Równania trygonometryczne z parametrem

1. Krok 1. Wzór na sinus potrójnego kąta.

   Traktując $6x=3\cdot 2x$, korzystamy z $\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha$ dla $\alpha=2x$:

   $$\sin 6x=3\sin 2x-4\sin^{3}2x.$$
2. Krok 2. Podstawienie i rozkład na czynniki. $$3\sin 2x-4\sin^{3}2x-2\sin 2x=0\ \Rightarrow\ \sin 2x\left(1-4\sin^{2}2x\right)=0.$$
3. Krok 3. Rozwiązania.

   $\sin 2x=0\Rightarrow 2x=k\pi\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}$.

   $1-4\sin^{2}2x=0\Rightarrow \sin 2x=\pm\tfrac12\Rightarrow 2x=\pm\tfrac{\pi}{6}+k\pi\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}$.

4. Odpowiedź. $x=\dfrac{k\pi}{2}\ \lor\ x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}\ \lor\ x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$.

Rozwiązanie zadania 9

1. Krok 1: Przekształcenie lewej strony równania

   Dane równanie:

   $$3\cos^2 x + \sqrt{3}\sin(2x) - 3\sin^2 x = 0$$

   Grupujemy wyrazy i korzystamy ze wzorów:

   • $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$
   • $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$

   Wyrażenie $3\cos^2 x - 3\sin^2 x$ wyłączamy przez $3$:

   $$3(\cos^2 x - \sin^2 x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0$$ $$3\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0$$

2. Krok 2: Rozwiązanie równania trygonometrycznego

   Sprawdzamy, czy $\cos(2x) = 0$ jest rozwiązaniem. Gdyby $\cos(2x) = 0$, to $\sqrt{3}\sin(2x) = 0$, a więc $\sin(2x) = 0$, co jest sprzeczne (sinus i cosinus nie mogą być jednocześnie równe zero). Zatem $\cos(2x) \neq 0$ i możemy podzielić obie strony przez $\cos(2x)$:

   $$3 + \sqrt{3} \cdot \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 0$$ $$3 + \sqrt{3}\tan(2x) = 0$$ $$\tan(2x) = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$$

3. Krok 3: Wyznaczenie wartości $2x$

   Wiemy, że $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$, zatem:

   $$\tan(2x) = -\sqrt{3} \implies 2x = -\frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

4. Krok 4: Wyznaczenie rozwiązań w przedziale $[-\pi, \pi]$

   Podstawiamy kolejne wartości $k \in \mathbb{Z}$:

   • $k = -2$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{-2\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6} \notin [-\pi, \pi]$ — poza przedziałem
   • $k = -1$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} \in [-\pi, \pi]$ ✓
   • $k = 0$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} \in [-\pi, \pi]$ ✓
   • $k = 1$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \in [-\pi, \pi]$ ✓
   • $k = 2$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \in [-\pi, \pi]$ ✓
   • $k = 3$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} = \frac{4\pi}{3} \notin [-\pi, \pi]$ — poza przedziałem

5. Krok 5: Weryfikacja

   Sprawdzamy np. $x = \frac{\pi}{3}$: $\quad 2x = \frac{2\pi}{3}$, $\quad \tan\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$ ✓

   Sprawdzamy np. $x = -\frac{2\pi}{3}$: $\quad 2x = -\frac{4\pi}{3}$, $\quad \tan\!\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = \tan\!\left(-\frac{4\pi}{3} + \pi\right) = \tan\!\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$ ✓

Wynik końcowy:

Rozwiązania równania w przedziale $[-\pi, \pi]$ to:

Krok 1. Suma cosinusów.

Korzystamy ze wzoru \(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\):

\(\cos(2x)+\cos(4x)=2\cos(3x)\cos(x)\)

Równanie przyjmuje postać:

\(2\cos(3x)\cos(x)+2\cos^2(3x)=0\)

Krok 2. Rozkład na czynniki.

\(2\cos(3x)\left[\cos(x)+\cos(3x)\right]=0\)

Ponownie stosujemy wzór na sumę cosinusów: \(\cos x+\cos 3x=2\cos(2x)\cos(x)\):

\(4\cos(3x)\cos(2x)\cos(x)=0\)

Krok 3. Rozwiązania w przedziale \([0,\pi]\).

