Styczna do wykresu funkcji

Krok 1. Współczynnik kierunkowy stycznej.

Ponieważ \(f(-2)=0\), punktem styczności jest \(A=(-2,0)\). Styczna przechodzi przez \(A\) i \(P=(1,9)\):

\(k=\frac{9-0}{1-(-2)}=\frac{9}{3}=3\)

Zatem \(f'(-2)=3\).

Krok 2. Warunek z pochodnej.

\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)

\(f'(-2)=12-4a+b=3\)

\(b=4a-9\)

Krok 3. Warunek \(f(-2)=0\).

\(-8+4a-2b+c=0\)

\(c=8-4a+2b=8-4a+2(4a-9)=4a-10\)

Krok 4. Warunek \(f(1)=9\).

Punkt \(P\) leży na wykresie wielomianu, więc:

\(1+a+b+c=9\)

\(1+a+(4a-9)+(4a-10)=9\)

\(9a-18=9\)

\(a=3\)

Stąd \(b=4\cdot 3-9=3\) oraz \(c=4\cdot 3-10=2\).

Sprawdzenie.

\(f(x)=x^3+3x^2+3x+2=(x+2)\left(x^2+x+1\right)\), więc \(f(-2)=0\) ✓

\(f(1)=1+3+3+2=9\) ✓, \(\;f'(x)=3x^2+6x+3\), \(\;f'(-2)=12-12+3=3\) ✓

Odpowiedź: \(f(x)=x^3+3x^2+3x+2\)

1. Krok 1. Uproszczenie wzoru funkcji. $$f(x)=\frac{x^{3}-3x+2}{x}=x^{2}-3+\frac{2}{x}=x^{2}-3+2x^{-1}.$$
2. Krok 2. Współrzędne punktu $P$. $$f(2)=4-3+\frac{2}{2}=2\ \Rightarrow\ P=(2,\,2).$$
3. Krok 3. Pochodna i współczynnik $a$. $$f'(x)=2x-2x^{-2}=2x-\frac{2}{x^{2}},\qquad a=f'(2)=4-\frac{2}{4}=\frac{7}{2}.$$
4. Krok 4. Wyznaczenie $b$.

   Styczna przechodzi przez $P=(2,2)$: $\;2=\tfrac{7}{2}\cdot 2+b\Rightarrow 2=7+b\Rightarrow b=-5.$

   Odpowiedź: $a=\dfrac{7}{2}$, $b=-5$ (styczna: $y=\tfrac{7}{2}x-5$).

Krok 1. Wyznaczenie \(x_0\).

\(\frac{2x_0+1}{x_0-4}=5\)

\(2x_0+1=5x_0-20\)

\(3x_0=21\)

\(x_0=7\) (warunek \(x_0\neq 4\) jest spełniony)

Krok 2. Pochodna funkcji \(f\).

Stosujemy wzór na pochodną ilorazu:

\(f'(x)=\frac{2\cdot(x-4)-(2x+1)\cdot 1}{(x-4)^2}=\frac{2x-8-2x-1}{(x-4)^2}=\frac{-9}{(x-4)^2}\)

Krok 3. Współczynnik kierunkowy stycznej.

\(f'(7)=\frac{-9}{(7-4)^2}=\frac{-9}{9}=-1\)

Krok 4. Równanie stycznej.

\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)

\(y-5=-1\cdot(x-7)\)

\(y=-x+12\)

Odpowiedź: \(x_0=7\), a styczna ma równanie \(y=-x+12\).

1. Krok 1. Wyznaczenie $x_{0}$ z warunku $f(x_{0})=3$. $$\frac{3x_{0}^{2}-2x_{0}}{x_{0}^{2}+2x_{0}+8}=3.$$

   Mianownik $x^{2}+2x+8$ jest zawsze dodatni ($\Delta=4-32\lt 0$), więc możemy mnożyć:

   $$3x_{0}^{2}-2x_{0}=3\left(x_{0}^{2}+2x_{0}+8\right)=3x_{0}^{2}+6x_{0}+24.$$ $$-2x_{0}=6x_{0}+24\ \Rightarrow\ -8x_{0}=24\ \Rightarrow\ x_{0}=-3.$$

   Zatem $P=(-3,\,3)$.

