W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) są dane: \(a_{2}=-1, q=-2\). Suma czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

A \(2,5\)
B \(-7,5\)
C \(-2,5\)
D \(7,5\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Znając wartość drugiego wyrazu oraz iloraz ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu. $$a_{2}=a_{1}\cdot q \           ,\ -1=a_{1}\cdot(-2) \           ,\ a_{1}=\frac{1}{2}$$ Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów. Teoretycznie możemy w podobny sposób obliczyć jeszcze wartości trzeciego i czwartego wyrazu, wtedy bez problemu obliczymy sumę czterech wyrazów, ale możemy też skorzystać z następującego wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów: $$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\ S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-(-2)^{4}}{1-(-2)} \           ,\ S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-16}{3} \           ,\ S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{-15}{3} \           ,\ S_{4}=\frac{1}{2}\cdot(-5) \           ,\ S_{4}=-2,5$$

Teoria:      
W trakcie opracowania