Twierdzenia o granicach ciągów

1. Krok 1. Uproszczenie symbolu Newtona.

   Ponieważ $\dbinom{n+2}{n-1}=\dbinom{n+2}{3}$ (bo $(n+2)-(n-1)=3$):

   $$\dbinom{n+2}{3}=\frac{(n+2)(n+1)n}{6}=\frac{n^{3}+3n^{2}+2n}{6}.$$
2. Krok 2. Iloraz. $$\frac{\frac{n^{3}+3n^{2}+2n}{6}}{\frac{1}{2}n^{3}-4n+7}=\frac{n^{3}+3n^{2}+2n}{6\left(\frac{1}{2}n^{3}-4n+7\right)}=\frac{n^{3}+3n^{2}+2n}{3n^{3}-24n+42}.$$
3. Krok 3. Granica (dzielimy przez $n^{3}$). $$\lim_{n\to+\infty}\frac{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^{2}}}{3-\frac{24}{n^{2}}+\frac{42}{n^{3}}}=\frac{1}{3}.$$

Licznik i mianownik są wielomianami stopnia trzeciego, więc granicę wyznacza iloraz współczynników przy $n^3$. Dzielimy licznik i mianownik przez $n^3$:

$$a_n=\frac{(7p-1)+\frac{5p}{n^2}-\frac{3}{n^3}}{(p+1)+\frac{1}{n}+\frac{p}{n^3}}.$$

Składniki z $n$ w mianowniku dążą do zera, zatem

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{7p-1}{p+1}.$$

Przyrównujemy do $\frac43$ (zauważmy, że $p>0$, więc $p+1\neq 0$):

$$\frac{7p-1}{p+1}=\frac{4}{3}\ \Longrightarrow\ 3(7p-1)=4(p+1).$$

$$21p-3=4p+4\ \Longrightarrow\ 17p=7\ \Longrightarrow\ p=\frac{7}{17}.$$

Zamieniamy na rozwinięcie dziesiętne:

$$p=\frac{7}{17}=0{,}411764705\ldots$$

Pierwsze trzy cyfry po przecinku to $4$, $1$, $1$.

Odpowiedź: 4 1 1

Krok 1. Rozwinięcie licznika.

$$(3n+2)^2=9n^2+12n+4,\qquad (1-2n)^2=4n^2-4n+1.$$

$$(3n+2)^2-(1-2n)^2=9n^2+12n+4-4n^2+4n-1=5n^2+16n+3.$$

Krok 2. Rozwinięcie mianownika.

$$(2n-1)^2=4n^2-4n+1.$$

Krok 3. Granica. Licznik i mianownik są wielomianami stopnia drugiego, więc dzielimy oba przez $n^2$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{5+\frac{16}{n}+\frac{3}{n^2}}{4-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}=\frac{5}{4}.$$

Krok 4. Rozwinięcie dziesiętne.

$$\frac{5}{4}=1{,}25.$$

Cyfra jedności to $1$, a pierwsze dwie cyfry po przecinku to $2$ i $5$.

Odpowiedź: 1 2 5

Krok 1. Przypadek \(a\neq 0\).

Licznik pierwszego ułamka jest stopnia \(2\), a mianownik stopnia \(1\), więc pierwsza granica jest niewłaściwa (\(\pm\infty\)). Druga granica jest wtedy równa \(0\). Granice nie są równe — odrzucamy.

Krok 2. Przypadek \(a=0\) i \(b=0\).

Pierwsza granica: \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{4}{n+1}=0\).

Druga: \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{4}=+\infty\). Granice nie są równe — odrzucamy.

Krok 3. Przypadek \(a=0\) i \(b\neq 0\).

\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{bn+4}{n+1}=b\)

\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{bn+4}=\frac{1}{b}\)

Z równości granic:

\(b=\frac{1}{b}\Rightarrow b^2=1\Rightarrow|b|=1\)

Odpowiedź: D.

Licznik i mianownik są wielomianami tego samego stopnia (drugiego), więc granica równa się ilorazowi współczynników przy najwyższej potędze.

Formalnie dzielimy licznik i mianownik przez $n^{2}$:

$$a_n=\frac{3+\frac{7}{n}-\frac{5}{n^{2}}}{5-\frac{5}{n}+\frac{11}{n^{2}}}.$$

Składniki postaci $\frac{k}{n}$ oraz $\frac{k}{n^{2}}$ dążą do zera, zatem

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{3}{5}.$$

Odpowiedź: C

Krok 1. Pierwszy ułamek. Licznik i mianownik są wielomianami stopnia trzeciego, więc granica równa się ilorazowi współczynników przy $n^{3}$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{9n^{3}+11n^{2}}{7n^{3}+5n^{2}+3n+1}=\frac{9}{7}.$$

Krok 2. Drugi ułamek. Tu oba wielomiany są stopnia drugiego:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{3n^{2}+1}=\frac{1}{3}.$$

Krok 3. Różnica granic. Obie granice są skończone, więc granica różnicy równa się różnicy granic:

$$\frac{9}{7}-\frac{1}{3}=\frac{27}{21}-\frac{7}{21}=\frac{20}{21}.$$

Krok 4. Rozwinięcie dziesiętne.

$$\frac{20}{21}=0{,}952380952380\ldots$$

Trzy kolejne cyfry po przecinku to $9$, $5$, $2$.

