Ciągi arytmetyczne i geometryczne w zadaniach

1. $3n-7\lt 0 \Rightarrow n\lt \frac73$, czyli $n\in\{1,2\}$.

Odpowiedź: $2$

1. Liczby $14,21,\dots,98$ — ciąg arytmetyczny, $r=7$, $n=13$.
2. $S=\frac{14+98}{2}\cdot13=728$.

Odpowiedź: $728$

1. $2a_1+5r=17$. Oznaczmy $s=a_1+\frac52r=\frac{17}2$; wtedy $a_3=s-\frac r2$, $a_4=s+\frac r2$.
2. $a_3a_4=s^2-\frac{r^2}4=\frac{289}4-\frac{r^2}{4}=70 \Rightarrow r^2=9$.
3. $r=3$: $a_1=1$; $r=-3$: $a_1=16$.

Odpowiedź: $a_1=1,\ r=3$ lub $a_1=16,\ r=-3$

1. $x=a$, $y=a+r$, $z=a+4r$ ($r\ne0$, bo ciąg rosnący).
2. $(a+r)^2=a(a+4r) \Rightarrow r^2=2ar \Rightarrow r=2a$.
3. Wtedy $(x,y,z)=(a,3a,9a)$, suma $13a=39 \Rightarrow a=3$.
4. $(3,9,27)$ — rosnący, $q=3$ ✓.

Odpowiedź: $x=3,\ y=9,\ z=27$

1. $(2+r)^2=2(2+4r) \Rightarrow r^2-4r=0$, $r\ne0 \Rightarrow r=4$.
2. $a_n=4n-2$, $S_n=\frac{2+4n-2}{2}n=2n^2$.
3. $2n^2=200 \Rightarrow n=10$.

Odpowiedź: $r=4$, $n=10$

1. Arytmetyczny: $2(b+6)=a+1+c+3 \Rightarrow a+c=2b+8$.
2. Z sumą: $3b+8=26 \Rightarrow b=6$, $a+c=20$.
3. Geometryczny: $ac=36$. $a,c$ — pierwiastki $t^2-20t+36=0$: $2$ i $18$.
4. $(2,6,18)$ → $(3,12,21)$ ✓; $(18,6,2)$ → $(19,12,5)$ ✓.

Odpowiedź: $(2,6,18)$ lub $(18,6,2)$

1. $a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{2n+5}-\frac{n+1}{2n+3}=\frac{(n+2)(2n+3)-(n+1)(2n+5)}{(2n+5)(2n+3)}$.
2. Licznik: $2n^2+7n+6-(2n^2+7n+5)=1$.
3. $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(2n+5)(2n+3)}\gt 0$ — ciąg rosnący.

Odpowiedź: ciąg rosnący

1. $a_n=a_1+2\cdot1+2\cdot2+\dots+2(n-1)=2+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}=n^2-n+2$.
2. $a_{10}=100-10+2=92$.

Odpowiedź: $a_n=n^2-n+2$, $a_{10}=92$

1. Wpłata z początku roku $k$ rośnie przez $11-k$ lat: $1000\cdot1{,}05^{11-k}$.
2. Suma: $1000(1{,}05+1{,}05^2+\dots+1{,}05^{10})=1000\cdot1{,}05\cdot\frac{1{,}05^{10}-1}{0{,}05}$.
3. $1{,}05^{10}\approx1{,}628895$, więc $\approx1000\cdot1{,}05\cdot12{,}5779=13\,206{,}79$ zł.

Odpowiedź: $13\,206{,}79$ zł

1. $a_1a_2a_3=a_2^3=216 \Rightarrow a_2=6$.
2. $a_1+a_3=15$, $a_1a_3=a_2^2=36$ — pierwiastki $t^2-15t+36=0$: $3$ i $12$.
3. $(3,6,12)$, $q=2$ lub $(12,6,3)$, $q=\frac12$.

Odpowiedź: $(3,6,12)$ lub $(12,6,3)$

1. $a_5-a_3=2r$.
2. $2r=13-7=6\Rightarrow r=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B nie dzieli przez $2$, C to błędne odczytanie, D to średnia $a_3$ i $a_5$.

1. $a_4=a_2\cdot q^2$.
2. $6\cdot(-2)^2=6\cdot4=24$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A mnoży przez $q^3$ lub gubi kwadrat, C to $a_3$, D mnoży przez $|q|$ tylko raz.

1. $\tfrac{1+10}{2}\cdot10=55$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A pomija składnik.

1. Warunek: $(x+1)^2=(x-1)(x+7)$.
2. $x^2+2x+1=x^2+6x-7\Rightarrow 4x=8\Rightarrow x=2$.
3. Sprawdzenie: $1, 3, 9$ — ciąg geometryczny o ilorazie $3$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A, B, C nie spełniają warunku $(x+1)^2=(x-1)(x+7)$ — sprawdź podstawieniem.

1. $a_5=3+16=19$.
2. $S_5=\tfrac{3+19}{2}\cdot5=55$.

Odpowiedź: $55$