Wariancja i odchylenie standardowe

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na wariancję:
$$σ^2=\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+...+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2$$

Występujące we wzorze \(\bar{a}\) to średnia arytmetyczna, którą musimy teraz policzyć:
$$\bar{a}=\frac{1+3+5+3}{4}$$ $$\bar{a}=\frac{12}{4}$$ $$\bar{a}=3$$

Krok 2. Obliczenie wariancji.
Podstawiając dane do wzoru na wariancję, otrzymamy:
$$σ^2=\frac{1^2+3^2+5^2+3^2}{4}-3^2$$ $$σ^2=\frac{1+9+25+9}{4}-9$$ $$σ^2=\frac{44}{4}-9$$ $$σ^2=11-9$$ $$σ^2=2$$

Wariancja to jest właśnie \(σ^2\) (nie musimy więc wyciągać pierwiastka), zatem wariancja jest równa \(2\).

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
W naszym zestawie mamy \(m\) dwójek i \(m\) czwórek. To oznacza, że średnia arytmetyczna tego zestawu danych jest równa:
$$\bar{a}=\frac{2m+4m}{m+m}$$ $$\bar{a}=\frac{6m}{2m}$$ $$\bar{a}=3$$

Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.
Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób:
Korzystając ze wzoru \(\begin{split}σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2+(x_{2}-\bar{a})^2+...+(x_{n}-\bar{a})^2}{n}\end{split}\) otrzymamy:
$$σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2\cdot m+(x_{2}-\bar{a})^2\cdot m}{2m}$$ $$σ^2=\frac{(2-3)^2\cdot m+(4-3)^2\cdot m}{2m}$$ $$σ^2=\frac{(2-3)^2\cdot m+(4-3)^2\cdot m}{2m}$$ $$σ^2=\frac{(-1)^2\cdot m+(1)^2\cdot m}{2m}$$ $$σ^2=\frac{m+m}{2m}$$ $$σ^2=1$$

II sposób:
Korzystając ze wzoru \(\begin{split}σ^2=\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+...+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2\end{split}\) otrzymamy:
$$σ^2=\frac{{x_{1}}^2\cdot m+{x_{2}}^2\cdot m}{2m}-(\bar{a})^2$$ $$σ^2=\frac{2^2\cdot m+4^2\cdot m}{2m}-3^2$$ $$σ^2=\frac{4m+16m}{2m}-9$$ $$σ^2=\frac{20m}{2m}-9$$ $$σ^2=10-9$$ $$σ^2=1$$

Krok 3. Obliczenie odchylenia standardowego.
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji, zatem:
$$σ=\sqrt{1}=1$$

Odchylenie standardowe możemy obliczyć korzystając np. ze wzoru:
\(\begin{split}σ=\sqrt{\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+...+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2}\end{split}\)

Musielibyśmy więc obliczyć średnią arytmetyczną dla każdego ucznia (to jest to właśnie \(\bar{a}\) znajdujące się we wzorze), a następnie musielibyśmy podstawiać do tego wzoru poszczególne oceny. Jest to dość sporo liczenia, ale tak przykładowo dla Ady obliczenia wyglądałyby następująco:
$$\bar{a}=\frac{4+4+4+5+5}{5}$$ $$\bar{a}=\frac{22}{5}$$ $$\bar{a}=4,4$$

Odchylenie standardowe wyniosłoby więc:
$$σ=\sqrt{\frac{4^2+4^2+4^2+5^2+5^2}{5}-(4,4^2)}$$ $$σ=\sqrt{\frac{16+16+16+25+25}{5}-19,36}$$ $$σ=\sqrt{\frac{98}{5}-19,36}$$ $$σ=\sqrt{\frac{98}{5}-19,36}$$ $$σ=\sqrt{19,6-19,36}$$ $$σ=\sqrt{0,24}$$ $$σ\approx0,49$$

Jednak do tego zadania powinniśmy podejść nieco inaczej. To zadanie tak prawdę mówiąc bardziej sprawdza to, czy rozumiemy czym jest odchylenie standardowe. Powinniśmy zauważyć, że odchylenie standardowe jest tym większe im bardziej poszczególne liczby odstają od średniej. Oceny Ady, Basi i Czarka są niemalże jednolite. Oceny Darka są już bardziej "rozstrzelone", bo Darek ma same skrajne oceny. To sprawia, że każda z ocen będzie mocno odstawać od średniej arytmetycznej i tym samym odchylenie standardowe będzie tutaj bardzo wysokie. To właśnie dlatego bez żadnego liczenia możemy powiedzieć, że odchylenie standardowe ocen Darka będzie zdecydowanie największe.

