Klasa 3 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 1\), w którym \(a_4=4\) oraz dla każdej liczby \(n\ge 1\) prawdziwa jest równość \(a_{n+1}=a_n+n-4\).
Oblicz pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\) i ustal, czy ciąg ten jest malejący.
Dany jest ciąg \((a_n)\), gdzie \(a_n=\dfrac{5n+6}{10(n+1)}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
a) Zbadaj monotoniczność ciągu \((a_n)\).
b) Oblicz \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\).
c) Podaj największą liczbę \(a\) i najmniejszą liczbę \(b\) takie, że dla każdego \(n\) spełniony jest warunek \(a\le a_n\le b\).
Ciąg jest rosnący, gdy $a_{n+1}>a_n$ dla każdego $n$, i malejący, gdy $a_{n+1}\lt a_n$.
Wyznaczamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ lub ilorazu $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ (dla wyrazów dodatnich).
$a_n=2n-1$ jest rosnący, bo $a_{n+1}-a_n=2>0$.
Gdy $a_{n+1}=a_n$ dla każdego $n$.
Badamy znak $a_{n+1}-a_n$: dodatni — rosnący, ujemny — malejący.
Dla wyrazów dodatnich porównujemy $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ z $1$.
Ciąg jest ograniczony, gdy istnieją stałe $m\le a_n\le M$.
Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ile ujemnych wyrazów ma ciąg $a_n=3n-7$ ($n\ge1$)?
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez $7$.
W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ spełnione są warunki $a_2+a_5=17$ oraz $a_3\cdot a_4=70$. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący, a suma jego wyrazów jest równa $39$. Liczby $x,y,z$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim i piątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz $x$, $y$, $z$.
Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ ma różnicę $r\ne0$ i $a_1=2$. Wyrazy $a_1$, $a_2$, $a_5$ tworzą (w tej kolejności) ciąg geometryczny. Oblicz $r$ oraz taką liczbę $n$, że suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $200$.
Liczby $a,b,c$ tworzą ciąg geometryczny, a ich suma jest równa $26$. Liczby $a+1,\ b+6,\ c+3$ tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz $a,b,c$.
Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=\dfrac{n+1}{2n+3}$, $n\ge1$.
Ciąg $(a_n)$ jest określony rekurencyjnie: $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+2n$ dla $n\ge1$. Wyznacz wzór ogólny ciągu i oblicz $a_{10}$.
Na początku każdego roku przez $10$ lat wpłacamy na konto $1000$ zł. Oprocentowanie wynosi $5\%$ w skali roku, odsetki są kapitalizowane na koniec roku. Oblicz stan konta na koniec dziesiątego roku (wynik zaokrąglij do grosza).
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa $21$, a ich iloczyn $216$. Wyznacz te wyrazy.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.