\(\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}\)

\(\cos(2x)=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\Rightarrow x\in\left\{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right\}\)

\(\cos(3x)=0\Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\Rightarrow x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right\}\)

Odpowiedź: \(x=\frac{\pi}{6}\), \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{\pi}{2}\), \(x=\frac{3\pi}{4}\), \(x=\frac{5\pi}{6}\)

1. Krok 1. Przekształcenie lewej strony (różnica sinusów). $$\sin 4x-\sin 2x=2\cos 3x\,\sin x.$$
2. Krok 2. Przekształcenie prawej strony.

   Ze wzoru $\cos 3x=\cos x\,(4\cos^{2}x-3)$ mamy, dla $\cos x\neq 0$, $\;4\cos^{2}x-3=\dfrac{\cos 3x}{\cos x}$.

3. Krok 3. Równanie iloczynowe.

   Mnożąc równanie przez $\cos x$ (i sprawdzając osobno, że $\cos x=0$ nie daje rozwiązań):

   $$2\cos 3x\,\sin x\cos x=\cos 3x\ \Rightarrow\ \cos 3x\,(\underbrace{2\sin x\cos x}_{\sin 2x}-1)=0\ \Rightarrow\ \cos 3x\,(\sin 2x-1)=0.$$
4. Krok 4. Rozwiązania.

   $\cos 3x=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{k\pi}{3}$. W $\langle 0,2\pi\rangle$ (odrzucając $\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}$, dla których $\cos x=0$): $\ x\in\left\{\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{7\pi}{6},\tfrac{11\pi}{6}\right\}$.

   $\sin 2x=1\Rightarrow 2x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi$: $\ x\in\left\{\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\right\}$.

5. Odpowiedź. $x\in\left\{\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{11\pi}{6}\right\}.$

Krok 1. Suma sinusów.

Korzystamy ze wzoru \(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\):

\(\sin(6x)+\sin(4x)=2\sin(5x)\cos(x)\)

Równanie przyjmuje postać:

\(2\sin(5x)\cos(x)+\sqrt{3}\sin(5x)=0\)

Krok 2. Rozkład na czynniki.

\(\sin(5x)\left(2\cos x+\sqrt{3}\right)=0\)

Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem.

Krok 3. Pierwsze równanie.

\(\sin(5x)=0\Rightarrow 5x=k\pi\Rightarrow x=\frac{k\pi}{5}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\)

Krok 4. Drugie równanie.

\(2\cos x+\sqrt{3}=0\Rightarrow\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\) lub \(x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\)

Odpowiedź: \(x=\frac{k\pi}{5}\) lub \(x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), lub \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\)

1. Krok 1. Zamiana iloczynu na sumę.

   Korzystamy ze wzoru $2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)$:

   $$4\sin(4x)\cos(6x)=2\big[\sin(10x)+\sin(-2x)\big]=2\sin(10x)-2\sin(2x).$$
2. Krok 2. Uproszczenie równania. $$2\sin(10x)-2\sin(2x)=2\sin(10x)+1\ \Rightarrow\ -2\sin(2x)=1\ \Rightarrow\ \sin(2x)=-\tfrac{1}{2}.$$
3. Krok 3. Rozwiązanie równania $\sin(2x)=-\tfrac12$. $$2x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\lor\quad 2x=\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.$$
4. Krok 4. Odpowiedź. $$x=-\frac{\pi}{12}+k\pi\quad\lor\quad x=\frac{7\pi}{12}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji.

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego \(\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\):

\(\sin(5x)=-\cos x=-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\)

Krok 2. Równanie \(\sin\alpha=\sin\beta\).

Zachodzi ono, gdy \(\alpha=\beta+2k\pi\) albo \(\alpha=\pi-\beta+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Przypadek A:

\(5x=x-\frac{\pi}{2}+2k\pi\)

\(4x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\)

\(x=-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\)

Przypadek B:

\(5x=\pi-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+2k\pi\)

\(6x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\)

\(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{3}\)

Krok 3. Wybór rozwiązań z przedziału \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).

Z przypadku A: \(k=0\Rightarrow x=-\frac{\pi}{8}\); \(\;k=1\Rightarrow x=\frac{3\pi}{8}\). (Dla \(k=-1\) otrzymujemy \(-\frac{5\pi}{8}\lt-\frac{\pi}{2}\), dla \(k=2\) — \(\frac{7\pi}{8}\gt\frac{\pi}{2}\).)

Z przypadku B: \(k=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\); \(\;k=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{12}\); \(\;k=-2\Rightarrow x=-\frac{5\pi}{12}\). (Dla \(k=1\) mamy \(\frac{7\pi}{12}\gt\frac{\pi}{2}\), dla \(k=-3\) — \(-\frac{3\pi}{4}\lt-\frac{\pi}{2}\).)

