Mediana i dominanta

Zadanie 1.
Dominanta to wartość, która występuje najczęściej. Z wykresu możemy odczytać, że najwięcej osób zarabia \(4\) tysiące złotych. To oznacza, że dominanta miesięcznych zarobków wynosi \(4\) tys. zł ponieważ tę wartość zarobków osiąga najwięcej osób w firmie \(F\).

Zadanie 2.
Krok 1. Obliczenie liczby pracowników.
Aby poznać liczbę pracowników tej firmy, musimy zsumować liczbę osób pobierających dane wynagrodzenie (np. \(1\) osoba zarabia \(1,5\) tysiąca, \(1\) osoba zarabia \(2\) tysiące, \(4\) osoby zarabiają \(2,5\) tysiąca itd.). To oznacza, że tych pracowników będziemy mieć:
$$1+1+4+7+10+14+13+9+6+3+2+1+1+1+2=75$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Mamy nieparzystą liczbę pracowników, a to oznacza, że mediana będzie równa tak zwanej środkowej wartości. W przypadku ciągu \(75\)-elementowego, środkową wartością będzie pensja numer \(38\).

Teoretycznie powinniśmy teraz wypisać wszystkie zarobki w ciągu niemalejącym (od najmniejszej do największej wypłaty) i wybrać tę, która będzie trzydziesta ósma w kolejności. Oczywiście nie będziemy zapisywać po kolei tych wszystkich pensji - wystarczy zauważyć, że \(1+1+4+7+10+14=37\) osób zarabia \(4\) tysiące lub mniej. Nas interesują zarobki \(38.\) osoby, a te wynoszą w takim razie \(4,5\) tysiąca złotych. Stąd też mediana zarobków wynosi właśnie \(4,5\) tysiąca złotych.

Zadanie 3.
Osób zarabiających \(5,5\) tysiąca złotych lub mniej mamy:
$$1+1+4+7+10+14+13+9+6=65$$

Wszystkich pracowników mamy \(75\), więc ci zarabiający \(5,5\) tys. zł lub mniej stanowią:
$$\frac{65}{75}\cdot100\%=86\frac{2}{3}\%$$

Zadanie 4.
Aby obliczyć średnią, musimy zsumować wszystkie wynagrodzenia i podzielić to przez liczbę wszystkich pracowników. Suma wszystkich wynagrodzeń będzie równa:
$$1\cdot1,5+1\cdot2+4\cdot2,5+7\cdot3+10\cdot3,5+14\cdot4+13\cdot4,5+$$ $$+9\cdot5+6\cdot5,5+3\cdot6+2\cdot6,5+1\cdot7+1\cdot7,5+1\cdot8,5+2\cdot10=$$ $$=1,5+2+10+21+35+56+58,5+45+33+18+13+7+7,5+8,5+20=336$$

Wiemy już, że mamy \(75\) pracowników, zatem średnia będzie równa:
$$śr=\frac{336}{75}$$ $$śr=4,48$$

Średnia pensja wynosi więc \(4480zł\).

Krok 1. Uporządkowanie liczb w porządku niemalejącym.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować liczby w porządku rosnącym (a precyzyjniej w porządku niemalejącym). Teoretycznie wydaje się to trudne, bo w trzech liczbach mamy niewiadomą \(x\), ale skoro liczba \(x\) jest dodatnia, to na pewno \(1\) jest tą liczbą najmniejszą, a \(4+3x\) jest największą. Nasz uporządkowany zestaw będzie wyglądał następująco:
$$1; \quad 1+x; \quad 1+2x; \quad 4+3x$$

Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Mamy parzystą ilość wyrazów, zatem mediana jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów środkowych, czyli \(1+x\) oraz \(1+2x\). Mediana jest równa \(10\), zatem możemy zapisać, że:
$$\frac{1+x+1+2x}{2}=10$$ $$\frac{3x+2}{2}=10$$ $$3x+2=20$$ $$3x=18$$ $$x=6$$

Z treści zadania wynika, że mamy \(64\) osoby, czyli jest to parzysta liczba. To oznacza, że jak uporządkujemy wyniki zapisane w tabeli, to medianą będzie średnia arytmetyczna między wynikiem osoby numer \(32\) oraz \(33\).