2. Krok 2. Pochodna (wzór na pochodną ilorazu).

   Dla $u=3x^{2}-2x$, $v=x^{2}+2x+8$ mamy $u'=6x-2$, $v'=2x+2$ oraz

   $$f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(6x-2)(x^{2}+2x+8)-(3x^{2}-2x)(2x+2)}{(x^{2}+2x+8)^{2}}.$$
3. Krok 3. Współczynnik kierunkowy stycznej $a=f'(-3)$.

   Dla $x=-3$: $v=9-6+8=11$, $u=27+6=33$, $u'=-20$, $v'=-4$. Stąd

   $$f'(-3)=\frac{(-20)\cdot 11-33\cdot(-4)}{11^{2}}=\frac{-220+132}{121}=\frac{-88}{121}=-\frac{8}{11}.$$
4. Krok 4. Równanie stycznej.

   Styczna w $P=(-3,3)$: $y-3=a(x-(-3))$, czyli

   $$y-3=-\tfrac{8}{11}(x+3)\ \Rightarrow\ y=-\tfrac{8}{11}x-\tfrac{24}{11}+3=\boxed{-\tfrac{8}{11}x+\tfrac{9}{11}}.$$

1. Krok 1. Pochodna. $$f'(x)=4x^{3}+2x-6.$$
2. Krok 2. Miejsca zerowe pochodnej.

   $4x^{3}+2x-6=0\ \Rightarrow\ 2x^{3}+x-3=0$. Zauważmy, że $x=1$ jest pierwiastkiem ($2+1-3=0$). Dzielimy:

   $$2x^{3}+x-3=(x-1)(2x^{2}+2x+3).$$

   Trójmian $2x^{2}+2x+3$ ma $\Delta=4-24\lt 0$, więc nie ma innych pierwiastków rzeczywistych. W dziedzinie $x>0$ jedynym miejscem zerowym pochodnej jest $x=1$.

3. Krok 3. Badanie znaku pochodnej.

   Dla $0\lt x\lt 1$ mamy $f'(x)\lt 0$ (np. $f'(0{,}5)=0{,}5+1-6\lt 0$), a dla $x>1$ — $f'(x)>0$ (np. $f'(2)=32+4-6>0$). Funkcja maleje, a potem rośnie, więc w $x=1$ jest minimum lokalne, a zarazem najmniejsza wartość na $(0,\infty)$.

4. Krok 4. Wartość najmniejsza. $$f(1)=1^{4}+1^{2}-6\cdot 1=1+1-6=-4.$$

   Odpowiedź: najmniejsza wartość funkcji wynosi $-4$ (dla $x=1$).

Krok 1. Wyznaczenie \(x_0\).

\(2x_0^3-4x_0^2+9x_0=18\)

\(2x_0^3-4x_0^2+9x_0-18=0\)

Grupujemy wyrazy:

\(2x_0^2(x_0-2)+9(x_0-2)=0\)

\((x_0-2)\left(2x_0^2+9\right)=0\)

Ponieważ \(2x_0^2+9\gt 0\) dla każdego \(x_0\), jedynym rozwiązaniem jest:

\(x_0=2\)

Krok 2. Pochodna i współczynnik kierunkowy.

\(f'(x)=6x^2-8x+9\)

\(f'(2)=24-16+9=17\)

Krok 3. Równanie stycznej.

\(y-18=17(x-2)\)

\(y=17x-16\)

Odpowiedź: \(x_0=2\), styczna ma równanie \(y=17x-16\).

Licznik rozkładamy wzorem na różnicę sześcianów $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$$x^3-8=(x-2)\left(x^2+2x+4\right).$$

Dla $x\neq 2$ można skrócić przez $(x-2)$, więc funkcja upraszcza się do wielomianu:

$$f(x)=x^2+2x+4.$$

Pochodna: $$f'(x)=2x+2.$$

Podstawiamy $x=\frac12$: $$f'\left(\tfrac12\right)=2\cdot\tfrac12+2=1+2=3.$$

Odpowiedź: C

a) Wyprowadzenie wzoru. Ramiona mają długość $b$, więc podstawa wynosi $a=18-2b$. Wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na połowy, zatem z twierdzenia Pitagorasa:

$$h=\sqrt{b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{b^2-(9-b)^2}=\sqrt{b^2-81+18b-b^2}=\sqrt{18b-81}.$$