Odpowiedź: \(x=-\frac{5\pi}{12}\), \(x=-\frac{\pi}{8}\), \(x=-\frac{\pi}{12}\), \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{3\pi}{8}\)

Krok 1. Grupowanie i wzór na sumę sinusów. Łączymy skrajne składniki:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2}=2\sin 2x\cos(-x)=2\sin 2x\cos x.$$

Równanie przyjmuje postać

$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0.$$

Krok 2. Wyłączenie wspólnego czynnika.

$$\sin 2x\left(2\cos x+1\right)=0.$$

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników.

Krok 3. Pierwszy czynnik. $\sin 2x=0$ oznacza $2x=k\pi$, czyli $x=\frac{k\pi}{2}$. Dla $x\in\langle0,\pi\rangle$ mamy $2x\in\langle0,2\pi\rangle$, więc

$$x=0,\qquad x=\frac{\pi}{2},\qquad x=\pi.$$

Krok 4. Drugi czynnik.

$$2\cos x+1=0\ \Longrightarrow\ \cos x=-\frac12.$$

W przedziale $\langle0,\pi\rangle$ jedynym takim argumentem jest $x=\frac{2\pi}{3}$.

Odpowiedź: $x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{2\pi}{3},\ \pi\right\}$

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji trygonometrycznej.

Dzielimy równanie przez \(2\) i zapisujemy:

\(\frac{1}{2}\cos(3x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(3x)=-\frac{1}{2}\)

Ponieważ \(\frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6}\) oraz \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{\pi}{6}\), lewa strona jest równa \(\sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)\):

\(\sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\)

Krok 2. Rozwiązanie równania podstawowego.

\(3x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) lub \(3x+\frac{\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)

Pierwsza rodzina:

\(3x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\Rightarrow x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\)

Druga rodzina:

\(3x=\pi+2k\pi\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}\)

Krok 3. Wybór rozwiązań z przedziału \(\langle 0,\pi\rangle\).

Pierwsza rodzina: \(k=1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{9}\) ✓ (dla \(k=0\) wartość ujemna, dla \(k=2\) — \(\frac{11\pi}{9}\gt\pi\)).

Druga rodzina: \(k=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}\) ✓; \(\;k=1\Rightarrow x=\pi\) ✓.

Sprawdzenie dla \(x=\pi\): \(\cos 3\pi+\sqrt{3}\sin 3\pi+1=-1+0+1=0\) ✓

Odpowiedź: \(x=\frac{\pi}{3}\), \(x=\frac{5\pi}{9}\), \(x=\pi\)

Krok 1. Rozkład lewej strony. Korzystamy ze wzoru $\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$ i z różnicy kwadratów:

$$\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).$$

Krok 2. Wyłączenie wspólnego czynnika.

$$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)=0,$$

$$(\cos x-\sin x)\left(\cos x+\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0.$$

Krok 3. Pierwszy czynnik.

$$\cos x-\sin x=0\ \Longrightarrow\ \tan x=1\ \Longrightarrow\ x=\frac{\pi}{4}+k\pi.$$

W przedziale $\langle0,\pi\rangle$ otrzymujemy $x=\frac{\pi}{4}$.

Krok 4. Drugi czynnik. Sprowadzamy sumę do jednej funkcji:

$$\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$

więc równanie przyjmuje postać

$$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \Longrightarrow\ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}.$$

Dla $x\in\langle0,\pi\rangle$ mamy $x+\frac{\pi}{4}\in\left\langle\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right\rangle$. W tym przedziale $\sin\theta=\frac12$ zachodzi tylko dla $\theta=\frac{5\pi}{6}$ (rozwiązanie $\theta=\frac{\pi}{6}$ jest mniejsze od $\frac{\pi}{4}$, więc odpada).

$$x=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{10\pi-3\pi}{12}=\frac{7\pi}{12}.$$

Sprawdzenie: dla $x=\frac{7\pi}{12}=105^\circ$ mamy $\cos 210^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$ oraz $\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos105^\circ-\sin105^\circ\right)=-\frac{\sqrt3}{2}$ — obie strony równe.

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{4}$ lub $x=\frac{7\pi}{12}$

Krok 1. Zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta.

\(\sin(2x)=2\sin x\cos x\), więc równanie przyjmuje postać:

\(2\cos^2 x-\cos x=2\sin x\cos x-\sin x\)

Krok 2. Rozkład na czynniki.

\(\cos x(2\cos x-1)=\sin x(2\cos x-1)\)

\((2\cos x-1)(\cos x-\sin x)=0\)

Krok 3. Pierwsze równanie.

