Pochodna funkcji w punkcie

Ze wzoru $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$$f'(x)=3x^{3-1}=3x^2$$

Odpowiedź: A. Odpowiedź D to całka, nie pochodna.

Różniczkujemy każdy składnik osobno:

$$(4x^3)'=12x^2,\qquad (-2x^2)'=-4x,\qquad (7x)'=7,\qquad (-5)'=0$$

$$f'(x)=12x^2-4x+7$$

Odpowiedź: $f'(x)=12x^2-4x+7$.

Uwaga: pochodna stałej wynosi zero — wyraz wolny znika.

Funkcja stała się nie zmienia, więc tempo zmian jest zerowe.

$$f'(x)=0$$

Odpowiedź: C. Geometrycznie: wykresem jest prosta pozioma o nachyleniu $0$.

Zapisujemy jako potęgę o wykładniku ujemnym:

$$f(x)=x^{-1}$$

$$f'(x)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$$

Odpowiedź: $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ dla $x\ne0$.

Wniosek: pochodna jest zawsze ujemna, więc funkcja maleje na każdej ze swoich gałęzi.

$$f(x)=x^{\frac12}$$

$$f'(x)=\frac12 x^{-\frac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Odpowiedź: $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ dla $x>0$.

Reguła iloczynu: $(fg)'=f'g+fg'$.

$$f'(x)=2x\cdot\sin x+x^2\cdot\cos x$$

Odpowiedź: $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$.

Ostrzeżenie: pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych.

Reguła ilorazu: $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$.

$$f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}$$

$$f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{(x+1)^2}$ dla $x\ne-1$.

Uwaga: w liczniku jest minus i kolejność ma znaczenie.

Reguła łańcuchowa: różniczkujemy funkcję zewnętrzną, mnożąc przez pochodną wnętrza.

$$f'(x)=5(2x+1)^4\cdot(2x+1)'=5(2x+1)^4\cdot2=10(2x+1)^4$$

Odpowiedź: B. Odpowiedź A to najczęstszy błąd — pominięcie czynnika $2$.

Krok 1 — punkt styczności:

$$f(3)=9 \quad\Rightarrow\quad P=(3,9)$$

Krok 2 — współczynnik kierunkowy (pochodna w punkcie):

$$f'(x)=2x,\qquad f'(3)=6$$

Krok 3 — równanie stycznej:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=6(x-3)+9=6x-9$$

Odpowiedź: $y=6x-9$.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

Krok 2 — miejsca zerowe pochodnej: $x=-1$ oraz $x=1$.

Krok 3 — znak pochodnej. To parabola o ramionach w górę, więc:

$$f'(x)>0 \text{ na } (-\infty,-1)\cup(1,+\infty),\qquad f'(x)\lt 0 \text{ na } (-1,1)$$

Odpowiedź: funkcja rośnie na $(-\infty,-1\rangle$ i $\langle1,+\infty)$, maleje na $\langle-1,1\rangle$.

Z poprzedniego zadania: $f'(x)=3(x-1)(x+1)$, punkty stacjonarne $x=\pm1$.

Analiza zmiany znaku:

W $x=-1$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$ → maksimum lokalne:

$$f(-1)=-1+3=2$$

W $x=1$ pochodna zmienia znak z $-$ na $+$ → minimum lokalne:

$$f(1)=1-3=-2$$

Odpowiedź: maksimum $2$ w $x=-1$, minimum $-2$ w $x=1$.

$$f'(x)=3x^2\ge0 \text{ dla każdego } x$$

Pochodna nie zmienia znaku (jest nieujemna po obu stronach zera), więc funkcja stale rośnie i ekstremum nie występuje. To punkt przegięcia.

Odpowiedź: C. Sam warunek $f'(x_0)=0$ nie wystarcza — konieczna jest zmiana znaku.

Krok 1 — punkty stacjonarne:

$$f'(x)=2x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \in\langle0,3\rangle \checkmark$$

Krok 2 — wartości w punkcie stacjonarnym i na końcach przedziału:

$$f(0)=1,\qquad f(2)=4-8+1=-3,\qquad f(3)=9-12+1=-2$$

Odpowiedź: wartość najmniejsza $-3$ (dla $x=2$), największa $1$ (dla $x=0$).

Kluczowe: na przedziale domkniętym zawsze sprawdzaj także końce — ekstremum globalne często tam właśnie leży.

Krok 1 — model. Obwód $2(a+b)=40$, więc $b=20-a$, gdzie $a\in(0,20)$.

$$P(a)=a(20-a)=20a-a^2$$

Krok 2 — pochodna i punkt stacjonarny:

$$P'(a)=20-2a=0 \quad\Rightarrow\quad a=10$$

Krok 3 — sprawdzenie. $P'$ zmienia znak z $+$ na $-$, więc to maksimum.

Wtedy $b=20-10=10$, a pole wynosi $100\ \text{cm}^2$.

Odpowiedź: kwadrat o boku $10$ cm.

Wniosek ogólny: spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat.

Prędkość to pochodna drogi po czasie:

$$v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9$$

$$v(2)=12-24+9=-3\ \text{m/s}$$

Odpowiedź: $-3$ m/s.

Interpretacja: znak ujemny oznacza, że punkt porusza się w przeciwnym kierunku niż przyjęty za dodatni.

Ujemna pochodna oznacza ujemne tempo zmian — wartości funkcji maleją.

Odpowiedź: D.

Korzystamy z pochodnych funkcji elementarnych:

$$(e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x$$

$$f'(x)=e^x+\frac{1}{x}$$

Odpowiedź: $f'(x)=e^x+\frac1x$ dla $x>0$.

Styczna równoległa do osi $OX$ ma współczynnik kierunkowy $0$, więc szukamy $f'(x)=0$.

$$f'(x)=2x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

$$f(2)=4-8=-4$$

Odpowiedź: w punkcie $(2,-4)$ — to wierzchołek paraboli.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=3x^2+m$$

Krok 2 — warunek. Funkcja rośnie wszędzie, gdy $f'(x)\ge0$ dla każdego $x$.

Najmniejszą wartość $3x^2+m$ przyjmuje dla $x=0$ i wynosi ona $m$. Zatem:

$$m\ge0$$

Odpowiedź: $m\in\langle0,+\infty)$.

Sprawdzenie: dla $m=-3$ mamy $f'(x)=3x^2-3$, które jest ujemne na $(-1,1)$ — funkcja tam maleje, więc warunek faktycznie nie jest spełniony.

Krok 1 — model. Podstawa ma bok $12-2x$, a wysokość $x$, przy czym $x\in(0,6)$:

$$V(x)=x(12-2x)^2$$

Krok 2 — rozwinięcie i pochodna:

$$V(x)=x(144-48x+4x^2)=4x^3-48x^2+144x$$

$$V'(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$$

Krok 3 — wybór rozwiązania. Punkty stacjonarne to $x=2$ i $x=6$, ale $x=6$ leży poza dziedziną (podstawa miałaby bok $0$). Dla $x=2$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$, więc to maksimum.

$$V(2)=2\cdot8^2=128\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $x=2$ cm, objętość $128\ \text{cm}^3$.

Korzystamy ze wzoru na pochodną potęgi: $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$.

$$f^{\prime}(x)=5x^4$$

Odpowiedź: B. $5x^4$.

Różniczkujemy składnik po składniku:

$$(3x^2)^{\prime}=6x,\qquad (-4x)^{\prime}=-4,\qquad (7)^{\prime}=0$$

$$f^{\prime}(x)=6x-4$$

Pamiętaj: pochodna stałej to zero.

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=6x-4$.