Stąd pole:

$$P=\frac12\,a\,h=\frac{(18-2b)\sqrt{18b-81}}{2}. \qquad\blacksquare$$

b) Dziedzina. Muszą zachodzić jednocześnie:

$$a=18-2b>0\ \Longrightarrow\ b\lt 9,$$

$$18b-81>0\ \Longrightarrow\ b>\frac{9}{2}.$$

Warunek trójkąta $a\lt 2b$ daje $18-2b\lt 2b$, czyli $b>\frac92$ — to samo ograniczenie. Zatem

$$D=\left(\frac{9}{2},\ 9\right).$$

c) Największe pole. Zapiszmy $P(b)=(9-b)\sqrt{18b-81}$. Ponieważ na dziedzinie $P>0$, wystarczy zmaksymalizować kwadrat wyrażenia pomocniczego:

$$g(b)=(9-b)^2(2b-9).$$

$$g'(b)=-2(9-b)(2b-9)+2(9-b)^2=(9-b)\bigl[-4b+18+18-2b\bigr]=6(9-b)(6-b).$$

Na przedziale $\left(\frac92,9\right)$ czynnik $(9-b)$ jest dodatni, więc znak pochodnej wyznacza $(6-b)$: dla $b\lt 6$ funkcja rośnie, dla $b>6$ maleje. Maksimum wypada w $b=6$.

Wtedy podstawa $a=18-2\cdot6=6$, czyli trójkąt jest równoboczny.

Kontrola: $P(6)=(9-6)\sqrt{18\cdot6-81}=3\sqrt{27}=9\sqrt3$, co zgadza się ze wzorem na pole trójkąta równobocznego $\frac{6^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3$.

Odpowiedź: boki $6$, $6$, $6$ (trójkąt równoboczny), pole $9\sqrt3$.

Oznaczmy bok kwadratowego dna przez $a$, a wysokość zbiornika przez $h$.

Krok 1. Warunek objętości.

$$a^{2}h=144\ \Longrightarrow\ h=\frac{144}{a^{2}}.$$

Krok 2. Dziedzina. Żaden wymiar nie przekracza $9$:

$$a\le 9\qquad\text{oraz}\qquad \frac{144}{a^{2}}\le 9\ \Longrightarrow\ a^{2}\ge 16\ \Longrightarrow\ a\ge 4.$$

$$a\in\langle 4,\ 9\rangle.$$

Krok 3. Funkcja kosztu. Zbiornik jest otwarty od góry: dno o polu $a^{2}$ oraz cztery ściany boczne o łącznym polu $4ah$:

$$K(a)=100a^{2}+75\cdot 4ah=100a^{2}+300a\cdot\frac{144}{a^{2}}=100a^{2}+\frac{43200}{a}.$$

Krok 4. Minimum. Liczymy pochodną:

$$K^{\prime}(a)=200a-\frac{43200}{a^{2}}.$$

$$K^{\prime}(a)=0\ \Longleftrightarrow\ 200a^{3}=43200\ \Longleftrightarrow\ a^{3}=216\ \Longleftrightarrow\ a=6.$$

Dla $a\lt 6$ pochodna jest ujemna, dla $a>6$ dodatnia, więc w $a=6$ funkcja osiąga minimum. Punkt ten należy do przedziału $\langle4,9\rangle$.

Krok 5. Wymiary i koszt.

$$h=\frac{144}{36}=4\ \mathrm{m}\le 9\ \checkmark$$

$$K(6)=100\cdot 36+\frac{43200}{6}=3600+7200=10\,800\ \text{zł}.$$

Odpowiedź: dno $6\ \mathrm{m}\times 6\ \mathrm{m}$, wysokość $4\ \mathrm{m}$; najmniejszy koszt to $10\,800$ zł.

Krok 1. Uproszczenie wzoru i pochodna.

\(f(x)=\frac{x^3+k}{x}=x^2+\frac{k}{x}\)

\(f'(x)=2x-\frac{k}{x^2}\)

Krok 2. Warunki styczności.

Niech \(x_0\neq 0\) będzie odciętą punktu styczności. Prosta \(y=-x\) ma współczynnik kierunkowy \(-1\), więc:

\(\begin{cases}f'(x_0)=-1\\ f(x_0)=-x_0\end{cases}\)

Krok 3. Rozwiązanie układu.

Z pierwszego równania:

\(2x_0-\frac{k}{x_0^2}=-1\Rightarrow k=x_0^2\left(2x_0+1\right)=2x_0^3+x_0^2\)

Z drugiego równania:

\(x_0^2+\frac{k}{x_0}=-x_0\)

Mnożymy przez \(x_0\):

\(x_0^3+k=-x_0^2\Rightarrow k=-x_0^3-x_0^2\)

Porównujemy oba wyrażenia na \(k\):

\(2x_0^3+x_0^2=-x_0^3-x_0^2\)

\(3x_0^3+2x_0^2=0\)

\(x_0^2\left(3x_0+2\right)=0\)

Ponieważ \(x_0\neq 0\), otrzymujemy \(x_0=-\frac{2}{3}\).

Krok 4. Obliczenie \(k\).

\(k=-x_0^3-x_0^2=-\left(-\frac{8}{27}\right)-\frac{4}{9}=\frac{8}{27}-\frac{12}{27}=-\frac{4}{27}\)

Sprawdzenie: \(f\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}+\frac{-\frac{4}{27}}{-\frac{2}{3}}=\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}=-x_0\) ✓

Odpowiedź: \(k=-\frac{4}{27}\)

Krok 1. Sprawdzenie, że $P$ leży na paraboli.

$$2\cdot10^{2}+10+2219=200+10+2219=2429\ \checkmark$$

Krok 2. Współczynnik kierunkowy stycznej. Styczna do wykresu funkcji w punkcie o odciętej $x_0$ ma współczynnik kierunkowy równy pochodnej w tym punkcie:

$$y^{\prime}=4x+1\ \Longrightarrow\ a=y^{\prime}(10)=4\cdot10+1=41.$$

Krok 3. Wyznaczenie $b$. Styczna przechodzi przez punkt $P=(10,2429)$:

$$2429=41\cdot 10+b\ \Longrightarrow\ 2429=410+b\ \Longrightarrow\ b=2019.$$

Sprawdzenie: prosta $y=41x+2019$ w punkcie $x=10$ daje $410+2019=2429$ ✓

Odpowiedź: $b=2019$

Krok 1. Pochodna ilorazu.

\(f'(x)=\frac{\left(25x^2-9\right)'\left(x^2+2\right)-\left(25x^2-9\right)\left(x^2+2\right)'}{\left(x^2+2\right)^2}\)

\(f'(x)=\frac{50x\left(x^2+2\right)-\left(25x^2-9\right)\cdot 2x}{\left(x^2+2\right)^2}\)

\(=\frac{50x^3+100x-50x^3+18x}{\left(x^2+2\right)^2}=\frac{118x}{\left(x^2+2\right)^2}\)

Krok 2. Wartość dla \(x=10\).

\(f'(10)=\frac{118\cdot 10}{\left(100+2\right)^2}=\frac{1180}{10404}\)

Skracamy przez \(4\):

\(f'(10)=\frac{295}{2601}\approx 0{,}1134\)

Odpowiedź: \(f'(10)=\frac{295}{2601}\)

Krok 1. Współczynnik kierunkowy stycznej. Kąt nachylenia prostej do osi $Ox$ wiąże się ze współczynnikiem kierunkowym wzorem $m=\tg\alpha$:

$$m=\tg 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Krok 2. Pochodna funkcji.

$$y^{\prime}=2\sqrt{3}\,x.$$

Krok 3. Wyznaczenie odciętej. Pochodna w punkcie styczności równa się współczynnikowi kierunkowemu stycznej:

$$2\sqrt{3}\,x_0=\frac{\sqrt{3}}{3}\ \Longrightarrow\ x_0=\frac{\sqrt{3}}{3\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{1}{6}.$$

Krok 4. Wyznaczenie rzędnej. Podstawiamy do wzoru paraboli:

$$y_0=\sqrt{3}\cdot\left(\frac16\right)^{2}-1=\frac{\sqrt{3}}{36}-1.$$

Sprawdzenie: $y^{\prime}\left(\tfrac16\right)=2\sqrt3\cdot\tfrac16=\tfrac{\sqrt3}{3}=\tg30^\circ$ ✓

Odpowiedź: $P=\left(\frac{1}{6},\ \frac{\sqrt{3}}{36}-1\right)$

Oznaczmy: $a$ — dłuższa podstawa, $b$ — krótsza podstawa, $c$ — ramię, $h$ — wysokość. Z warunku zadania $h=2-a$.