\(2\cos x-1=0\Rightarrow\cos x=\frac{1}{2}\)

W przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\): \(x=\frac{\pi}{3}\) lub \(x=\frac{5\pi}{3}\).

Krok 4. Drugie równanie.

\(\cos x=\sin x\)

Dla \(\cos x=0\) równość nie zachodzi, więc możemy podzielić przez \(\cos x\):

\(\operatorname{tg}x=1\)

W przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\): \(x=\frac{\pi}{4}\) lub \(x=\frac{5\pi}{4}\).

Odpowiedź: \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{\pi}{3}\), \(x=\frac{5\pi}{4}\), \(x=\frac{5\pi}{3}\)

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji. Korzystamy ze wzorów

$$\cos 2x=1-2\sin^{2}x,\qquad \cos^{2}x=1-\sin^{2}x.$$

Podstawiamy do równania:

$$3\left(1-2\sin^{2}x\right)+10\left(1-\sin^{2}x\right)=24\sin x-3.$$

$$3-6\sin^{2}x+10-10\sin^{2}x=24\sin x-3.$$

$$13-16\sin^{2}x=24\sin x-3.$$

Krok 2. Równanie kwadratowe.

$$16\sin^{2}x+24\sin x-16=0\ \Big|:8\ \Longrightarrow\ 2\sin^{2}x+3\sin x-2=0.$$

Podstawmy $s=\sin x$:

$$2s^{2}+3s-2=0,\qquad \Delta=9+16=25,\qquad \sqrt{\Delta}=5.$$

$$s_1=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2},\qquad s_2=\frac{-3-5}{4}=-2.$$

Krok 3. Odrzucenie niemożliwego rozwiązania. Zawsze $|\sin x|\le1$, więc $s_2=-2$ odpada.

Krok 4. Rozwiązanie równania $\sin x=\frac12$. W przedziale $\langle0,2\pi\rangle$:

$$x=\frac{\pi}{6}\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{5\pi}{6}.$$

Sprawdzenie dla $x=\frac{\pi}{6}$: lewa strona $=3\cdot\frac12+10\cdot\frac34=9$, prawa $=24\cdot\frac12-3=9$ ✓

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{6}$ lub $x=\frac{5\pi}{6}$

Krok 1. Zwinięcie sumy sinusów. Korzystamy ze wzoru

$$\sin\gamma+\sin\delta=2\sin\frac{\gamma+\delta}{2}\cos\frac{\gamma-\delta}{2}.$$

Dla $\gamma=x-\frac{\pi}{3}$ i $\delta=x+\frac{\pi}{3}$ mamy $\frac{\gamma+\delta}{2}=x$ oraz $\frac{\gamma-\delta}{2}=-\frac{\pi}{3}$:

$$\sin\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)+\sin\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=2\sin x\cos\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)=2\sin x\cdot\tfrac12=\sin x.$$

Krok 2. Uproszczone równanie.

$$\cos x\cdot\sin x=\frac12\sin x.$$

Krok 3. Przeniesienie i wyłączenie czynnika.

$$\sin x\left(\cos x-\frac12\right)=0.$$

Krok 4. Rozwiązania.

$$\sin x=0\ \Longrightarrow\ x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z};$$

$$\cos x=\frac12\ \Longrightarrow\ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \ \text{lub}\ \ x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Uwaga: warto zauważyć, że nie wolno tu dzielić obu stron przez $\sin x$ — stracilibyśmy rozwiązania $x=k\pi$.

Odpowiedź: $x=k\pi$ lub $x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$

Krok 1. Zamiana iloczynu na sumę.

Korzystamy ze wzoru \(2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\):

\(4\sin 7x\cos 2x=2\left[\sin(9x)+\sin(5x)\right]\)

Równanie przyjmuje postać:

\(2\sin 9x+2\sin 5x=2\sin 9x-1\)

Krok 2. Równanie podstawowe.

\(2\sin 5x=-1\)

\(\sin 5x=-\frac{1}{2}\)

Krok 3. Rozwiązania ogólne.

\(5x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) lub \(5x=\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)

\(x=-\frac{\pi}{30}+\frac{2k\pi}{5}\) lub \(x=\frac{7\pi}{30}+\frac{2k\pi}{5}\)

Krok 4. Wybór rozwiązań z przedziału \(\langle 0,\pi\rangle\).

Pierwsza rodzina (\(x=\frac{-\pi+12k\pi}{30}\)): \(k=1\Rightarrow x=\frac{11\pi}{30}\); \(\;k=2\Rightarrow x=\frac{23\pi}{30}\).

Druga rodzina (\(x=\frac{(7+12k)\pi}{30}\)): \(k=0\Rightarrow x=\frac{7\pi}{30}\); \(\;k=1\Rightarrow x=\frac{19\pi}{30}\).

Pozostałe wartości wychodzą poza przedział \(\langle 0,\pi\rangle\).

Odpowiedź: \(x=\frac{7\pi}{30}\), \(x=\frac{11\pi}{30}\), \(x=\frac{19\pi}{30}\), \(x=\frac{23\pi}{30}\)

Krok 1. Sprowadzenie do jednego argumentu. Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta, traktując $6x$ jako podwojone $3x$:

$$\sin 6x=2\sin 3x\cos 3x.$$

Równanie przyjmuje postać

$$2\sin 3x\cos 3x+\cos 3x=2\sin 3x+1.$$

Krok 2. Grupowanie. Po lewej stronie wyłączamy $\cos 3x$:

$$\cos 3x\left(2\sin 3x+1\right)=2\sin 3x+1.$$

$$\cos 3x\left(2\sin 3x+1\right)-\left(2\sin 3x+1\right)=0,$$

$$\left(2\sin 3x+1\right)\left(\cos 3x-1\right)=0.$$

Krok 3. Pierwszy czynnik: $\cos 3x=1$.

$$3x=2k\pi\ \Longrightarrow\ x=\frac{2k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

W przedziale $\langle0,\pi\rangle$ otrzymujemy $x=0$ oraz $x=\frac{2\pi}{3}$ (kolejna wartość $\frac{4\pi}{3}$ jest już poza przedziałem).

Krok 4. Drugi czynnik: $\sin 3x=-\frac12$. Dla $x\in\langle0,\pi\rangle$ mamy $3x\in\langle0,3\pi\rangle$. W tym przedziale sinus jest ujemny tylko na $(\pi,2\pi)$, a $\sin\theta=-\frac12$ zachodzi dla

$$3x=\frac{7\pi}{6}\qquad\text{lub}\qquad 3x=\frac{11\pi}{6}.$$

$$x=\frac{7\pi}{18}\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{11\pi}{18}.$$

Sprawdzenie dla $x=\frac{7\pi}{18}$: $\sin\frac{7\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$, więc lewa strona $=0$; prawa $=2\cdot\left(-\frac12\right)+1=0$ ✓

Odpowiedź: $x\in\left\{0,\ \frac{7\pi}{18},\ \frac{11\pi}{18},\ \frac{2\pi}{3}\right\}$

Krok 1. Zamiana iloczynu na sumę.

Korzystamy ze wzoru \(\sin X\cos Y=\frac{1}{2}\left[\sin(X+Y)+\sin(X-Y)\right]\) dla \(X=\frac{\pi}{12}-\alpha\) oraz \(Y=\frac{\pi}{12}+\alpha\):

\(X+Y=\frac{\pi}{6}\), \(\;X-Y=-2\alpha\)

\(\sin\left(\frac{\pi}{12}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}+\alpha\right)=\frac{1}{2}\left[\sin\frac{\pi}{6}+\sin(-2\alpha)\right]\)

Krok 2. Uproszczenie.

\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) oraz \(\sin(-2\alpha)=-\sin 2\alpha\), więc wyrażenie jest równe:

\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\sin 2\alpha\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sin 2\alpha\)

Krok 3. Oszacowanie.

Dla \(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) mamy \(2\alpha\in(0,\pi)\), a więc \(\sin 2\alpha\gt 0\), skąd \(\frac{1}{2}\sin 2\alpha\gt 0\) i

\(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sin 2\alpha\lt\frac{1}{4}\)

co kończy dowód. \(\blacksquare\)

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji. Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta w postaci

$$\cos 2x=2\cos^{2}x-1.$$

Równanie przyjmuje postać

$$2\cos^{2}x-1+3\cos x=-2.$$

Krok 2. Równanie kwadratowe.

$$2\cos^{2}x+3\cos x+1=0.$$

Podstawmy $t=\cos x$, przy czym $t\in\langle-1,1\rangle$:

$$2t^{2}+3t+1=0,\qquad \Delta=9-8=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1.$$

$$t_1=\frac{-3+1}{4}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{-3-1}{4}=-1.$$

Obie wartości mieszczą się w przedziale $\langle-1,1\rangle$, więc żadnej nie odrzucamy.