Odpowiedź: 9 5 2

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę \(n\) występującą w mianowniku, czyli przez \(n^5\):

\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{-\frac{7}{n^2}+\frac{3}{n^4}}{\frac{1}{n^5}+\frac{2}{n^4}+\frac{3}{n^3}+4}\)

Wszystkie wyrażenia postaci \(\frac{c}{n^k}\) dążą do zera, więc granica jest równa:

\(\frac{0+0}{0+0+0+4}=0\)

Uwaga: stopień licznika (\(3\)) jest mniejszy od stopnia mianownika (\(5\)), więc granica jest równa \(0\).

Odpowiedź: C.

Krok 1. Granica pierwszego ułamka. Licznik i mianownik są wielomianami stopnia trzeciego, więc granica równa się ilorazowi współczynników przy $n^{3}$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{11n^{3}+6n+5}{6n^{3}+1}=\frac{11}{6}.$$

Krok 2. Granica drugiego ułamka. Tu oba wielomiany są stopnia drugiego:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+2n+1}{5n^{2}-4}=\frac{2}{5}.$$

Krok 3. Różnica granic. Obie granice są skończone, więc granica różnicy równa się różnicy granic:

$$\frac{11}{6}-\frac{2}{5}=\frac{55}{30}-\frac{12}{30}=\frac{43}{30}.$$

Krok 4. Rozwinięcie dziesiętne.

$$\frac{43}{30}=1{,}4333\ldots$$

Cyfra jedności to $1$, a pierwsze dwie cyfry po przecinku to $4$ i $3$.

Odpowiedź: 1 4 3

Wzór na wyraz ogólny. Dla \(n\ge2\):

\(a_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2+n)-\bigl(2(n-1)^2+(n-1)\bigr)=2n^2+n-(2n^2-3n+1)=4n-1\).

Wzór działa też dla \(n=1\), bo \(a_1=S_1=3=4\cdot1-1\). Ciąg jest arytmetyczny o różnicy \(r=4\).

a) Wyrazy o numerach parzystych to \(a_{2k}=8k-1\) dla \(k=1,2,\ldots,50\). Tworzą one ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(a_2=7\), ostatnim \(a_{100}=399\) i różnicy \(8\), więc

\(a_2+a_4+\ldots+a_{100}=\dfrac{7+399}{2}\cdot50=203\cdot50=10150\).

b)

\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^2+n}{3n^2-2}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2+\tfrac1n}{3-\tfrac{2}{n^2}}=\dfrac23\).

a) Badamy różnicę kolejnych wyrazów:

\(a_{n+1}-a_n=\dfrac{5n+11}{10(n+2)}-\dfrac{5n+6}{10(n+1)}=\dfrac{(5n+11)(n+1)-(5n+6)(n+2)}{10(n+1)(n+2)}\).

Licznik: \((5n^2+16n+11)-(5n^2+16n+12)=-1\), zatem

\(a_{n+1}-a_n=\dfrac{-1}{10(n+1)(n+2)}\lt 0\) dla każdego \(n\ge1\).

Ciąg jest więc malejący.

b)

\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{5n+6}{10n+10}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{5+\tfrac6n}{10+\tfrac{10}{n}}=\dfrac{5}{10}=\dfrac12\).

c) Ciąg jest malejący, więc największym jego wyrazem jest

\(a_1=\dfrac{11}{20}\),

a wartości ciągu maleą do granicy \(\tfrac12\), której nie osiągają, ale do niej dążą. Zatem

\(\dfrac12\lt a_n\le\dfrac{11}{20}\) dla każdego \(n\),

a największą liczbą \(a\) i najmniejszą liczbą \(b\) spełniającymi warunek \(a\le a_n\le b\) są

\(a=\dfrac12\), \(\ b=\dfrac{11}{20}\).

Licznik. Składniki \(1,4,7,\ldots,3n-2\) tworzą ciąg arytmetyczny o \(a_1=1\), \(r=3\) i \(n\) wyrazach:

\(S_n=\dfrac{1+(3n-2)}{2}\cdot n=\dfrac{n(3n-1)}{2}\).

Mianownik. Składniki \(5,7,9,\ldots,2n+3\) tworzą ciąg arytmetyczny o \(b_1=5\), \(r'=2\) i również \(n\) wyrazach:

\(S'_n=\dfrac{5+(2n+3)}{2}\cdot n=n(n+4)\).

Granica.

\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\tfrac{n(3n-1)}{2}}{n(n+4)}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n-1}{2(n+4)}=\dfrac32\).