Dane są wielomiany \(P(x)=-2x^3+3x^2-1\), \(Q(x)=2x^2-x-1\) oraz \(W(x)=ax+b\). Wyznacz współczynniki \(a\) i \(b\), tak aby wielomian \(P(x)\) był równy iloczynowi \(W(x)\cdot Q(x)\).

Odpowiedź:      

\(a=-1\) oraz \(b=1\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wymnożenie wielomianów \(W(x)\) oraz \(Q(x)\). Skoro iloczyn \(W(x)\cdot Q(x)\) ma być równy \(P(X)\) to poznajmy na początku wartość tego iloczynu: $$W(x)\cdot Q(x)=(ax+b)\cdot(2x^2-x-1)= \           ,\ =2ax^3-ax^2-ax+2bx^2-bx-b= \           ,\ =2ax^3-ax^2+2bx^2-ax-bx-b= \           ,\ =2ax^3+(-a+2b)x^2+(-a-b)x-b$$ Krok 2. Przyrównanie wielomianu \(P(x)\) do otrzymanego wyniku iloczynu. Zgodnie z treścią zadania nasz wielomian \(P(x)\) jest równy dokładnie temu, co obliczyliśmy w pierwszym kroku. To pozwoli nam poznać wartości współczynników \(a\) oraz \(b\) bo możemy przyrównać do siebie poszczególne fragmenty tych wielomianów, a konkretniej wartości stojące przed \(x^3\), przed \(x^2\), przed \(x\) oraz wyrazy wolne: W wielomianie \(P(x)\) przed \(x^3\) mamy liczbę \(-2\). W iloczynie przed \(x^3\) otrzymaliśmy \(2a\). Zatem: $$-2=2a \           ,\ a=-1$$ W wielomianie \(P(x)\) przed \(x^2\) mamy liczbę \(3\). W iloczynie przed \(x^2\) otrzymaliśmy \(-a+2b\). Wartość \(a\) już znamy, zatem: $$3=-a+2b \           ,\ 3=-(-1)+2b \           ,\ 3=1+2b \           ,\ 2=2b \           ,\ b=1$$ Dalej już porównywać nie musimy, bo z dwóch pierwszych porównań wyszło nam, że \(a=-1\) oraz \(b=1\).

Teoria:      
W trakcie opracowania