Krok 3. Rozwiązanie $\cos x=-\frac12$. W przedziale $\langle0,2\pi\rangle$ cosinus przyjmuje wartość $-\frac12$ w II i III ćwiartce:

$$x=\frac{2\pi}{3}\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{4\pi}{3}.$$

Krok 4. Rozwiązanie $\cos x=-1$.

$$x=\pi.$$

Sprawdzenie: dla $x=\pi$: $\cos 2\pi+3\cos\pi=1-3=-2$ ✓; dla $x=\frac{2\pi}{3}$: $\cos\frac{4\pi}{3}+3\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12-\frac32=-2$ ✓

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{2\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3}\right\}$

Krok 1. Wzór redukcyjny.

\(\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)

Krok 2. Uproszczenie równania.

\(3\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\)

\(2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\)

\(\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\)

Krok 3. Rozwiązania ogólne.

\(x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) lub \(x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)

\(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{5\pi}{12}+2k\pi\)

\(x=\frac{\pi}{4}+\frac{5\pi}{6}+2k\pi=\frac{13\pi}{12}+2k\pi\)

Krok 4. Wybór rozwiązań z przedziału \(\langle 0,2\pi\rangle\).

Dla \(k=0\) otrzymujemy \(x=\frac{5\pi}{12}\) oraz \(x=\frac{13\pi}{12}\); dla pozostałych \(k\) wartości wychodzą poza przedział.

Odpowiedź: \(x=\frac{5\pi}{12}\), \(x=\frac{13\pi}{12}\)

Krok 1. Dziedzina. Mianownik nie może być zerem:

$$\cos^{2}x\neq0\ \Longleftrightarrow\ \cos x\neq0\ \Longleftrightarrow\ x\neq\frac{\pi}{2}\ \text{i}\ x\neq\frac{3\pi}{2}.$$

Krok 2. Kluczowa obserwacja. W całej dziedzinie mianownik $\cos^{2}x$ jest dodatni (kwadrat liczby różnej od zera). Znak ułamka zależy więc wyłącznie od licznika:

$$\frac{2\cos x-\sqrt{3}}{\cos^{2}x}\lt 0\ \Longleftrightarrow\ 2\cos x-\sqrt{3}\lt 0\ \Longleftrightarrow\ \cos x\lt \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Krok 3. Rozwiązanie nierówności trygonometrycznej. W przedziale $\langle0,2\pi\rangle$ równość $\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$ zachodzi dla

$$x=\frac{\pi}{6}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{11\pi}{6}.$$

Cosinus jest mniejszy od $\frac{\sqrt3}{2}$ pomiędzy tymi wartościami:

$$x\in\left(\frac{\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}\right).$$

Krok 4. Usunięcie punktów spoza dziedziny. Zarówno $\frac{\pi}{2}$, jak i $\frac{3\pi}{2}$ należą do powyższego przedziału, więc trzeba je wykluczyć:

$$x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},\frac{11\pi}{6}\right).$$

Kontrola: dla $x=\pi$ mamy $\frac{2(-1)-\sqrt3}{1}\lt 0$ ✓; dla $x=0$ otrzymujemy $2-\sqrt3>0$, więc $0$ słusznie nie należy do rozwiązania ✓

Odpowiedź: $x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right)$ z wyłączeniem $\frac{\pi}{2}$ i $\frac{3\pi}{2}$

Krok 1. Podstawienie.

Niech \(t=\sin x\), gdzie \(t\in\langle-1,1\rangle\). Nierówność przyjmuje postać:

\((2t-3)(2t+1)\gt 0\)

Miejsca zerowe: \(t=\frac{3}{2}\) oraz \(t=-\frac{1}{2}\); współczynnik przy \(t^2\) jest dodatni, więc:

\(t\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)\)

Krok 2. Uwzględnienie zakresu sinusa.

Ponieważ \(\sin x\le 1\lt\frac{3}{2}\), drugi przedział nie daje rozwiązań. Pozostaje:

\(\sin x\lt-\frac{1}{2}\)

Można też zauważyć od razu, że \(2\sin x-3\lt 0\) dla każdego \(x\), więc iloczyn jest dodatni tylko wtedy, gdy \(2\sin x+1\lt 0\).

Krok 3. Rozwiązanie w przedziale \((0,2\pi)\).

Sinus przyjmuje wartość \(-\frac{1}{2}\) dla \(x=\frac{7\pi}{6}\) oraz \(x=\frac{11\pi}{6}\), a między tymi argumentami jest mniejszy od \(-\frac{1}{2}\).

Odpowiedź: \(x\in\left(\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right)\)

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji. Wyrażenie postaci $a\sin x+b\cos x$ można zapisać jako

$$a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi),\qquad R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.$$

Tutaj $a=2$, $b=3$, więc

$$R=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}.$$

Krok 2. Oszacowanie wartości lewej strony. Ponieważ $|\sin(x+\varphi)|\le1$, dla każdego $x$ zachodzi

$$|2\sin x+3\cos x|\le\sqrt{13}\approx 3{,}61.$$

Krok 3. Wniosek. Prawa strona równania wynosi $6$, a

$$\sqrt{13}<\sqrt{36}=6,$$

więc lewa strona nigdy nie osiągnie wartości $6$. Równanie nie ma rozwiązań — ani w podanym przedziale, ani w ogóle.

Uwaga: to samo można uzasadnić nierównością $2\sin x+3\cos x\le 2+3=5<6$, choć oszacowanie przez $\sqrt{13}$ jest dokładniejsze.

Odpowiedź: A

Krok 1. Przekształcenie prawej strony.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\):

\(\cos^2 x-3\sin^2 x=1-\sin^2 x-3\sin^2 x=1-4\sin^2 x=-\left(4\sin^2 x-1\right)\)

Krok 2. Rozkład na czynniki.

Równanie przyjmuje postać:

\(\left(4\sin^2 x-1\right)\sin x+\left(4\sin^2 x-1\right)=0\)

\(\left(4\sin^2 x-1\right)\left(\sin x+1\right)=0\)

\((2\sin x-1)(2\sin x+1)(\sin x+1)=0\)

Krok 3. Rozwiązanie w przedziale \((-\pi,0)\).

Dla \(x\in(-\pi,0)\) mamy \(\sin x\lt 0\), więc równanie \(\sin x=\frac{1}{2}\) nie ma tu rozwiązań.

\(\sin x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}\) lub \(x=-\frac{5\pi}{6}\)

\(\sin x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}\)

Odpowiedź: \(x=-\frac{5\pi}{6}\), \(x=-\frac{\pi}{2}\), \(x=-\frac{\pi}{6}\)

Krok 1. Przeniesienie na jedną stronę.

$$\sqrt{3}\cos x-\sin x=1.$$

Krok 2. Zwinięcie do jednej funkcji. Wyłączamy $2$ przed nawias:

$$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x\right)=1.$$

Rozpoznajemy wzór na cosinus sumy, bo $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$ oraz $\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=\cos x\cos\frac{\pi}{6}-\sin x\sin\frac{\pi}{6}=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

$$2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1\ \Longrightarrow\ \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.$$

Krok 3. Zakres argumentu. Dla $x\in\langle0,2\pi\rangle$ mamy

$$x+\frac{\pi}{6}\in\left\langle\frac{\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6}\right\rangle.$$

Krok 4. Rozwiązania. W tym przedziale $\cos\theta=\frac12$ zachodzi dla

$$\theta=\frac{\pi}{3}\qquad\text{oraz}\qquad \theta=\frac{5\pi}{3}.$$

$$x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{5\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{2}.$$

Sprawdzenie: dla $x=\frac{\pi}{6}$: $\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac32$ oraz $1+\frac12=\frac32$ ✓; dla $x=\frac{3\pi}{2}$: $\sqrt3\cdot0=0$ oraz $1-1=0$ ✓

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{6}$ lub $x=\frac{3\pi}{2}$

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji. Korzystamy ze wzoru $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$:

$$2\cos^{2}x-1+\cos x+1=0\ \Longrightarrow\ 2\cos^{2}x+\cos x=0.$$

Krok 2. Wyłączenie wspólnego czynnika.

$$\cos x\left(2\cos x+1\right)=0.$$

Krok 3. Pierwszy czynnik: $\cos x=0$. W przedziale $\langle0,2\pi\rangle$:

$$x=\frac{\pi}{2}\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{3\pi}{2}.$$

Krok 4. Drugi czynnik: $\cos x=-\frac12$. Cosinus przyjmuje wartość $-\frac12$ w II i III ćwiartce:

$$x=\frac{2\pi}{3}\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{4\pi}{3}.$$

Sprawdzenie: dla $x=\frac{2\pi}{3}$: $\cos\frac{4\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3}+1=-\frac12-\frac12+1=0$ ✓; dla $x=\frac{\pi}{2}$: $\cos\pi+0+1=-1+1=0$ ✓

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{2},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{3\pi}{2}\right\}$

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji. Korzystamy ze wzoru $\cos2x=2\cos^{2}x-1$:

$$2\cos^{2}x-1+2=3\cos x\ \Longrightarrow\ 2\cos^{2}x-3\cos x+1=0.$$

Krok 2. Podstawienie. Niech $t=\cos x$, przy czym $t\in\langle-1,1\rangle$:

$$2t^{2}-3t+1=0,\qquad \Delta=9-8=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1.$$

$$t_1=\frac{3+1}{4}=1,\qquad t_2=\frac{3-1}{4}=\frac12.$$

Obie wartości mieszczą się w przedziale $\langle-1,1\rangle$.

Krok 3. Powrót do zmiennej $x$.

$$\cos x=1\ \Longrightarrow\ x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z};$$

$$\cos x=\frac12\ \Longrightarrow\ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \ \text{lub}\ \ x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi.$$

Sprawdzenie dla $x=\frac{\pi}{3}$: $\cos\frac{2\pi}{3}+2=-\frac12+2=\frac32$ oraz $3\cos\frac{\pi}{3}=\frac32$ ✓

Odpowiedź: $x=2k\pi$ lub $x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$

Po lewej stronie wyłączamy \(2\sin^2x\) przed nawias:

\(2\sin^2x(1-\cos x)=1-\cos x\),

\(2\sin^2x(1-\cos x)-(1-\cos x)=0\),

\((1-\cos x)(2\sin^2x-1)=0\).

1) \(1-\cos x=0\), czyli \(\cos x=1\). W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) daje to \(x=0\) oraz \(x=2\pi\).

2) \(2\sin^2x-1=0\), czyli \(\sin^2x=\tfrac12\), a więc \(\sin x=\tfrac{\sqrt2}{2}\) lub \(\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\). W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) otrzymujemy \(x=\tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{3\pi}{4},\ \tfrac{5\pi}{4},\ \tfrac{7\pi}{4}\).

Odpowiedź: \(x\in\left\{0,\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{3\pi}{4},\ \tfrac{5\pi}{4},\ \tfrac{7\pi}{4},\ 2\pi\right\}\).

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji trygonometrycznej.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\):

\(6\left(1-\cos^2 x\right)+7\cos x-1=0\)

\(6-6\cos^2 x+7\cos x-1=0\)

\(6\cos^2 x-7\cos x-5=0\)

Krok 2. Równanie kwadratowe z niewiadomą \(t=\cos x\).

\(6t^2-7t-5=0\)

\(\Delta=49+120=169\), \(\;\sqrt{\Delta}=13\)

\(t_1=\frac{7-13}{12}=-\frac{1}{2}\), \(\;t_2=\frac{7+13}{12}=\frac{5}{3}\)

Krok 3. Powrót do zmiennej \(x\).

Ponieważ \(\cos x\in\langle-1,1\rangle\), wartość \(t_2=\frac{5}{3}\gt 1\) odrzucamy.

\(\cos x=-\frac{1}{2}\)

W przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\):

\(x=\frac{2\pi}{3}\) lub \(x=\frac{4\pi}{3}\)

Odpowiedź: \(x=\frac{2\pi}{3}\), \(x=\frac{4\pi}{3}\) (czyli \(120^\circ\) i \(240^\circ\))

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(\cos^2x=1-\sin^2x\):

\(4(1-\sin^2x)=4\sin x+1\),

\(4\sin^2x+4\sin x-3=0\).

Podstawiamy \(t=\sin x\), \(t\in\langle-1,1\rangle\):

\(4t^2+4t-3=0\), \(\Delta=16+48=64\), \(t=\dfrac{-4-8}{8}=-\dfrac32\) lub \(t=\dfrac{-4+8}{8}=\dfrac12\).

Wartość \(t=-\tfrac32\) odrzucamy. Pozostaje \(\sin x=\tfrac12\), co w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) daje

\(x=\dfrac{\pi}{6}\) lub \(x=\dfrac{5\pi}{6}\).

Dziedzina: \(\sin x\neq0\), czyli \(x\neq k\pi\).

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego \(\cos\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x\) oraz \(\mathrm{ctg}\,x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\):

\(\dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}-\sin x=0\).

Mnożymy obie strony przez \(\sin x\neq0\):

\(1+\cos x-\sin^2x=0\).

Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2x=1-\cos^2x\):

\(1+\cos x-1+\cos^2x=0\), czyli \(\cos x(1+\cos x)=0\).

• \(\cos x=0\) daje \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\); wtedy \(\sin x=\pm1\neq0\), więc wartości te należą do dziedziny.

• \(\cos x=-1\) daje \(x=\pi+2k\pi\), ale wtedy \(\sin x=0\) — odrzucamy.

Odpowiedź: \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą.