jest równe \(\frac{3}{8}\), a kuli niebieskiej \(\frac{5}{8}\). Jeżeli w pierwszym losowaniu byśmy wylosowali kulę czerwoną, to liczba kul czerwonych spada do \(2\) sztuk, a łącznie wszystkich kul pozostanie \(7\). Na podstawie tych obserwacji możemy zbudować proste drzewko: Nas interesuje tylko ten przypadek, w którym losujemy dwie czerwone kule. To oznacza, że prawdopodobieństwo wystąpienia takiego zdarzenia będzie równe: $$P=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$$ Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania kul różnych kolorów. Sytuacja jest bardzo podobna do tej z poprzedniego podpunktu, tylko po prostu inne gałęzie drzewka będą nas interesować. Pasuje nam zarówno wylosowanie najpierw kuli czerwonej, a potem niebieskiej, jak i najpierw niebieskiej, a potem czerwonej. Stąd też prawdopodobieństwa obydwu tych sytuacji będziemy musieli do siebie dodać: $$P=\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7}+\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania