Granice jednostronne

Funkcja $3x+1$ jest wielomianem, a wielomiany są ciągłe w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Dla funkcji ciągłej granicę liczymy przez zwykłe podstawienie:

$$\lim_{x\to 2}(3x+1)=3\cdot2+1=7$$

Odpowiedź: B. $7$.

Krok 1 — sprawdzamy podstawienie. Otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$, więc trzeba przekształcić wyrażenie.

Krok 2 — rozkładamy licznik wzorem na różnicę kwadratów:

$$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3 \qquad (x\neq3)$$

Krok 3 — teraz podstawiamy:

$$\lim_{x\to 3}(x+3)=6$$

Ważne: skracanie jest dozwolone, bo w granicy $x$ dąży do $3$, ale nigdy nie jest równe $3$.

Odpowiedź: $6$.

Gdy $x$ rośnie nieograniczenie, mianownik staje się coraz większy, a cały ułamek coraz mniejszy:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$$

Interpretacja geometryczna: prosta $y=0$ (oś OX) jest asymptotą poziomą wykresu funkcji $\frac1x$ — wykres zbliża się do niej, ale nigdy jej nie dotyka.

Odpowiedź: $0$.

Przy granicy w nieskończoności dla ilorazu wielomianów porównujemy stopnie. Tutaj oba są stopnia $2$, więc granica to iloraz współczynników przy najwyższej potędze:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+5}{x^2-1}=\frac{3}{1}=3$$

Sposób rachunkowy — dzielimy licznik i mianownik przez $x^2$:

$$\frac{3+\frac{5}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}} \ \longrightarrow \ \frac{3+0}{1-0}=3$$

Odpowiedź: C. $3$.

Porównujemy stopnie. Licznik jest stopnia $1$, mianownik stopnia $2$ — mianownik rośnie znacznie szybciej.

Rachunek — dzielimy licznik i mianownik przez $x^2$:

$$\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2}} \ \longrightarrow \ \frac{0+0}{1+0}=0$$

Reguła ogólna: gdy stopień licznika jest mniejszy niż mianownika, granica w nieskończoności wynosi $0$.

Odpowiedź: $0$.

Porównujemy stopnie. Licznik ma stopień $3$, mianownik $2$ — licznik rośnie szybciej.

Rachunek — dzielimy przez $x^2$ (najwyższa potęga mianownika):

$$\frac{x-\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x^2}} \ \longrightarrow \ \frac{\infty}{1}=\infty$$

Reguła ogólna: gdy stopień licznika jest większy, granica jest niewłaściwa (nieskończoność).

Odpowiedź: $+\infty$.

Ciągłość w punkcie wymaga trzech rzeczy naraz:

• $f(x_0)$ istnieje (punkt należy do dziedziny)
• granica $\lim_{x\to x_0}f(x)$ istnieje
• obie wartości są równe

Warunek A zawiera wszystkie trzy — sam zapis wymaga istnienia obu stron i ich równości.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — podstawienie daje $\frac{0}{0}$, więc rozkładamy na czynniki.

Krok 2 — rozkłady:

$$x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^2-x=x(x-1)$$

Krok 3 — skracamy $(x-1)$:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x}$$

Krok 4 — podstawiamy $x=1$:

$$\frac{1+1}{1}=2$$

Odpowiedź: $2$.

Asymptota pionowa występuje tam, gdzie wartości funkcji „uciekają” do nieskończoności — wystarczy, że dzieje się to z jednej strony.

Typowy przypadek: zerowanie mianownika przy niezerowym liczniku, np. $f(x)=\frac{1}{x-2}$ ma asymptotę pionową $x=2$.

Uwaga: $f(2)=0$ oznaczałoby miejsce zerowe, czyli coś zupełnie innego.

Odpowiedź: D.

Asymptota pozioma to granica funkcji w nieskończoności.

