Klasa 3 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Szereg geometryczny to suma wyrazów ciągu geometrycznego.
Dla $|q|\lt 1$ suma nieskończona wynosi $S=\frac{a_1}{1-q}$.
$1+\frac12+\frac14+\ldots=\frac{1}{1-\frac12}=2$.
Zamiana ułamka okresowego na zwykły, modele wygaszania.
Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Przykład: $a_1=1$, $q=2$, $n=6$: $S_6=\frac{1-64}{1-2}=63$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}$.
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}$.
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n^2}$.
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-2n}{n^2+1}$.
Ciąg $a_n=\frac{1}{2^n}$ jest:
Oblicz sumę szeregu geometrycznego $1+\frac12+\frac14+\frac18+\ldots$
Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:
Oblicz sumę szeregu $6+2+\frac23+\frac29+\ldots$
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\left(3-\frac{5}{n}\right)$.
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\frac{4n^2-n}{2n^2+3n}$.
Dla jakich wartości $x$ szereg geometryczny o ilorazie $q=x$ jest zbieżny?
Suma szeregu $\frac12+\frac14+\frac18+\ldots$ wynosi:
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n^2+1}$.
Który ciąg jest zbieżny?
Suma szeregu geometrycznego wynosi $12$, a pierwszy wyraz $a_1=8$. Wyznacz iloraz $q$.
Piłka spuszczona z wysokości $9$ m odbija się za każdym razem na $\frac13$ poprzedniej wysokości. Oblicz sumę wszystkich wysokości odbić (bez pierwszego spadku).
Zamień ułamek okresowy $0{,}(3)$ na ułamek zwykły, traktując go jako sumę szeregu geometrycznego.
Oblicz sumę szeregu $12+6+3+\dots$
Zapisz liczbę $0{,}(36)$ w postaci ułamka nieskracalnego.
Wyznacz wszystkie $x$, dla których szereg $1+(x-1)+(x-1)^2+\dots$ jest zbieżny.
Rozwiąż równanie $1+2x+4x^2+8x^3+\dots=\dfrac32$, którego lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego.
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa $16$, a jego pierwszy wyraz jest równy $12$. Oblicz trzeci wyraz tego ciągu.
Nieskończony ciąg geometryczny jest zbieżny, suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa $12$, a suma wszystkich wyrazów jest równa $16$. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.
Trójkąt równoboczny $T_1$ ma bok długości $a$. Trójkąt $T_{n+1}$ ma wierzchołki w środkach boków trójkąta $T_n$. Oblicz sumę obwodów oraz sumę pól wszystkich trójkątów $T_1,T_2,T_3,\dots$
Rozwiąż równanie $1-x+x^2-x^3+\dots=2x$, którego lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, zapisz liczbę $2{,}1(6)$ w postaci ułamka nieskracalnego.
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}+\dfrac1{x^3}+\dots$ dla tych $x$, dla których szereg jest zbieżny. Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ i rozwiąż równanie $f(x)=\frac32$.
Suma szeregu geometrycznego o $a_1=1$, $q=\tfrac12$ jest równa
Suma szeregu geometrycznego o $a_1=4$, $q=\tfrac12$ jest równa
Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy
Suma szeregu geometrycznego o $a_1=1$, $q=\tfrac13$ jest równa
Oblicz sumę szeregu geometrycznego o $a_1=2$, $q=\tfrac12$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu \(a_6=15\) oraz \(a_{15}=a_3\cdot(a_8-6)\).
Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), jest geometryczny i \(b_1=a_{11}\) oraz \(b_2=a_6\).
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu \((b_n)\). Zapisz obliczenia.
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) o numerach nieparzystych jest równa \(16\), tj.
\(a_1+a_3+a_5+\ldots=16\)
Ponadto \(a_1+a_3=\frac{5}{2}\cdot a_2\).
Wyznacz wzór ogólny na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_n)\). Zapisz obliczenia.
Dany jest nieskończony szereg geometryczny
\(2x-\frac{6x}{x-1}+\frac{18x}{(x-1)^2}-\frac{54x}{(x-1)^3}+\ldots\)
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej \(x\) (różnej od \(0\) i od \(1\)), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa \(\frac{15}{2}\). Zapisz obliczenia.
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), którego iloraz \(q\) jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek \(|q|\lt 1\).
Stosunek sumy \(S_N\) wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy \(S_P\) wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. \(\frac{S_N}{S_P}=S_N-S_P\).
Oblicz \(q\).
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony w następujący sposób: \(a_1=\frac{3}{5}\) oraz \(a_{n+1}=\frac{2}{3}\cdot a_n\) dla \(n\ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
Dany jest nieskończony ciąg okręgów \((o_n)\) o równaniach \(x^2+y^2=2^{11-n}\), \(n\ge 1\). Niech \(P_k\) będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem \(o_{2k-1}\) i wewnętrznym okręgiem \(o_{2k}\).
Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni \(P_k\), gdzie \(k\ge 1\).
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(\frac{1}{4}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla \(n\ge 1\), w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(12\).
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Podaj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: \(a_1=2\), \(a_{n+1}=a_n\cdot\log_2(k-2)\), dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których istnieje suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu \((a_n)\).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.