Krok 1. Warunek wpisania okręgu. W czworokąt można wpisać okrąg, gdy sumy przeciwległych boków są równe. Dla trapezu równoramiennego:

$$a+b=c+c=2c.$$

Krok 2. Ramię z twierdzenia Pitagorasa. Rzut ramienia na podstawę ma długość $\frac{a-b}{2}$, więc

$$c^{2}=h^{2}+\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}.$$

Z Kroku 1 mamy $b=2c-a$, zatem $\frac{a-b}{2}=\frac{2a-2c}{2}=a-c$ i

$$c^{2}=h^{2}+(a-c)^{2}=h^{2}+a^{2}-2ac+c^{2}\ \Longrightarrow\ 2ac=h^{2}+a^{2}.$$

$$c=\frac{h^{2}+a^{2}}{2a}=\frac{(2-a)^{2}+a^{2}}{2a}=\frac{2a^{2}-4a+4}{2a}=\frac{a^{2}-2a+2}{a}.$$

b) Wzór na obwód. Ponieważ $a+b=2c$, obwód wynosi

$$L=a+b+2c=2c+2c=4c=\frac{4\left(a^{2}-2a+2\right)}{a}=\frac{4a^{2}-8a+8}{a}. \qquad\blacksquare$$

a) Dziedzina. Muszą zachodzić jednocześnie:

• $h=2-a>0\ \Longrightarrow\ a\lt 2$;

• $b>0$: z $b=2c-a$ otrzymujemy $b=\frac{2\left(a^{2}-2a+2\right)-a^{2}}{a}=\frac{(a-2)^{2}}{a}$, co jest dodatnie dla $0\lt a\lt 2$;

• $a>b$ (podstawa $a$ ma być dłuższa):

$$a>\frac{(a-2)^{2}}{a}\ \Longleftrightarrow\ a^{2}>a^{2}-4a+4\ \Longleftrightarrow\ 4a>4\ \Longleftrightarrow\ a>1.$$

$$a\in(1,\ 2).$$

c) Najmniejszy obwód. Zapiszmy $L(a)=4a-8+\frac{8}{a}$ i policzmy pochodną:

$$L^{\prime}(a)=4-\frac{8}{a^{2}}.$$

$$L^{\prime}(a)=0\ \Longleftrightarrow\ a^{2}=2\ \Longleftrightarrow\ a=\sqrt{2}\in(1,2).$$

Dla $a\lt \sqrt2$ pochodna jest ujemna, dla $a>\sqrt2$ dodatnia — w $a=\sqrt2$ jest minimum.

Krok 3. Tangens kąta ostrego. Dla $a=\sqrt2$:

$$h=2-\sqrt{2},\qquad b=\frac{\left(\sqrt2-2\right)^{2}}{\sqrt2}=3\sqrt{2}-4.$$

$$\frac{a-b}{2}=\frac{\sqrt2-\left(3\sqrt2-4\right)}{2}=\frac{4-2\sqrt2}{2}=2-\sqrt{2}.$$

Kąt ostry przy dłuższej podstawie spełnia

$$\tg\alpha=\frac{h}{\frac{a-b}{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=1.$$

Kąt ten ma więc miarę $45^\circ$.

Odpowiedź: a) $a\in(1,2)$;   c) $\tg\alpha=1$

Krok 1. Pochodna ilorazu.

\(f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\) dla \(x\neq 1\)

Krok 2. Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie o odciętej \(6\).

\(f'(6)=\frac{36-12}{(6-1)^2}=\frac{24}{25}=0{,}96\)

Odpowiedź: \(0\), \(9\), \(6\)

Krok 1. Sprawdzenie, że $P$ leży na wykresie.

$$f(1)=\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0\ \checkmark$$

Krok 2. Pochodna ilorazu. Stosujemy wzór $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}}$ dla $u=x-1$, $v=x^{2}+1$:

$$f^{\prime}(x)=\frac{1\cdot\left(x^{2}+1\right)-(x-1)\cdot 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.$$

Upraszczamy licznik:

$$x^{2}+1-2x^{2}+2x=-x^{2}+2x+1.$$

$$f^{\prime}(x)=\frac{-x^{2}+2x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.$$

Krok 3. Współczynnik kierunkowy stycznej.

$$f^{\prime}(1)=\frac{-1+2+1}{\left(1+1\right)^{2}}=\frac{2}{4}=\frac12.$$

Krok 4. Równanie stycznej w punkcie $(x_0,y_0)=(1,0)$:

$$y-y_0=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)\ \Longrightarrow\ y-0=\frac12(x-1).$$

$$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}.$$

Odpowiedź: $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

Krok 1. Pochodna ilorazu.

