W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, którego krawędź podstawy ma długość \(a\), pole powierzchni bocznej jest \(8\) razy większe od pola podstawy. Objętość tego graniastosłupa wynosi:

A \(8a^3\)
B \(2a^3\)
C \(\frac{a^3}{32}\)
D \(\frac{2}{3}a^3\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie pola podstawy. Graniastosłup jest prawidłowy, więc w podstawie musi znaleźć się figura foremna, a skoro jest to graniastosłup czworokątny, to w podstawie będziemy mieć kwadrat. Wiemy, że bok kwadratu ma długość \(a\), zatem: $$P_{p}=a^2$$ Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej. Wiemy, że pole powierzchni bocznej jest \(8\) razy większe od pola podstawy, zatem: $$P_{b}=8a^2$$ Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa. W graniastosłupie mamy cztery prostokątne ściany. Wiemy, że pole powierzchni bocznej (czyli pole wszystkich ścian bocznych) jest równe \(8a^2\). To oznacza, że pojedyncza ściana będzie mieć powierzchnię: $$P_{śb}=8a^2:4 \           ,\ P_{śb}=2a^2$$ Pojedyncza ściana boczna jest prostokątem w którym jeden bok jest taki jak krawędź podstawy, czyli ma długość \(a\), a drugi bok jest wysokością graniastosłupa. Skoro pole pojedynczej ściany ściany bocznej ma wynosić \(2a^2\), to: $$P_{śb}=a\cdot H \           ,\ 2a^2=a\cdot H \           ,\ H=2a$$ Krok 4. Obliczenie objętości. Podstawiając do wzoru na objętość graniastosłupa znane nam dane otrzymamy: $$V=P_{p}\cdot H \           ,\ V=a^2\cdot2a \           ,\ V=2a^3$$

Teoria:      
W trakcie opracowania