Równania logarytmiczne

Zapisujemy oba pierwiastki jako potęgi liczby $3$:

$$\sqrt{27}=27^{\frac12}=\left(3^3\right)^{\frac12}=3^{\frac32},\qquad \sqrt{3}=3^{\frac12}.$$

Stąd pierwszy logarytm wynosi $\log_3 3^{\frac32}=\frac32$.

Drugi obliczamy ze wzoru na zamianę podstawy, bo $27=3^3$:

$$\log_{27}\sqrt{3}=\frac{\log_3 3^{\frac12}}{\log_3 3^3}=\frac{\frac12}{3}=\frac16.$$

Różnica: $$\frac32-\frac16=\frac96-\frac16=\frac86=\frac43.$$

Odpowiedź: A

Krok 1. Rozbicie liczby 18. Ponieważ $18=2\cdot 3^{2}$, korzystamy z własności logarytmu iloczynu i potęgi:

$$c=\log_{2}18=\log_{2}\left(2\cdot 3^{2}\right)=\log_{2}2+\log_{2}3^{2}=1+2\log_{2}3.$$

Krok 2. Wyznaczenie $\log_{2}3$.

$$2\log_{2}3=c-1\ \Longrightarrow\ \log_{2}3=\frac{c-1}{2}.$$

Krok 3. Przejście do $\log_{3}4$. Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy oraz $4=2^{2}$:

$$\log_{3}4=\log_{3}2^{2}=2\log_{3}2=\frac{2}{\log_{2}3}.$$

Krok 4. Podstawienie.

$$\log_{3}4=\frac{2}{\frac{c-1}{2}}=\frac{4}{c-1},$$

co należało wykazać. $\blacksquare$

Uwaga: $\log_{2}3>0$, więc $c=1+2\log_{2}3>1$ i mianownik $c-1$ jest różny od zera.

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu oraz z własności $\log_a\frac1b=-\log_a b$.

Krok 1. Pierwszy czynnik.

$$\log_{\frac{1}{x}}y=\frac{\ln y}{\ln\frac1x}=\frac{\ln y}{-\ln x}=-\frac{\ln y}{\ln x}.$$

Krok 2. Drugi czynnik.

$$\log_{\frac{1}{y}}x=\frac{\ln x}{-\ln y}=-\frac{\ln x}{\ln y}.$$

Krok 3. Iloczyn. Minusy się znoszą, a ułamki skracają:

$$\left(-\frac{\ln y}{\ln x}\right)\cdot\left(-\frac{\ln x}{\ln y}\right)=\frac{\ln y}{\ln x}\cdot\frac{\ln x}{\ln y}=1.$$

Założenia $x\neq1$ i $y\neq1$ gwarantują, że $\ln x\neq0$ i $\ln y\neq0$, więc dzielenie jest poprawne.

Odpowiedź: D

Krok 1. Odwrotność logarytmu. Korzystamy z tożsamości $\frac{1}{\log_{a}b}=\log_{b}a$:

$$\frac{1}{\log_{20}5}=\log_{5}20.$$

Krok 2. Pierwszy składnik. Ze wzoru na logarytm potęgi:

$$2\log_{5}10=\log_{5}10^{2}=\log_{5}100.$$

Krok 3. Różnica logarytmów.

$$\log_{5}100-\log_{5}20=\log_{5}\frac{100}{20}=\log_{5}5=1.$$

Odpowiedź: C

Krok 1. Opuszczenie wartości bezwzględnej.

Funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc \(5^{3-x}\gt 0\) i:

\(3+5^{3-x}\gt 3\gt 0\)

Zatem \(\left|3+5^{3-x}\right|=3+5^{3-x}\) i

\(f(x)=3+5^{3-x}-1=2+5^{3-x}\)

Krok 2. Zbiór wartości.

Gdy \(x\) przebiega zbiór liczb rzeczywistych, wyrażenie \(5^{3-x}\) przyjmuje wszystkie wartości z przedziału \((0,+\infty)\).

Zatem \(f(x)=2+5^{3-x}\) przyjmuje wszystkie wartości z przedziału \((2,+\infty)\).

Odpowiedź: A.

Krok 1. Dziedzina.

Funkcja logarytmiczna jest określona dla \(x\gt 0\), więc rozpatrujemy tylko takie argumenty.

Krok 2. Monotoniczność funkcji.

Funkcja \(y=\log_2 x\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie (podstawa \(2\gt 1\)).

Funkcja \(y=-x+1\) jest malejąca.

Wykres funkcji rosnącej i wykres funkcji malejącej mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny.

Krok 3. Istnienie punktu wspólnego.

Dla \(x=1\): \(\log_2 1=0\), a \(-1+1=0\) — wartości są równe.

Zatem punkt \((1,0)\) jest jedynym punktem wspólnym obu wykresów.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Rozbicie na dwa podciągi. Wyrazy o numerach nieparzystych $a_1,a_3,\ldots,a_{99}$ tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q^{2}$ ($50$ wyrazów). Analogicznie wyrazy parzyste $a_2,a_4,\ldots,a_{100}$ mają pierwszy wyraz $a_1q$ i ten sam iloraz $q^{2}$.