Stopnie licznika i mianownika są równe (oba $1$), więc granica to iloraz współczynników przy $x$:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{x-1}=\frac{2}{1}=2$$

Ta sama wartość wychodzi przy $x\to-\infty$, więc:

$$y=2$$

Dla porządku: ta funkcja ma też asymptotę pionową $x=1$ (zerowanie mianownika).

Odpowiedź: asymptota pozioma $y=2$.

Granica prawostronna ($x$ dąży do zera od wartości dodatnich). Mianownik jest mały i dodatni, więc ułamek rośnie nieograniczenie:

$$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$$

Granica lewostronna ($x$ dąży do zera od wartości ujemnych). Mianownik jest mały i ujemny:

$$\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$$

Wniosek: granice jednostronne są różne, więc granica w punkcie $0$ nie istnieje. Prosta $x=0$ jest asymptotą pionową.

Odpowiedź: $+\infty$ oraz $-\infty$; granica obustronna nie istnieje.

Granica obustronna istnieje dokładnie wtedy, gdy funkcja „dochodzi do tej samej wartości” z obu stron:

$$\lim_{x\to x_0^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_0^{+}}f(x)$$

Uwaga: funkcja nie musi być określona w samym $x_0$ — granica bada zachowanie w otoczeniu punktu, a nie w nim samym.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — podstawienie daje $\frac{0}{0}$. Usuwamy niewymierność, mnożąc przez sprzężenie mianownika:

$$\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}$$

Krok 2 — mianownik upraszcza się do różnicy kwadratów:

$$(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4$$

Krok 3 — skracamy $(x-4)$:

$$\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4}=\sqrt{x}+2$$

Krok 4 — podstawiamy $x=4$:

$$\sqrt{4}+2=2+2=4$$

Odpowiedź: $4$.

Ciągłość w punkcie $2$ wymaga równości granic jednostronnych i wartości funkcji.

Krok 1 — granica lewostronna (dla $x\lt 2$ obowiązuje wzór $x+1$):

$$\lim_{x\to 2^{-}}(x+1)=3$$

Krok 2 — granica prawostronna i wartość funkcji (dla $x\ge2$ funkcja jest stała i równa $a$):

$$\lim_{x\to 2^{+}}a=a,\qquad f(2)=a$$

Krok 3 — przyrównujemy:

$$a=3$$

Odpowiedź: $a=3$.

Stopnie licznika i mianownika są równe ($3$), więc granica to iloraz współczynników przy najwyższej potędze:

$$\frac{5}{2}=2{,}5$$

Pułapka: odpowiedź D bierze tylko licznik — trzeba podzielić przez współczynnik mianownika.

Odpowiedź: C. $2{,}5$.

Krok 1 — miejsca zerowe mianownika:

$$x^2-4=0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-2$$

Krok 2 — sprawdzamy licznik w tych punktach. Dla $x=2$: licznik $=3\neq0$. Dla $x=-2$: licznik $=-1\neq0$. W obu przypadkach mamy $\frac{\text{liczba}\neq0}{0}$, czyli granice niewłaściwe.

$$x=-2 \quad \text{oraz} \quad x=2$$

Ważne zastrzeżenie: gdyby licznik też się zerował, mogłoby dojść do skrócenia i asymptoty by nie było — dlatego licznik trzeba sprawdzić.

Odpowiedź: asymptoty pionowe $x=-2$ i $x=2$.

Krok 1 — dziedzina. Mianownik zeruje się dla $x=2$, więc $f(2)$ nie istnieje — już to przesądza o nieciągłości.

Krok 2 — granica w tym punkcie:

$$\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$$

Krok 3 — wniosek. Granica istnieje i jest skończona, ale funkcja nie ma w tym punkcie wartości. To nieciągłość usuwalna.

Jak ją usunąć: dodefiniować $f(2)=4$. Wykres to prosta $y=x+2$ z „dziurą” w punkcie $(2,\,4)$, którą wystarczy zapełnić.

Odpowiedź: funkcja nie jest ciągła w $x=2$; nieciągłość jest usuwalna przez przyjęcie $f(2)=4$.

