Potęga o wykładniku rzeczywistym

Zapisujemy oba pierwiastki jako potęgi liczby $3$:

$$\sqrt{27}=27^{\frac12}=\left(3^3\right)^{\frac12}=3^{\frac32},\qquad \sqrt{3}=3^{\frac12}.$$

Stąd pierwszy logarytm wynosi $\log_3 3^{\frac32}=\frac32$.

Drugi obliczamy ze wzoru na zamianę podstawy, bo $27=3^3$:

$$\log_{27}\sqrt{3}=\frac{\log_3 3^{\frac12}}{\log_3 3^3}=\frac{\frac12}{3}=\frac16.$$

Różnica: $$\frac32-\frac16=\frac96-\frac16=\frac86=\frac43.$$

Odpowiedź: A

Krok 1. Rozbicie liczby 18. Ponieważ $18=2\cdot 3^{2}$, korzystamy z własności logarytmu iloczynu i potęgi:

$$c=\log_{2}18=\log_{2}\left(2\cdot 3^{2}\right)=\log_{2}2+\log_{2}3^{2}=1+2\log_{2}3.$$

Krok 2. Wyznaczenie $\log_{2}3$.

$$2\log_{2}3=c-1\ \Longrightarrow\ \log_{2}3=\frac{c-1}{2}.$$

Krok 3. Przejście do $\log_{3}4$. Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy oraz $4=2^{2}$:

$$\log_{3}4=\log_{3}2^{2}=2\log_{3}2=\frac{2}{\log_{2}3}.$$

Krok 4. Podstawienie.

$$\log_{3}4=\frac{2}{\frac{c-1}{2}}=\frac{4}{c-1},$$

co należało wykazać. $\blacksquare$

Uwaga: $\log_{2}3>0$, więc $c=1+2\log_{2}3>1$ i mianownik $c-1$ jest różny od zera.

Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona. Składnik zawierający $x^{2}y^{2}$ odpowiada wyrazowi o numerze $k=2$:

$$\binom{4}{2}\left(x\sqrt{2}\right)^{2}\left(y\sqrt{3}\right)^{2}.$$

Krok 1. Współczynnik dwumianowy.

$$\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!\,2!}=6.$$

Krok 2. Potęgi.

$$\left(x\sqrt{2}\right)^{2}=2x^{2},\qquad \left(y\sqrt{3}\right)^{2}=3y^{2}.$$

Krok 3. Iloczyn.

$$6\cdot 2x^{2}\cdot 3y^{2}=36x^{2}y^{2}.$$

Zatem $c=36$. Zwróćmy uwagę, że pierwiastki podniesione do kwadratu dają liczby wymierne — dlatego warianty z $\sqrt{6}$ odpadają.

Odpowiedź: B

Krok 1. Zamiana pierwiastka na potęgę.

$$\sqrt[4]{8}=8^{\frac14}=\left(2^{3}\right)^{\frac14}=2^{\frac34}.$$

Krok 2. Sprowadzenie każdej liczby do potęgi dwójki.

$$a=\frac{2^{\frac34}}{2}=2^{\frac34-1}=2^{-\frac14},$$

$$b=\frac{1}{2\cdot2^{\frac34}}=\frac{1}{2^{\frac74}}=2^{-\frac74},$$

$$c=2^{\frac34},\qquad d=\frac{2}{2^{\frac34}}=2^{1-\frac34}=2^{\frac14}.$$

Krok 3. Porównanie z $k$. Ponieważ $k=2^{-\frac14}$, jedyną pasującą liczbą jest $a$.