Każdy wyraz parzysty powstaje z odpowiadającego mu nieparzystego przez pomnożenie przez $q$, więc

$$S_{\text{parz}}=q\cdot S_{\text{niep}}.$$

Krok 2. Wyznaczenie ilorazu. Z warunku zadania $S_{\text{niep}}=100\,S_{\text{parz}}$:

$$S_{\text{niep}}=100\,q\,S_{\text{niep}}.$$

Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc $S_{\text{niep}}>0$ i można podzielić:

$$1=100q\ \Longrightarrow\ q=\frac{1}{100}=10^{-2}.$$

Krok 3. Druga zależność — suma logarytmów. Suma logarytmów to logarytm iloczynu:

$$\log\left(a_1a_2\cdots a_{100}\right)=100.$$

Iloczyn wyrazów ciągu geometrycznego:

$$a_1a_2\cdots a_{100}=a_1^{100}\cdot q^{0+1+2+\ldots+99}=a_1^{100}\cdot q^{4950},$$

bo $0+1+\ldots+99=\frac{99\cdot100}{2}=4950$.

Krok 4. Wyznaczenie $a_1$.

$$100\log a_1+4950\log q=100.$$

Ponieważ $\log q=\log 10^{-2}=-2$:

$$100\log a_1-9900=100\ \Longrightarrow\ 100\log a_1=10000\ \Longrightarrow\ \log a_1=100.$$

$$a_1=10^{100}.$$

Uwaga: przypadek $q=1$ jest niemożliwy — wtedy obie sumy byłyby równe, a mają się różnić stukrotnie.

Odpowiedź: $a_1=10^{100}$

a) Wyznaczenie $p$. Funkcja $f(x)=\log_{2}(x-p)$ ma asymptotę pionową o równaniu $x=p$. Z wykresu odczytujemy, że asymptota przechodzi przez $x=-4$, zatem

$$p=-4\qquad\text{i}\qquad f(x)=\log_{2}(x+4).$$

Kontrola z wykresu: $f(-3)=\log_{2}1=0$ ✓ oraz $f(0)=\log_{2}4=2$ ✓

b) Wykres $y=|f(x)|$. Dziedziną jest $x>-4$. Rozpatrujemy dwa przedziały:

• dla $x\ge-3$ mamy $x+4\ge1$, więc $\log_{2}(x+4)\ge0$ i wykres pozostaje bez zmian;

• dla $-4\lt x\lt -3$ mamy $0\lt x+4\lt 1$, więc $\log_{2}(x+4)\lt 0$ — tę część odbijamy symetrycznie względem osi $OX$.

Powstaje wykres w kształcie litery „V" z ramieniem rosnącym od $x=-3$ w prawo oraz ramieniem wznoszącym się do $+\infty$ przy $x\to-4^{+}$; najmniejsza wartość $0$ jest przyjmowana dla $x=-3$.

c) Warunek na $m$. Rozwiązujemy $|\log_{2}(x+4)|=m$. Dla $m>0$ otrzymujemy dwa równania:

$$\log_{2}(x+4)=m\ \Longrightarrow\ x_1=2^{m}-4,$$

$$\log_{2}(x+4)=-m\ \Longrightarrow\ x_2=2^{-m}-4.$$

Znak $x_2$: dla $m>0$ mamy $0\lt 2^{-m}\lt 1$, więc $x_2\in(-4,-3)$ — jest zawsze ujemny.

Znak $x_1$:

$$x_1>0\ \Longleftrightarrow\ 2^{m}>4\ \Longleftrightarrow\ m>2.$$

Dla $m=0$ równanie ma tylko jedno rozwiązanie ($x=-3$), a dla $m\lt 0$ — żadnego.

Kontrola: dla $m=3$: $x_1=4>0$, $x_2=-3{,}875\lt 0$ ✓; dla $m=2$: $x_1=0$ — zero nie ma znaku, więc warunek niespełniony ✓; dla $m=1$: $x_1=-2$ i $x_2=-3{,}5$ — oba ujemne ✓

Odpowiedź: a) $p=-4$;   c) $m\in(2,+\infty)$

Aby wyrażenie miało sens, muszą być spełnione trzy warunki.

1) Liczba logarytmowana dodatnia: \(9-x^2>0\), czyli \(x\in(-3,3)\).

2) Podstawa dodatnia: \(2\cos x>0\), czyli \(\cos x>0\).

W przedziale \((-3,3)\) (zauważmy, że \(3\lt \pi\)) warunek \(\cos x>0\) daje \(x\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)\).

3) Podstawa różna od 1: \(2\cos x\neq1\), czyli \(\cos x\neq\tfrac12\), a więc \(x\neq-\tfrac{\pi}{3}\) i \(x\neq\tfrac{\pi}{3}\).

Część wspólna wszystkich warunków:

\(D_f=\left(-\tfrac{\pi}{2},-\tfrac{\pi}{3}\right)\cup\left(-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\right)\cup\left(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2}\right)\).