Krok 1 — podstawienie daje $\frac{0}{0}$. Rozkładamy licznik na czynniki.

Krok 2 — szukamy pierwiastków trójmianu $x^2+3x+2$:

$$\Delta=9-8=1,\qquad x_1=\frac{-3-1}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-3+1}{2}=-1$$

$$x^2+3x+2=(x+2)(x+1)$$

Krok 3 — skracamy $(x+1)$:

$$\frac{(x+2)(x+1)}{x+1}=x+2$$

Krok 4 — podstawiamy $x=-1$:

$$-1+2=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — warunek ciągłości w $x=1$. Granica lewostronna:

$$\lim_{x\to 1^{-}}2x=2$$

Wartość funkcji z prawej strony: $f(1)=a+b$. Przyrównujemy:

$$a+b=2$$

Krok 2 — warunek $f(3)=10$. Dla $x=3$ obowiązuje wzór $ax+b$:

$$3a+b=10$$

Krok 3 — rozwiązujemy układ. Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:

$$2a=8 \quad\Rightarrow\quad a=4$$

$$4+b=2 \quad\Rightarrow\quad b=-2$$

Sprawdzenie: $f(1)=4-2=2$ ✔ (zgodne z granicą), $f(3)=12-2=10$ ✔

Odpowiedź: $a=4$, $b=-2$.

Krok 1 — asymptota pionowa. Mianownik zeruje się dla:

$$x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Licznik dla $x=-2$ wynosi $-6-6=-12\neq0$, więc asymptota pionowa istnieje: $x=-2$.

Krok 2 — asymptota pozioma. Stopnie licznika i mianownika są równe:

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x-6}{x+2}=\frac{3}{1}=3$$

Asymptota pozioma to $y=3$.

Krok 3 — asymptota ukośna. Nie występuje — istnieje już asymptota pozioma, a te dwie wykluczają się wzajemnie.

Odpowiedź: asymptota pionowa $x=-2$, asymptota pozioma $y=3$.

1. Dzielimy przez $n^2$: $\frac{3-\frac1n}{2+\frac5{n^2}}\to\frac32$.

Odpowiedź: $\tfrac32$

1. Stopień licznika mniejszy od stopnia mianownika: $\frac{\frac2n+\frac1{n^2}}{1+\frac1{n^2}}\to0$.

Odpowiedź: $0$

1. $\sqrt{n^2+4n}-n=\frac{n^2+4n-n^2}{\sqrt{n^2+4n}+n}=\frac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n}$.
2. Dzielimy przez $n$: $\frac{4}{\sqrt{1+\frac4n}+1}\to\frac42=2$.

Odpowiedź: $2$

1. $\binom{n+1}2=\frac{(n+1)n}{2}=\frac{n^2+n}2$.
2. $\frac{n^2+n}{2(n^2+3)}\to\frac12$.

Odpowiedź: $\tfrac12$

1. Dla $x\ne3$: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\to6$.

Odpowiedź: $6$

1. $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$, więc dla $x\ne1$: $\frac{x+2}{x-1}$.
2. $x\to1^-$: licznik $\to3\gt 0$, mianownik $\to0^-$. Granica: $-\infty$.

Odpowiedź: $-\infty$

1. Dzielimy przez $3^n$: $\frac{1+\left(\frac23\right)^n}{3-\left(\frac13\right)^n}\to\frac{1+0}{3-0}=\frac13$.

Odpowiedź: $\tfrac13$

1. $\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac1{\sqrt{x+4}+2}$.
2. Dla $x\to0$: $\frac1{2+2}=\frac14$.

Odpowiedź: $\tfrac14$

1. $1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2$.
2. $\frac{n^2+n}{2(n^2-3n)}\to\frac12$.

Odpowiedź: $\tfrac12$

1. $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$.
2. Ciągłość: $f(2)=\lim_{x\to2}f(x) \Rightarrow m=4$.

Odpowiedź: $m=4$