\(f'(x)=\frac{1\cdot(2x-8)-x\cdot 2}{(2x-8)^2}=\frac{2x-8-2x}{(2x-8)^2}=\frac{-8}{(2x-8)^2}\)

Ponieważ \((2x-8)^2=4(x-4)^2\):

\(f'(x)=\frac{-8}{4(x-4)^2}=\frac{-2}{(x-4)^2}\)

Krok 2. Wartość dla \(x=\sqrt{2}+4\).

\((x-4)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2=2\)

\(f'\left(\sqrt{2}+4\right)=\frac{-2}{2}=-1\)

Odpowiedź: C.

Krok 1. Wzór na pochodną ilorazu.

$$\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}}.$$

Tutaj $u=3x-1$, $v=x^{2}+4$, więc $u^{\prime}=3$ oraz $v^{\prime}=2x$.

Krok 2. Podstawienie.

$$f^{\prime}(x)=\frac{3\left(x^{2}+4\right)-(3x-1)\cdot 2x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}.$$

Krok 3. Uproszczenie licznika.

$$3x^{2}+12-\left(6x^{2}-2x\right)=3x^{2}+12-6x^{2}+2x=-3x^{2}+2x+12.$$

$$f^{\prime}(x)=\frac{-3x^{2}+2x+12}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}.$$

Szybka kontrola: $f^{\prime}(0)=\frac{12}{16}=\frac34$, a bezpośrednio z definicji nachylenia w zerze wychodzi tyle samo ✓

Odpowiedź: A

Krok 1. Warunek równoległości. Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc styczna ma mieć współczynnik $4$. Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie $x_0$ to $f^{\prime}(x_0)$.

Krok 2. Pochodna.

$$f^{\prime}(x)=3x^{2}-4x.$$

Krok 3. Punkty styczności.

$$3x^{2}-4x=4\ \Longrightarrow\ 3x^{2}-4x-4=0.$$

$$\Delta=16+48=64,\qquad \sqrt{\Delta}=8,\qquad x=\frac{4\pm8}{6}.$$

$$x_1=2,\qquad x_2=-\frac{2}{3}.$$

Krok 4. Pierwsza styczna ($x_1=2$).

$$f(2)=8-8+1=1.$$

$$y-1=4(x-2)\ \Longrightarrow\ y=4x-7.$$

Krok 5. Druga styczna ($x_2=-\frac23$).

$$f\left(-\tfrac23\right)=-\frac{8}{27}-2\cdot\frac{4}{9}+1=-\frac{8}{27}-\frac{24}{27}+\frac{27}{27}=-\frac{5}{27}.$$

$$y+\frac{5}{27}=4\left(x+\frac23\right)\ \Longrightarrow\ y=4x+\frac{8}{3}-\frac{5}{27}=4x+\frac{72-5}{27}=4x+\frac{67}{27}.$$

Odpowiedź: $y=4x-7$ oraz $y=4x+\frac{67}{27}$

Krok 1. Przekrój osiowy. Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o podstawie równej średnicy $2r$ i ramionach równych tworzącej $l$. Z warunku na obwód:

$$2r+2l=20\ \Longrightarrow\ l=10-r.$$

Krok 2. Wysokość stożka. Z twierdzenia Pitagorasa ($l$ — przeciwprostokątna):

$$h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{(10-r)^{2}-r^{2}}=\sqrt{100-20r}.$$

Krok 3. Dziedzina. Musi być $r>0$ oraz $100-20r>0$, czyli

$$r\in(0,\ 5).$$

Krok 4. Objętość.