Dziedzina. Liczba logarytmowana musi być dodatnia:

\(8x-x^2>0\), czyli \(x(8-x)>0\), skąd \(D_f=(0,8)\).

Najmniejsza wartość. Podstawa logarytmu \(\dfrac{\sqrt2}{2}=2^{-\frac12}\) należy do przedziału \((0,1)\), więc funkcja logarytmiczna jest malejąca. Zatem \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą wtedy, gdy wyrażenie \(g(x)=8x-x^2\) osiąga wartość największą.

\(g\) jest funkcją kwadratową o ujemnym współczynniku przy \(x^2\), z wierzchołkiem w \(x_0=\dfrac{0+8}{2}=4\):

\(g(4)=32-16=16\).

Stąd

\(f_{\min}=\log_{2^{-\frac12}}16=\dfrac{\log_2 16}{\log_2 2^{-\frac12}}=\dfrac{4}{-\tfrac12}=-8\).

Odpowiedź: \(D_f=(0,8)\), a najmniejsza wartość funkcji wynosi \(-8\) (dla \(x=4\)).

Dziedzina. Wszystkie liczby logarytmowane muszą być dodatnie:

\(x^2-1>0\Rightarrow x\lt -1\ \text{lub}\ x>1\); \(\ 5-x>0\Rightarrow x\lt 5\); \(\ 3(x+1)>0\Rightarrow x>-1\).

Częścią wspólną jest \(D=(1,5)\).

Rozwiązanie nierówności. Z sumy logarytmów:

\(\log_{\frac13}\bigl[(x^2-1)(5-x)\bigr]>\log_{\frac13}\bigl(3(x+1)\bigr)\).

Podstawa \(\tfrac13\in(0,1)\), więc funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówność zmienia kierunek:

\((x^2-1)(5-x)\lt 3(x+1)\).

W dziedzinie \(x+1>0\), więc możemy podzielić obie strony przez \(x+1\):

\((x-1)(5-x)\lt 3\),

\(-x^2+6x-5\lt 3\), czyli \(x^2-6x+8>0\), a więc \((x-2)(x-4)>0\).

Stąd \(x\lt 2\) lub \(x>4\).

Część wspólna z dziedziną: \(x\in(1,2)\cup(4,5)\).

Ilorazem ciągu jest \(q=\log_2(k-2)\).

Warunek istnienia logarytmu: \(k-2>0\), czyli \(k>2\).

Warunek niezerowych wyrazów: \(q\neq0\), czyli \(k-2\neq1\), a więc \(k\neq3\).

Warunek istnienia sumy szeregu geometrycznego: \(|q|\lt 1\), czyli

\(-1\lt \log_2(k-2)\lt 1\).

Ponieważ podstawa \(2>1\), funkcja logarytmiczna jest rosnąca, więc

\(2^{-1}\lt k-2\lt 2^{1}\), czyli \(\dfrac12\lt k-2\lt 2\), a stąd \(\dfrac52\lt k\lt 4\).

Część wspólna wszystkich warunków:

\(k\in\left(\dfrac52,3\right)\cup(3,4)\).

Warunki na podstawę logarytmu: \(x>0\) i \(x\neq1\).

Warunek na liczbę logarytmowaną: \(4^x-12\cdot2^x+32>0\).

Podstawiamy \(t=2^x>0\); wtedy \(4^x=t^2\) i nierówność przyjmuje postać

\(t^2-12t+32>0\), czyli \((t-4)(t-8)>0\).

Stąd \(t\lt 4\) lub \(t>8\), a więc

\(2^x\lt 2^2\) lub \(2^x>2^3\), czyli \(x\lt 2\) lub \(x>3\).

Część wspólna warunków:

\(D_f=(0,1)\cup(1,2)\cup(3,+\infty)\).

1) Liczba logarytmowana dodatnia. Rozkładamy wielomian na czynniki:

\(x^3+4x^2-x-4=x^2(x+4)-(x+4)=(x+4)(x^2-1)=(x+4)(x-1)(x+1)\).

Miejsca zerowe: \(-4,-1,1\). Współczynnik przy \(x^3\) jest dodatni, więc

\((x+4)(x+1)(x-1)>0\ \Longleftrightarrow\ x\in(-4,-1)\cup(1,+\infty)\).

2) Podstawa dodatnia i różna od 1.

\(x^2-3>0\ \Longleftrightarrow\ x\lt -\sqrt3\) lub \(x>\sqrt3\),

\(x^2-3\neq1\ \Longleftrightarrow\ x\neq-2\) i \(x\neq2\).

3) Część wspólna. Ponieważ \(\sqrt3\approx1{,}73\):

\((-4,-1)\cap\left(x\lt -\sqrt3\right)=(-4,-\sqrt3)\), a po usunięciu \(x=-2\): \((-4,-2)\cup(-2,-\sqrt3)\),

\((1,+\infty)\cap\left(x>\sqrt3\right)=(\sqrt3,+\infty)\), a po usunięciu \(x=2\): \((\sqrt3,2)\cup(2,+\infty)\).

Odpowiedź: \(D_f=(-4,-2)\cup(-2,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,2)\cup(2,+\infty)\).