Wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\) przesunięto o cztery jednostki w prawo i otrzymano wykres funkcji \(g(x)\). Wyznacz zbiór wszystkich argumentów \(x\), dla których funkcja \(g(x)\) przyjmuje wartości większe od \(2\).

Odpowiedź:      

\(x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty)\)

Rozwiązanie:      
I sposób - korzystając z rysunku: Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Narysujmy sobie wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\) oraz funkcję \(g(x)\), będącą przesunięciem funkcji \(f(x)\) o cztery jednostki w prawo: Krok 2. Odczytanie rozwiązania zadania. Z rysunku wynika, że funkcja \(g(x)\) przyjmuje wartości większe od \(2\) dla: $$x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty)$$ II sposób - korzystając ze wzoru funkcji: Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji \(g(x)\). Przesunięcie funkcji o cztery jednostki w prawo powoduje, że we wzorze funkcji wartość stojącą przy iksie musimy pomniejszyć o \(4\). To oznacza, że \(g(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2\). Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie nierówności kwadratowej. Musimy odpowiedzieć na pytanie kiedy nasza funkcja przyjmuje wartości większe od \(2\), czyli kiedy zajdzie nierówność: $$\frac{1}{2}(x-4)^2\gt2$$ Najprościej będzie chyba wymnożyć obydwie strony przez \(2\) i doprowadzić nierówność do postaci ogólnej z której potem obliczymy deltę: $$\frac{1}{2}(x-4)^2\gt2 \quad\bigg/\cdot2 \           ,\ (x-4)^2\gt4 \           ,\ x^2-8x+16\gt4 \           ,\ x^2-8x+12\gt0$$ Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=12\) $$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot12=64-48=16 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-4}{2\cdot1}=\frac{8-4}{2}=\frac{4}{2}=2 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+4}{2\cdot1}=\frac{8+4}{2}=\frac{12}{2}=6$$ Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli. Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli: Punkty \(x=2\) oraz \(x=6\) mają niezamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\). Krok 4. Odczytanie rozwiązania. Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe od zera dla \(x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty)\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Teoria:      
W trakcie opracowania