Aby dobrze sobie uzmysłowić tę sytuację to możemy powiedzieć, że zestaw liczb z którego chcemy policzyć medianę wygląda mniej więcej w ten sposób:
$$0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,...,5,5,5$$

Nas interesuje wartość wyrazu numer \(32\) oraz \(33\). Oczywiście nie będziemy wypisywać ponad trzydziestu liczb. Wystarczy zauważyć, że osób które mają \(0\), \(1\), \(2\) lub \(3\) lata nauki mamy \(11+6+5+10=32\). To prowadzi nas do wniosku, że trzydziesta druga osoba ma \(3\) lata nauki, a trzydziesta trzecia ma \(4\) lata. Skoro tak, to mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}$$ $$m=\frac{7}{2}$$ $$m=3,5$$

Aby wyznaczyć medianę, musimy najpierw dowiedzieć się ile ocen zdobył nasz uczeń. Sumując wyniki z diagramu otrzymamy informację, że tych ocen jest:
$$2+6+5+2+1=16$$

Jest to parzysty wynik, zatem mediana będzie równa średniej arytmetycznej wartości środkowych wyrazów. W tym przypadku będzie to średnia arytmetyczna ósmej i dziewiątej oceny.

Podczas wyznaczania mediany musimy uporządkować wszystkie liczby w ciągu niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Nie musimy jednak wypisywać wszystkich ocen po kolei. Widzimy, że skoro uczeń ma dwie dwójki i sześć trójek, ósmą oceną w tym ciągu jest właśnie trójka, a dziewiątą będzie już czwórka. W związku z tym mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}$$ $$m=\frac{7}{2}$$ $$m=3,5$$

Nasz zestaw składa się z \(10\) liczb. Mediana jest w takim razie średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów, czyli piątego i szóstego. Na pierwszy rzut oka widać, że zestaw liczb jest uporządkowany od najmniejszego do największego, aczkolwiek musimy być ostrożni, bo nie wiemy przecież jaka jest wartość \(x\) (równie dobrze \(x\) może być najmniejszą lub największą liczbą w tym zestawie). Nie mniej jednak widzimy, że gdyby \(x\) przybierał wartość np. równą \(12\), to mediana

Mamy uporządkowany (od najmniejszej do największej) zestaw \(10\) liczb. Piątym wyrazem jest \(x\), szóstym jest \(4\), a mediana ma być równa \(3,5\), zatem:
$$\frac{x+4}{2}=3,5$$ $$x+4=7$$ $$x=3$$

To oznacza, że średnia arytmetyczna tego zestawu jest równa:
$$śr=\frac{1+1+2+2+3+4+6+7+9+11}{10}$$ $$śr=\frac{46}{10}$$ $$śr=4,6$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Korzystając z informacji, że średnia tych ośmiu liczb jest równa \(9\) możemy zapisać, że:
$$\frac{x+2+4+6+8+10+12+14}{8}=9$$ $$\frac{x+56}{8}=9$$ $$x+56=72$$ $$x=16$$

Krok 2. Uporządkowanie wszystkich wyrazów.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany koniecznie musimy ustawić wszystkie wyniki w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej liczby do największej):
$$2,4,6,8,10,12,14,16$$

Krok 3. Wyznaczenie mediany.
Z racji tego, iż jest parzysta liczba wszystkich wyrazów (jest ich dokładnie osiem), to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (czyli wyrazu czwartego i piątego), zatem:
$$m=\frac{8+10}{2}$$ $$m=\frac{18}{2}$$ $$m=9$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Korzystając z informacji o tym, że średnia arytmetyczna naszych sześciu liczb jest równa \(4\) możemy zapisać, że:
$$\frac{2+3+4+5+6+x}{6}=4$$ $$\frac{20+x}{6}=4$$ $$20+x=24$$ $$x=4$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Aby przystąpić do liczenia mediany musimy uporządkować nasze liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej):
$$2,3,4,4,5,6$$