Krok 1 — pochodna:

$$f^{\prime}(x)=2x-3$$

Krok 2 — podstawiamy $x=2$:

$$f^{\prime}(2)=2\cdot2-3=1$$

Interpretacja: $f^{\prime}(2)=1$ to nachylenie stycznej do wykresu w punkcie o odciętej $2$.

Odpowiedź: $f^{\prime}(2)=1$.

Funkcja stała nie zmienia wartości, więc jej tempo zmian (pochodna) wynosi zero:

$$f^{\prime}(x)=0$$

Odpowiedź: C. $0$.

Reguła iloczynu: $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$.

Krok 1 — pochodne czynników:

$$u=x^2+1,\ u^{\prime}=2x,\qquad v=x-3,\ v^{\prime}=1$$

Krok 2 — składamy:

$$f^{\prime}(x)=2x(x-3)+(x^2+1)\cdot1$$

Krok 3 — upraszczamy:

$$=2x^2-6x+x^2+1=3x^2-6x+1$$

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=3x^2-6x+1$.

Reguła pochodnej funkcji złożonej: różniczkujemy „od zewnątrz”, a potem mnożymy przez pochodną wnętrza.

Krok 1 — pochodna zewnętrznej potęgi:

$$3(2x+1)^2$$

Krok 2 — mnożymy przez pochodną wnętrza $(2x+1)^{\prime}=2$:

$$f^{\prime}(x)=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2$$

Najczęstszy błąd: pominięcie mnożenia przez pochodną wnętrza (tu przez $2$).

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=6(2x+1)^2$.

Zapisujemy pierwiastek jako potęgę: $\sqrt{x}=x^{1/2}$. Wtedy:

$$f^{\prime}(x)=\frac12 x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Odpowiedź: A. $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Współczynnik kierunkowy stycznej to wartość pochodnej w danym punkcie.

Krok 1 — pochodna:

$$f^{\prime}(x)=2x$$

Krok 2 — podstawiamy $x_0=3$:

$$a=f^{\prime}(3)=6$$

Odpowiedź: współczynnik kierunkowy stycznej wynosi $6$.

Pochodna funkcji liniowej $ax$ to jej współczynnik kierunkowy:

$$f^{\prime}(x)=4$$

Interpretacja: funkcja liniowa ma stałe nachylenie, więc jej pochodna jest stała.

Odpowiedź: D. $4$.

Krok 1 — pochodna:

$$f^{\prime}(x)=3x^2-6x$$

Krok 2 — miejsca zerowe pochodnej. Wyłączamy $3x$:

$$3x(x-2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \ \text{ lub } \ x=2$$

Znaczenie: to kandydaci na ekstrema funkcji $f$.

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=3x^2-6x$; miejsca zerowe $x=0$ i $x=2$.

Funkcja złożona — różniczkujemy zewnętrzną potęgę i mnożymy przez pochodną wnętrza.

Krok 1 — zewnętrzna:

$$4(x^2-1)^3$$

Krok 2 — pochodna wnętrza $(x^2-1)^{\prime}=2x$:

$$f^{\prime}(x)=4(x^2-1)^3\cdot2x=8x(x^2-1)^3$$

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=8x(x^2-1)^3$.

Wzór na pochodną ilorazu:

$$\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}$$

Uwaga na znak: w liczniku jest minus (inaczej niż w regule iloczynu), a kolejność wyrazów ma znaczenie.

Odpowiedź: B.

Styczna pozioma ma współczynnik kierunkowy $0$, więc szukamy miejsca, gdzie pochodna się zeruje.

Krok 1 — pochodna:

$$f^{\prime}(x)=2x-4$$

Krok 2 — przyrównujemy do zera:

$$2x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Interpretacja: to wierzchołek paraboli — tam styczna jest pozioma.

Odpowiedź: dla $x=2$.

Równanie stycznej: $y=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

Krok 1 — wartość funkcji i pochodnej w $x_0=1$:

$$f(1)=1,\qquad f^{\prime}(x)=2x,\quad f^{\prime}(1)=2$$

Krok 2 — podstawiamy do wzoru:

$$y=2(x-1)+1=2x-2+1=2x-1$$

Sprawdzenie: styczna przechodzi przez $(1,\,1)$: $2\cdot1-1=1$ ✔

Odpowiedź: $y=2x-1$.

$$f^{\prime}(x)=2x+1,\qquad f^{\prime}(0)=2\cdot0+1=1$$

Odpowiedź: A. $1$.

Zapisujemy jako potęgę: $\frac{2}{x}=2x^{-1}$.

$$f^{\prime}(x)=2\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{2}{x^2}$$

Uwaga: ujemny wykładnik zwiększa się o $1$ do $-2$ (bo $-1-1=-2$), a znak wyniku jest ujemny.

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=-\frac{2}{x^2}$.

Interpretacja fizyczna: prędkość chwilowa to pochodna drogi po czasie.

Krok 1 — pochodna:

$$v(t)=s^{\prime}(t)=2t+3$$

Krok 2 — podstawiamy $t=2$:

$$v(2)=2\cdot2+3=7\ \text{m/s}$$

Odpowiedź: prędkość chwilowa wynosi $7$ m/s.

Krok 1 — pochodna:

$$f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$

Krok 2 — miejsca zerowe pochodnej: $x=-1$ i $x=1$.

Krok 3 — znak pochodnej w przedziałach:

• dla $x\lt -1$: $f^{\prime}>0$ — funkcja rośnie
• dla $-1\lt x\lt 1$: $f^{\prime}\lt 0$ — funkcja maleje
• dla $x>1$: $f^{\prime}>0$ — funkcja rośnie

Wniosek: maksimum lokalne w $x=-1$, minimum lokalne w $x=1$.

Odpowiedź: rośnie na $(-\infty,\,-1\rangle$ i $\langle 1,\,+\infty)$, maleje na $\langle -1,\,1\rangle$.

Krok 1 — wartości w $x_0=2$:

$$f(2)=8,\qquad f^{\prime}(x)=3x^2,\quad f^{\prime}(2)=12$$

Krok 2 — wzór stycznej:

$$y=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=12(x-2)+8$$

Krok 3 — upraszczamy:

$$y=12x-24+8=12x-16$$

Sprawdzenie: dla $x=2$: $12\cdot2-16=8=f(2)$ ✔

Odpowiedź: $y=12x-16$.

Krok 1 — oznaczenia i pochodne:

$$u=x,\ u^{\prime}=1,\qquad v=x+1,\ v^{\prime}=1$$

Krok 2 — reguła ilorazu:

$$f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}$$

Krok 3 — upraszczamy licznik:

$$=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$$

Obserwacja: pochodna jest zawsze dodatnia (mianownik to kwadrat), więc funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie.

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$.

1. $f^\prime(x)=3x^2-12x$, $f^\prime(1)=3-12=-9$.

Odpowiedź: $-9$

1. $f^\prime(x)=3x^2+2mx+3\ge0$ dla każdego $x$ ⇔ $\Delta=4m^2-36\le0$ ⇔ $m\in[-3,3]$.

Odpowiedź: $m\in[-3,3]$

1. $f(1)=0$, $f^\prime(x)=3x^2-2$, $f^\prime(1)=1$.
2. $y=1\cdot(x-1)+0=x-1$.

Odpowiedź: $y=x-1$

1. $f(x)=x+\frac3x$, $f(1)=4$.
2. $f^\prime(x)=1-\frac3{x^2}$, $f^\prime(1)=-2$.
3. $y=-2(x-1)+4=-2x+6$.

Odpowiedź: $y=-2x+6$

1. $f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$.
2. $f^\prime\gt 0$ dla $x\lt -1$ lub $x\gt 3$; $f^\prime\lt 0$ dla $-1\lt x\lt 3$.
3. Maksimum: $f(-1)=-1-3+9+1=6$; minimum: $f(3)=27-27-27+1=-26$.

Odpowiedź: rośnie na $(-\infty,-1]$ i $[3,\infty)$, maleje na $[-1,3]$; $f_{\max}=f(-1)=6$, $f_{\min}=f(3)=-26$

1. $f^\prime(x)=3x^2-3=0 \iff x=\pm1$ (oba w przedziale).
2. $f(-2)=-2$, $f(-1)=2$, $f(1)=-2$, $f(3)=18$.
3. Najmniejsza: $-2$ (dla $x=-2$ i $x=1$), największa: $18$ (dla $x=3$).

Odpowiedź: najmniejsza $-2$, największa $18$

1. $D=\mathbb R\setminus\{1\}$. $f^\prime(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$.
2. $f^\prime\gt 0$ dla $x\lt 0$ lub $x\gt 2$; $f^\prime\lt 0$ dla $x\in(0,1)\cup(1,2)$.
3. Maksimum lokalne $f(0)=0$, minimum lokalne $f(2)=4$.

Odpowiedź: rośnie na $(-\infty,0]$ i $[2,\infty)$, maleje na $[0,1)$ i $(1,2]$; $f_{\max}=f(0)=0$, $f_{\min}=f(2)=4$

1. $\frac{3x_0^2+1}{x_0^2+1}=2 \Rightarrow x_0^2=1 \Rightarrow x_0=1$.
2. $f^\prime(x)=\frac{6x(x^2+1)-(3x^2+1)2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$, $f^\prime(1)=1$.
3. $y=1\cdot(x-1)+2=x+1$.

Odpowiedź: $y=x+1$

1. $f^\prime(x)=3x^2-3=9 \Rightarrow x=\pm2$.
2. $f(2)=4$: $y=9(x-2)+4=9x-14$.
3. $f(-2)=0$: $y=9(x+2)=9x+18$.

Odpowiedź: $y=9x-14$ oraz $y=9x+18$

1. Funkcja $f(x)=x^3-3x^2-9x+1$ (zadanie PR18.5): maksimum lokalne $6$ w $x=-1$, minimum lokalne $-26$ w $x=3$; $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$.
2. Prosta $y=k$ przecina wykres w trzech punktach ⇔ $k$ leży ściśle między minimum a maksimum lokalnym.
3. $k\in(-26,6)$.

Odpowiedź: $k\in(-26,6)$

1. $f'(x)=2x$.
2. $f'(3)=6$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B to $f(3)$, nie pochodna.

1. $f'(x)=3x^2$.
2. $f'(1)=3$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to $f(1)$.

1. $(cx)'=c$.
2. $f'(x)=5$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to pochodna stałej.

1. $f'(x)=2x+2$.
2. $f'(0)=2$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A pomija składnik $2$.

1. $f'(x)=2x-4$.
2. $f'(2)=0$.

Odpowiedź: $0$.

1. $f'(x)=6x$.
2. $f'(2)=12$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B dolicza pochodna stałej.

1. Współczynnik $=f'(1)$, $f'(x)=2x$.
2. $f'(1)=2$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to $f(1)$.

1. $f'(x)=3x^2-1$.
2. $f'(1)=3-1=2$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A pomija odjęcie $1$.

1. $(c)'=0$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A powtarza wartość funkcji.

1. $f'(x)=2x+3$.
2. $f'(-1)=-2+3=1$.

Odpowiedź: $f'(x)=2x+3$, $f'(-1)=1$.

1. $f'(x)=2x$, $f'(2)=4$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B - błąd.

1. $f'(x)=3x^2$, $f'(2)=12$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to $f(2)$.

1. $(3x)'=3$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A - stała.

1. $f'(x)=2x+1$, $f'(1)=3$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A gubi $+1$.

1. $f'(x)=2x-6$, $f'(3)=0$.

Odpowiedź: $0$