$$V(r)=\frac13\pi r^{2}h=\frac13\pi r^{2}\sqrt{100-20r}.$$

Krok 5. Maksymalizacja. Objętość jest dodatnia, więc maksimum $V$ pokrywa się z maksimum wyrażenia pod pierwiastkiem po podniesieniu do kwadratu. Rozpatrzmy funkcję pomocniczą

$$f(r)=r^{4}\left(100-20r\right)=100r^{4}-20r^{5}.$$

$$f^{\prime}(r)=400r^{3}-100r^{4}=100r^{3}(4-r).$$

Na przedziale $(0,5)$ pochodna jest dodatnia dla $r\lt 4$ i ujemna dla $r>4$, więc maksimum wypada w

$$r=4.$$

Krok 6. Pozostałe wielkości.

$$l=10-4=6,\qquad h=\sqrt{100-80}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$$

Kontrola: obwód przekroju $=2\cdot4+2\cdot6=20$ ✓ oraz $h=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=\sqrt{20}$ ✓

Krok 7. Największa objętość.

$$V=\frac13\pi\cdot4^{2}\cdot2\sqrt{5}=\frac{32\sqrt{5}}{3}\pi\approx 74{,}9.$$

Odpowiedź: $r=4$, $\;h=2\sqrt{5}$, $\;V=\frac{32\sqrt{5}}{3}\pi$

Rozwiązanie układu. Wyznacznik główny:

\(W=\begin{vmatrix}m&-1\\1&m\end{vmatrix}=m^2+1>0\) dla każdego \(m\), więc układ zawsze ma dokładnie jedno rozwiązanie.

\(W_x=\begin{vmatrix}2&-1\\m&m\end{vmatrix}=2m+m=3m\), \(\ W_y=\begin{vmatrix}m&2\\1&m\end{vmatrix}=m^2-2\).

Stąd

\(x=\dfrac{3m}{m^2+1}\), \(\ y=\dfrac{m^2-2}{m^2+1}\).

Najmniejsza wartość sumy. Niech

\(S(m)=x+y=\dfrac{m^2+3m-2}{m^2+1}\).

Obliczamy pochodną:

\(S'(m)=\dfrac{(2m+3)(m^2+1)-(m^2+3m-2)\cdot2m}{(m^2+1)^2}=\dfrac{-3m^2+6m+3}{(m^2+1)^2}\).

Licznik zeruje się dla \(m^2-2m-1=0\), czyli \(m=1\pm\sqrt2\). W przedziale \(\langle2,4\rangle\) leży tylko \(m_0=1+\sqrt2\approx2{,}41\), przy czym \(S'>0\) dla \(m\lt m_0\) i \(S'\lt 0\) dla \(m>m_0\) — jest to maksimum.

Wartość najmniejsza jest więc przyjmowana na krańcu przedziału:

\(S(2)=\dfrac{4+6-2}{5}=\dfrac85=1{,}6\), \(\ S(4)=\dfrac{16+12-2}{17}=\dfrac{26}{17}\approx1{,}529\).

Odpowiedź: najmniejsza wartość sumy \(x+y\) wynosi \(\dfrac{26}{17}\) i jest przyjmowana dla \(m=4\).

Oznaczmy przez \(a\) krawędź podstawy, a przez \(H\) krawędź boczną (\(a,H>0\)).

Warunek objętości.

\(V=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot H=2\), skąd \(H=\dfrac{8}{a^2\sqrt3}\).

Pole powierzchni całkowitej.

\(S=2\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}+3aH=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}+3a\cdot\dfrac{8}{a^2\sqrt3}=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}+\dfrac{24}{a\sqrt3}=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}+\dfrac{8\sqrt3}{a}\).

Minimalizacja. Liczymy pochodną dla \(a>0\):

\(S'(a)=a\sqrt3-\dfrac{8\sqrt3}{a^2}=\sqrt3\cdot\dfrac{a^3-8}{a^2}\).

\(S'(a)=0\) dla \(a^3=8\), czyli \(a=2\); ponadto \(S'(a)\lt 0\) dla \(a\lt 2\) i \(S'(a)>0\) dla \(a>2\), więc w \(a=2\) funkcja osiąga minimum.

Wtedy

\(H=\dfrac{8}{4\sqrt3}=\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\approx1{,}15\).

Odpowiedź: krawędź podstawy \(a=2\) m, krawędź boczna \(H=\dfrac{2\sqrt3}{3}\) m.