Mamy parzystą ilość liczb, zatem mediana będzie równa średniej arytmetycznej środkowych wyrazów. U nas środkowymi wyrazami są \(4\) oraz \(4\), zatem:
$$m=\frac{4+4}{2}$$ $$m=\frac{8}{2}$$ $$m=4$$

Krok 1. Uporządkowanie zestawu liczb.
Aby rozpocząć jakiekolwiek obliczenia związane z medianą, musimy uporządkować ten zbiór i ustawić liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). W związku z tym nasz zbiór będzie wyglądał następująco:
$$1, 2, 4, 6, 8, 8, 8$$

Krok 2. Obliczenie bieżącej mediany.
Nasz zestaw liczby \(7\) liczb, więc medianą będzie po prostu środkowy wyraz. W tym przypadku środkowym wyrazem jest \(6\), zatem mediana jest równa \(6\).

Krok 3. Ustalenie, którą liczbę usunięto.
Wiemy, że z naszego zestawu usunięto jedną liczbę, zatem nowy zestaw ma już tylko \(6\) liczb. To oznacza, że nową medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów. Z treści zadania wynika, że po usunięciu tej liczby mediana zmniejszyła się o \(1\), czyli wynosi \(5\).

To prowadzi nas do wniosku, że środkowymi wyrazami muszą być \(4\) oraz \(6\), bo wtedy \(m=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5\). Aby \(4\) oraz \(6\) były środkowymi liczbami, to z zestawu musimy usunąć jedną z ósemek i taka też będzie nasza odpowiedź.

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Mamy dziesięć liczb, z czego cztery kryją się pod niewiadomą \(x\). Gdyby te niewiadome liczby były zapisane np. jako \(a,b,c,d\) to moglibyśmy przypuszczać, że każda z tych liczb jest różna. Skoro jednak wszystkie niewiadome uzyskały ten sam symbol \(x\) to jest to dla nas znak, że pod każdą z tych liczb kryje się ta sama wartość i my ją sobie teraz wyznaczymy.

Korzystając zatem ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy zapisać, że:
$$\frac{3+10+5+x+x+x+x+12+19+7}{10}=12$$ $$\frac{56+4x}{10}=12$$ $$56+4x=120$$ $$4x=64$$ $$x=16$$

Krok 2. Zapisanie liczb w porządku niemalejącym.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany musimy uporządkować te liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Otrzymamy zatem następującą sytuację:
$$3,5,7,10,12,16,16,16,16,19$$

Krok 3. Obliczenie mediany.
Mamy parzystą ilość liczb, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną wartości środkowych wyrazów. W tym przypadku skoro mamy \(10\) liczb, to mediana będzie średnią arytmetyczną wartości piątej i szóstej liczby, czyli:
$$m=\frac{12+16}{2}$$ $$m=\frac{28}{2}$$ $$m=14$$

Wiemy, że nasz zestaw danych jest uporządkowany. Zestaw ma parzystą ilość wyrazów, zatem medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów. W tym przypadku środkowymi wyrazami są właśnie \(a\) oraz \(b\). Wiemy, że mediana musi być równa \(7,5\), zatem:
$$\frac{a+b}{2}=7,5$$ $$a+b=15$$

To oznacza, że szukamy takich liczb \(a\) oraz \(b\), których suma daje wynik równy \(15\) (biorąc oczywiście pod uwagę fakt, że jedna i druga liczba musi być większa lub równa \(6\) i mniejsza lub równa \(8\)). Pasującą parą liczb będzie w takim razie ta z ostatniej odpowiedzi, czyli \(a=7, b=8\) bo tylko tutaj suma liczb jest równa \(15\).