Odpowiedź: A

Krok 1. Odwrotność logarytmu. Korzystamy z tożsamości $\frac{1}{\log_{a}b}=\log_{b}a$:

$$\frac{1}{\log_{20}5}=\log_{5}20.$$

Krok 2. Pierwszy składnik. Ze wzoru na logarytm potęgi:

$$2\log_{5}10=\log_{5}10^{2}=\log_{5}100.$$

Krok 3. Różnica logarytmów.

$$\log_{5}100-\log_{5}20=\log_{5}\frac{100}{20}=\log_{5}5=1.$$

Odpowiedź: C

Krok 1. Wzór skróconego mnożenia. Oznaczmy $u=\sqrt{2-\sqrt3}$ oraz $v=\sqrt{2+\sqrt3}$. Wtedy

$$(u-v)^{2}=u^{2}-2uv+v^{2}.$$

Krok 2. Kwadraty.

$$u^{2}=2-\sqrt3,\qquad v^{2}=2+\sqrt3,\qquad u^{2}+v^{2}=4.$$

Krok 3. Iloczyn. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów pod pierwiastkiem:

$$uv=\sqrt{\left(2-\sqrt3\right)\left(2+\sqrt3\right)}=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1.$$

Krok 4. Podstawienie.

$$(u-v)^{2}=4-2\cdot 1=2.$$

Uwaga: obie liczby $2\pm\sqrt3$ są dodatnie, więc pierwiastki są dobrze określone.

Odpowiedź: A

Krok 1. Przestrzeń zdarzeń. Losujemy ze zwracaniem trzy razy spośród $8$ piłeczek:

$$|\Omega|=8^{3}=512.$$

Krok 2. Podział liczb według potęgi dwójki. Iloczyn jest podzielny przez $4=2^{2}$, gdy łączna potęga dwójki w rozkładzie wynosi co najmniej $2$. Dzielimy liczby $1,\ldots,8$ na trzy grupy:

• nieparzyste (wkład $2^{0}$): $1,3,5,7$ — 4 liczby;
• dające dokładnie $2^{1}$: $2,6$ — 2 liczby;
• podzielne przez 4: $4,8$ — 2 liczby.

Krok 3. Zdarzenie przeciwne. Wygodniej policzyć przypadki, w których iloczyn nie dzieli się przez $4$, czyli łączna potęga dwójki wynosi $0$ albo $1$.

Potęga $0$ — wszystkie trzy liczby nieparzyste:

$$4^{3}=64.$$

Potęga $1$ — dokładnie jedna liczba z grupy $\{2,6\}$, pozostałe dwie nieparzyste. Wybieramy pozycję tej liczby ($3$ sposoby), samą liczbę ($2$ sposoby) oraz dwie nieparzyste ($4^{2}$):

$$3\cdot 2\cdot 4^{2}=3\cdot2\cdot16=96.$$

$$|A^{\prime}|=64+96=160.$$

Krok 4. Prawdopodobieństwo.

$$|A|=512-160=352,$$

$$P(A)=\frac{352}{512}=\frac{11}{16}.$$

Sprawdzenie skrócenia: $352=32\cdot11$ oraz $512=32\cdot16$ ✓

Odpowiedź: $P=\frac{11}{16}$

Krok 1. Stopień licznika. Wyrażenie $\left(pn^{2}+4n\right)^{3}$ po rozwinięciu jest wielomianem stopnia szóstego, a jego wyraz wiodący to

$$\left(pn^{2}\right)^{3}=p^{3}n^{6}.$$

Krok 2. Stopień mianownika. Mianownik $5n^{6}-4$ ma wyraz wiodący $5n^{6}$.

Krok 3. Granica. Stopnie są równe, więc granica to iloraz współczynników wiodących:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\left(pn^{2}+4n\right)^{3}}{5n^{6}-4}=\frac{p^{3}}{5}.$$

Krok 4. Równanie na $p$.

$$\frac{p^{3}}{5}=-\frac{8}{5}\ \Longrightarrow\ p^{3}=-8\ \Longrightarrow\ p=-2.$$

Uwaga: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej jest jednoznaczny, więc $p=-2$ to jedyne rozwiązanie.

Odpowiedź: D

Krok 1. Wzór skróconego mnożenia.

$$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3},$$

gdzie $a=3$ oraz $b=2\sqrt{3}$.

Krok 2. Kolejne składniki.

$$a^{3}=27,$$

$$3a^{2}b=3\cdot 9\cdot 2\sqrt{3}=54\sqrt{3},$$

$$3ab^{2}=3\cdot3\cdot\left(2\sqrt{3}\right)^{2}=9\cdot 12=108,$$

$$b^{3}=\left(2\sqrt{3}\right)^{3}=8\cdot 3\sqrt{3}=24\sqrt{3}.$$

Krok 3. Złożenie.

$$\left(3-2\sqrt{3}\right)^{3}=27-54\sqrt{3}+108-24\sqrt{3}=135-78\sqrt{3}.$$

Odpowiedź: C

Obliczamy \(\sqrt{A}\), korzystając z własności potęg (\(A>0\)):

\(\sqrt{A}=A^{\frac12}=\left(3^{4\sqrt2+2}\right)^{\frac12}=3^{\frac{4\sqrt2+2}{2}}=3^{2\sqrt2+1}\).

Stąd

\(9\sqrt{A}=3^2\cdot3^{2\sqrt2+1}=3^{2+2\sqrt2+1}=3^{2\sqrt2+3}=B\),

co kończy dowód. \(\blacksquare\)

Szukamy rozkładu postaci

\(W(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\), gdzie \(a,b,c,d\in Z\).

Po wymnożeniu:

\((x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd\).

Porównując współczynniki z \(W\) otrzymujemy układ:

\(a+c=-2\), \(\ b+d+ac=-3\), \(\ ad+bc=4\), \(\ bd=-1\).

Z ostatniego równania i całkowitości: \(b=1,d=-1\) albo \(b=-1,d=1\).

Przypadek \(b=1,\ d=-1\): wtedy \(b+d=0\), więc \(ac=-3\), a z trzeciego równania \(-a+c=4\). Łącząc z \(a+c=-2\) dostajemy \(2c=2\), czyli \(c=1\) i \(a=-3\); warunek \(ac=-3\) jest spełniony.

Zatem

\(W(x)=(x^2-3x+1)(x^2+x-1)\).

Sprawdzenie: \((x^2-3x+1)(x^2+x-1)=x^4+x^3-x^2-3x^3-3x^2+3x+x^2+x-1=x^4-2x^3-3x^2+4x-1\). ✅

Oznaczmy \(x=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}\) oraz

\(a=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}\), \(\ b=\sqrt[3]{5\sqrt2-7}\), więc \(x=a-b\).

1) Dwie użyteczne wielkości.

\(a^3-b^3=\left(5\sqrt2+7\right)-\left(5\sqrt2-7\right)=14\),

\(ab=\sqrt[3]{\left(5\sqrt2+7\right)\left(5\sqrt2-7\right)}=\sqrt[3]{50-49}=\sqrt[3]{1}=1\).

2) Równanie na \(x\). Ze wzoru \((a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\):

\(x^3=14-3\cdot1\cdot x\), czyli \(x^3+3x-14=0\).

3) Rozwiązanie równania. Sprawdzamy \(x=2\): \(8+6-14=0\), więc \(x=2\) jest pierwiastkiem. Dzielimy:

\(x^3+3x-14=(x-2)\left(x^2+2x+7\right)\),

a trójmian \(x^2+2x+7\) ma \(\Delta=4-28=-24\lt 0\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Zatem \(x=2\) — liczba całkowita. \(\blacksquare\)

Uwaga (sposób II). Można też zauważyć, że \(\left(\sqrt2+1\right)^3=5\sqrt2+7\) oraz \(\left(\sqrt2-1\right)^3=5\sqrt2-7\), skąd bezpośrednio

\(x=\left(\sqrt2+1\right)-\left(\sqrt2-1\right)=2\).