Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\), a tworząca tego stożka ma długość \(4\). Objętość tego stożka jest równa:

A \(36π\)
B \(18π\)
C \(24π\)
D \(8π\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. Skoro kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\), to znaczy że powstanie nam mniej więcej coś takiego: Udało nam się wyodrębnić trójkąt prostokątny, tak więc znając miary poszczególnych kątów oraz znając miarę tworzącej stożka jesteśmy w stanie obliczyć wysokość i promień stożka przy użyciu funkcji trygonometrycznych. Możemy także skorzystać z własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\). Krok 2. Obliczenie długości promienia stożka. Zgodnie z zasadami trygonometrii: $$\frac{r}{4}=cos30° \           ,\ \frac{r}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2} \           ,\ r=2\sqrt{3}$$ Krok 3. Obliczenie wysokości stożka. Ponownie użyjemy funkcji trygonometrycznych, tym razem sinusa: $$\frac{h}{4}=sin30° \           ,\ \frac{h}{4}=\frac{1}{2} \           ,\ h=2$$ Krok 4. Obliczenie objętości bryły. Znając długość promienia podstawy oraz wysokość stożka możemy bez przeszkód obliczyć jego objętość: $$V=\frac{1}{3}πr^2h \           ,\ V=\frac{1}{3}π\cdot(2\sqrt{3})^2\cdot2 \           ,\ V=\frac{1}{3}π\cdot4\cdot3\cdot2 \           ,\ V=\frac{1}{3}π\cdot24 \           ,\ V=8π$$

Teoria:      
W trakcie opracowania