Krok 1. Zapisanie ocen w porządku niemalejącym.
Aby przystąpić do obliczenia mediany musimy ułożyć oceny od najmniejszej do największej, zatem:
$$2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,6,6$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Wszystkich ocen mamy łącznie \(2+3+5+5+1=16\). To oznacza, że mediana będzie średnią arytmetyczną ósmej i dziewiątej oceny zapisanej w ciągu z kroku pierwszego. Ósmą i dziewiątą oceną jest czwórka, zatem:
$$m=\frac{4+4}{2}$$ $$m=\frac{8}{2}$$ $$m=4$$

Krok 1. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Mamy sześć cyfr i ich średnia arytmetyczna jest równa \(6\). Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy zapisać, że:
$$\frac{5+8+1+3+x+8}{6}=6$$ $$\frac{25+x}{6}=6$$ $$25+x=36$$ $$x=11$$

Krok 2. Uporządkowanie wszystkich liczb.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować liczby w porządku niemalejącym, czyli w kolejności od najmniejszej do największej, zatem:
$$1,3,5,8,8,11$$

Krok 3. Wyznaczenie mediany.
Mamy sześć liczb, czyli jest to parzysta ilość wyrazów. To oznacza, że medianą jest średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów, zatem:
$$m=\frac{5+8}{2}$$ $$m=\frac{13}{2}$$ $$m=6,5$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Korzystając z informacji, że średnia tych ośmiu liczb jest równa \(9\) możemy zapisać, że:
$$\frac{x+2+4+6+8+10+12+14}{8}=9$$ $$\frac{x+56}{8}=9$$ $$x+56=72$$ $$x=16$$

Krok 2. Uporządkowanie wszystkich wyrazów.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany koniecznie musimy ustawić wszystkie wyniki w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej liczby do największej):
$$2,4,6,8,10,12,14,16$$

Krok 3. Wyznaczenie mediany.
Z racji tego, iż jest parzysta liczba wszystkich wyrazów (jest ich dokładnie osiem), to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (czyli wyrazu czwartego i piątego), zatem:
$$m=\frac{8+10}{2}$$ $$m=\frac{18}{2}$$ $$m=9$$

Aby obliczyć medianę musimy uporządkować liczby w kolejności rosnącej. Uporządkujmy zatem te wartości, które znamy:
$$1,4,7,9,9$$

Jeżeli do tego zestawu dodamy liczbę \(x\) to nasz zestaw będzie mieć \(6\) liczb. W związku z tym mediana będzie średnią arytmetyczną między trzecim i czwartym wyrazem. Już po wstępnej analizie powinniśmy dostrzec, że ta mediana będzie równa \(8\) w sytuacji w której \(x\) jest liczbą większą lub równą \(9\), ale jeżeli tego nie widzimy to możemy rozpatrzeć każdy przypadek po kolei:
Dla \(x=8\) mediana będzie równa \(\frac{7+8}{2}=\frac{15}{2}=7,5\)
Dla \(x=4\) mediana będzie równa \(\frac{4+7}{2}=\frac{11}{2}=5,5\)
Dla \(x=7\) mediana będzie równa \(\frac{7+7}{2}=\frac{14}{2}=7\)
Dla \(x=9\) mediana będzie równa \(\frac{7+9}{2}=\frac{16}{2}=8\)

W związku z tym poszukiwaną przez nas liczbą jest \(9\).

Krok 1. Obliczenie średniej ocen Ani.
Na razie policzmy średnią ocen bez niewiadomej oceny \(x\). Mamy pięć znanych ocen, zatem:
$$śr=\frac{5+4+6+5+5}{5}$$ $$śr=\frac{25}{5}$$ $$śr=5$$

Krok 2. Wyznaczenie mediany ocen.
Aby wyznaczyć medianę z pięciu znanych ocen musimy najpierw uszeregować wyniki w porządku niemalejącymi (czyli od najmniejszego do największego). Otrzymamy w ten sposób:
$$4,5,5,5,6$$

Liczba ocen jest nieparzysta, zatem mediana będzie równa wartości środkowego wyrazu, czyli \(m=5\).

Krok 3. Interpretacja wartości niewiadomej \(x\).
Spójrzmy na naszą medianę. Gdybyśmy dopisali jeszcze jedną liczbę, to otrzymamy parzystą ilość liczb, czyli medianę będziemy wyliczać ze średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów. Niezależnie od tego jaką ocenę byśmy Ani dopisali, to środkowymi wyrazami będą \(5\) oraz \(5\), zatem mediana po dodaniu niewiadomej \(x\) będzie i tak równa \(5\).

W związku z tym, skoro średnia arytmetyczna znanych ocen jest równa \(5\), a wiemy że średnia ma być większa od mediany, to niewiadoma \(x\) musi być większa od piątki, czyli to musi być po prostu szóstka. Otrzymamy wtedy:
$$śr=\frac{5+4+6+5+5+6}{6}$$ $$śr=\frac{31}{6}$$ $$śr\approx5,17$$

Krok 1. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Zanim obliczymy medianę musimy poznać wartość niewiadomej \(x\). Zrobimy to układając proste równanie związane ze średnią arytmetyczną:
$$\frac{x+13+7+5+5+3+2+11}{8}=7$$ $$\frac{x+46}{8}=7 \quad\bigg/\cdot8$$ $$x+46=56$$ $$x=10$$

Krok 2. Uporządkowanie liczb i wyznaczenie mediany.
Zanim zaczniemy obliczać medianę musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym:
$$2,3,5,5,7,10,11,13$$

Mamy parzystą liczbę wyrazów, więc medianę wyznaczymy w następujący sposób:
$$m=\frac{5+7}{2}$$ $$m=\frac{12}{2}$$ $$m=6$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Do obliczenia niewiadomej \(x\) skorzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną. Wszystkich liczb (łącznie z niewiadomą \(x\)) mamy osiem, zatem:
$$\frac{3+8+3+11+3+10+3+x}{8}=6$$ $$\frac{41+x}{8}=6$$ $$41+x=48$$ $$x=7$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Aby móc obliczyć medianę musimy najpierw uporządkować wyrazy w kolejności niemalejącej:
$$3, 3, 3, 3, 7, 8, 10, 11$$

Mamy parzystą liczbę wyrazów, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych liczb:
$$m=\frac{3+7}{2}$$ $$m=\frac{10}{2}$$ $$m=5$$

Krok 1. Uporządkowanie w kolejności niemalejącej zarobków pracowników.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany zawsze musimy najpierw uporządkować liczby w porządku niemalejącym, zatem:
$$2000, 2800, 3400, 3600, 4200, 8000$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Nasz ciąg liczb składa się z sześciu wyrazów (czyli jest to parzysta ilość), zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów:
$$m=\frac{3400+3600}{2}$$ $$m=\frac{7000}{2}$$ $$m=3500$$

Krok 1. Uporządkowanie wszystkich liczb.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować liczby w kolejności od najmniejszej do największej, zatem:
$$-4,0,1,2,6$$

Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Mamy pięć liczb, czyli jest to nieparzysta ilość wyrazów. To oznacza, że medianą jest po prostu środkowy wyraz (czyli w tym przypadku trzeci), zatem \(m=1\).

Krok 1. Uporządkowanie wyników rzutu kostką.
Aby obliczyć medianę musimy najpierw ustawić wyniki z rzutów w porządku niemalejącym, zatem:
$$1,3,4,6$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
W przypadku ciągu, który ma nieparzystą liczbę elementów, medianą jest środkowy wyraz. Nasz ciąg ma jednak parzystą liczbę elementów (dokładnie cztery), a więc aby uzyskać medianę musimy obliczyć średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. W naszym przypadku środkowymi wyrazami są \(3\) oraz \(4\), tak więc mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}=3,5$$