Z wykresu pochodnej odczytujemy jej miejsca zerowe: \(x=-4\), \(x=0\), \(x=4\), oraz znaki:

\(f'(x)\lt 0\) dla \(x\lt -4\) i dla \(0\lt x\lt 4\); \(\ f'(x)>0\) dla \(-4\lt x\lt 0\) i dla \(x>4\).

a) Funkcja maleje tam, gdzie jej pochodna jest ujemna, więc maksymalne przedziały monotoniczności malejącej to

\((-\infty,-4\rangle\) oraz \(\langle0,4\rangle\).

b) Maksimum lokalne występuje tam, gdzie pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny. Z wykresu widać, że dzieje się tak jedynie w punkcie

\(x=0\)

(dla \(x\in(-4,0)\) mamy \(f'>0\), a dla \(x\in(0,4)\) mamy \(f'\lt 0\)). W punktach \(x=-4\) i \(x=4\) pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc są to minima lokalne.

c) Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie \(A\) jest równy \(f'(1)\), a z wykresu \(f'(1)=-2\).

Równanie stycznej:

\(y-2=-2(x-1)\), czyli \(y=-2x+4\).

1) Warunek istnienia pierwiastków rzeczywistych.

\(\Delta=(m-5)^2-4\left(m^2+m+\tfrac14\right)=(m-5)^2-\left(2m+1\right)^2\).

Ze wzoru na różnicę kwadratów:

\(\Delta=\bigl[(m-5)-(2m+1)\bigr]\bigl[(m-5)+(2m+1)\bigr]=(-m-6)(3m-4)\).

\(\Delta\ge0\ \Longleftrightarrow\ (m+6)(3m-4)\le0\ \Longleftrightarrow\ m\in\left\langle-6,\tfrac43\right\rangle\).

2) Wzór badanej funkcji. Ze wzorów Viète'a:

\(x_1+x_2=5-m\), \(\ x_1x_2=m^2+m+\tfrac14=\left(m+\tfrac12\right)^2\),

więc

\(f(m)=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{5-m}{\left(m+\tfrac12\right)^2}\), przy czym \(m\neq-\tfrac12\).

Dziedzina: \(m\in\left\langle-6,-\tfrac12\right)\cup\left(-\tfrac12,\tfrac43\right\rangle\).

3) Pochodna. Ze wzoru na pochodną ilorazu:

\(f'(m)=\dfrac{-\left(m+\tfrac12\right)^2-(5-m)\cdot2\left(m+\tfrac12\right)}{\left(m+\tfrac12\right)^4}=\dfrac{-\left(m+\tfrac12\right)-2(5-m)}{\left(m+\tfrac12\right)^3}=\dfrac{m-\tfrac{21}{2}}{\left(m+\tfrac12\right)^3}\).

Miejsce zerowe pochodnej: \(m=\tfrac{21}{2}\) — leży poza dziedziną.

4) Znak pochodnej. Licznik \(m-\tfrac{21}{2}\) jest ujemny w całej dziedzinie, więc znak \(f'\) zależy od mianownika:

• dla \(m\in\left\langle-6,-\tfrac12\right)\): \(\left(m+\tfrac12\right)^3\lt 0\), więc \(f'(m)>0\) — funkcja rośnie,

• dla \(m\in\left(-\tfrac12,\tfrac43\right\rangle\): \(\left(m+\tfrac12\right)^3>0\), więc \(f'(m)\lt 0\) — funkcja maleje.

5) Wartość najmniejsza. Kandydatami są końce przedziałów:

\(f(-6)=\dfrac{11}{\left(-\tfrac{11}{2}\right)^2}=\dfrac{11}{\tfrac{121}{4}}=\dfrac{4}{11}\),

\(f\!\left(\tfrac43\right)=\dfrac{5-\tfrac43}{\left(\tfrac{11}{6}\right)^2}=\dfrac{\tfrac{11}{3}}{\tfrac{121}{36}}=\dfrac{12}{11}\).

Ponieważ \(\tfrac{4}{11}\lt \tfrac{12}{11}\), wartość najmniejsza wynosi

\(\dfrac{4}{11}\) i jest przyjmowana dla \(m=-6\).

(Dla \(m=-6\) jest \(\Delta=0\), więc równanie ma jeden pierwiastek podwójny \(x_1=x_2=\tfrac{11}{2}\), a stosunek sumy do iloczynu wynosi \(\tfrac{11}{121/4}=\tfrac{4}{11}\).)