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Do obliczenia odchylenia standardowego przyda nam się znajomość średniej arytmetycznej, zatem:
$$\bar{a}=\frac{1+4+1+5+9+2+1+1}{8}=\frac{24}{8}=3$$

Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.
Odchylenie standardowe możemy obliczyć w następujący sposób:
$$σ=\sqrt{\frac{1^2+4^2+1^2+5^2+9^2+2^2+1^2+1^2}{8}-3^2}$$ $$σ=\sqrt{\frac{1+16+1+25+81+4+1+1}{8}-3^2}$$ $$σ=\sqrt{\frac{1+16+1+25+81+4+1+1}{8}-9}$$ $$σ=\sqrt{\frac{130}{8}-9}$$ $$σ=\sqrt{\frac{130}{8}-9}$$ $$σ=\sqrt{16,25-9}$$ $$σ=\sqrt{7,25}$$ $$σ\approx2,69$$

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Aby obliczyć wartość średniej arytmetycznej musimy dodać do siebie wartość wszystkich zdobytych ocen i podzielić ją przez liczbę wszystkich uczniów:
$$\bar{a}=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot9+1\cdot2}{1+2+6+5+9+2}=\frac{75}{25}=3$$

Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.
Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób:
$$σ^2=\frac{(6-3)^2\cdot1+(5-3)^2\cdot2+(4-3)^2\cdot6+(3-3)^2\cdot5+(2-3)^2\cdot9+(1-3)^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}=$$ $$=\frac{3^2\cdot1+2^2\cdot2+1^2\cdot6+0^2\cdot5+(-1)^2\cdot9+(-2)^2\cdot2}{25}=$$ $$=\frac{9\cdot1+4\cdot2+1\cdot6+0\cdot5+1\cdot9+4\cdot2}{25}=$$ $$=\frac{9+8+6+0+9+8}{25}=\frac{40}{25}=1,6$$

II sposób:
$$σ^2=\frac{6^2\cdot1+5^2\cdot2+4^2\cdot6+3^2\cdot5+2^2\cdot9+1^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}-(\bar{a})^2=$$ $$=\frac{36\cdot1+25\cdot2+16\cdot6+9\cdot5+4\cdot9+1\cdot2}{25}-3^2=$$ $$=\frac{36+50+96+45+36+2}{25}-9=\frac{265}{25}-9=10,6-9=1,6$$

Uwaga! Nie musimy pierwiastkować otrzymanego wyniku! Wariancję po prostu oznacza się jako \(σ^2\), a nie jako \(σ\), stąd też wynik \(1,6\) jest naszym wynikiem końcowym.

a) Średnia.

\(\bar{x}=\dfrac{16\cdot1+18\cdot15+19\cdot24+20\cdot68+21\cdot26+22\cdot16}{150}\),

\(\bar{x}=\dfrac{16+270+456+1360+546+352}{150}=\dfrac{3000}{150}=20\) dag.

Wariancja.

\((16-20)^2\cdot1=16\), \(\ (18-20)^2\cdot15=60\), \(\ (19-20)^2\cdot24=24\),

\((20-20)^2\cdot68=0\), \(\ (21-20)^2\cdot26=26\), \(\ (22-20)^2\cdot16=64\).

Suma: \(190\), zatem \(\sigma^2=\dfrac{190}{150}=\dfrac{19}{15}\approx1{,}2667\).

Odchylenie standardowe.

\(\sigma=\sqrt{\dfrac{19}{15}}\approx1{,}13\) dag.

b) Średnia masa wynosi dokładnie 20 dag, czyli jest równa masie nominalnej — pierwszy warunek jest spełniony. Jednak odchylenie standardowe

\(\sigma\approx1{,}13>1\) dag,

więc drugi warunek nie jest spełniony.

Odpowiedź: kontrola zakładu nie wypadła pozytywnie.

Z diagramu odczytujemy: 12 pracowników zarabia 400 euro, 6 pracowników — 480 euro, 2 pracowników — 540 euro. Łącznie \(n=12+6+2=20\) osób.

a) Średnia (ważona).

\(\bar{x}=\dfrac{12\cdot400+6\cdot480+2\cdot540}{20}=\dfrac{4800+2880+1080}{20}=\dfrac{8760}{20}=438\) euro.

b) Wariancja.

\((400-438)^2\cdot12=1444\cdot12=17328\),

\((480-438)^2\cdot6=1764\cdot6=10584\),

\((540-438)^2\cdot2=10404\cdot2=20808\).

Suma: \(48720\), zatem

\(\sigma^2=\dfrac{48720}{20}=2436\).

Odchylenie standardowe.

\(\sigma=\sqrt{2436}\approx49{,}36\approx49{,}4\) euro.

a) Diagram słupkowy: nad wartościami \(1,2,3,4\) na osi poziomej rysujemy słupki o wysokościach odpowiednio \(5,\ 10,\ 15,\ 10\) (liczba uczniów).

b) Średnia. Liczba wszystkich uczniów:

\(n=5+10+15+10=40\).

Średnia ważona:

\(\bar{x}=\dfrac{1\cdot5+2\cdot10+3\cdot15+4\cdot10}{40}=\dfrac{5+20+45+40}{40}=\dfrac{110}{40}=2{,}75\).

c) Wariancja i odchylenie standardowe.

\((1-2{,}75)^2\cdot5=3{,}0625\cdot5=15{,}3125\),

\((2-2{,}75)^2\cdot10=0{,}5625\cdot10=5{,}625\),

\((3-2{,}75)^2\cdot15=0{,}0625\cdot15=0{,}9375\),

\((4-2{,}75)^2\cdot10=1{,}5625\cdot10=15{,}625\).

Suma: \(37{,}5\), zatem

\(\sigma^2=\dfrac{37{,}5}{40}=0{,}9375\approx0{,}94\),

\(\sigma=\sqrt{0{,}9375}\approx0{,}9682\approx0{,}97\).