Asymptoty wykresu funkcji

Gdy $x$ rośnie nieograniczenie, mianownik staje się coraz większy, a cały ułamek coraz mniejszy:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$$

Interpretacja geometryczna: prosta $y=0$ (oś OX) jest asymptotą poziomą wykresu funkcji $\frac1x$ — wykres zbliża się do niej, ale nigdy jej nie dotyka.

Odpowiedź: $0$.

Krok 1 — podstawienie daje $\frac{0}{0}$, więc rozkładamy na czynniki.

Krok 2 — rozkłady:

$$x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^2-x=x(x-1)$$

Krok 3 — skracamy $(x-1)$:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x}$$

Krok 4 — podstawiamy $x=1$:

$$\frac{1+1}{1}=2$$

Odpowiedź: $2$.

Asymptota pionowa występuje tam, gdzie wartości funkcji „uciekają” do nieskończoności — wystarczy, że dzieje się to z jednej strony.

Typowy przypadek: zerowanie mianownika przy niezerowym liczniku, np. $f(x)=\frac{1}{x-2}$ ma asymptotę pionową $x=2$.

Uwaga: $f(2)=0$ oznaczałoby miejsce zerowe, czyli coś zupełnie innego.

Odpowiedź: D.

Asymptota pozioma to granica funkcji w nieskończoności.

Stopnie licznika i mianownika są równe (oba $1$), więc granica to iloraz współczynników przy $x$:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{x-1}=\frac{2}{1}=2$$

Ta sama wartość wychodzi przy $x\to-\infty$, więc:

$$y=2$$

Dla porządku: ta funkcja ma też asymptotę pionową $x=1$ (zerowanie mianownika).

Odpowiedź: asymptota pozioma $y=2$.

Granica prawostronna ($x$ dąży do zera od wartości dodatnich). Mianownik jest mały i dodatni, więc ułamek rośnie nieograniczenie:

$$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$$

Granica lewostronna ($x$ dąży do zera od wartości ujemnych). Mianownik jest mały i ujemny:

$$\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$$

Wniosek: granice jednostronne są różne, więc granica w punkcie $0$ nie istnieje. Prosta $x=0$ jest asymptotą pionową.

Odpowiedź: $+\infty$ oraz $-\infty$; granica obustronna nie istnieje.

Krok 1 — podstawienie daje $\frac{0}{0}$. Usuwamy niewymierność, mnożąc przez sprzężenie mianownika:

$$\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}$$

Krok 2 — mianownik upraszcza się do różnicy kwadratów:

$$(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4$$

Krok 3 — skracamy $(x-4)$:

$$\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4}=\sqrt{x}+2$$

Krok 4 — podstawiamy $x=4$:

$$\sqrt{4}+2=2+2=4$$

Odpowiedź: $4$.

Krok 1 — miejsca zerowe mianownika:

$$x^2-4=0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-2$$

Krok 2 — sprawdzamy licznik w tych punktach. Dla $x=2$: licznik $=3\neq0$. Dla $x=-2$: licznik $=-1\neq0$. W obu przypadkach mamy $\frac{\text{liczba}\neq0}{0}$, czyli granice niewłaściwe.

$$x=-2 \quad \text{oraz} \quad x=2$$

Ważne zastrzeżenie: gdyby licznik też się zerował, mogłoby dojść do skrócenia i asymptoty by nie było — dlatego licznik trzeba sprawdzić.

Odpowiedź: asymptoty pionowe $x=-2$ i $x=2$.

Krok 1 — podstawienie daje $\frac{0}{0}$. Rozkładamy licznik na czynniki.

Krok 2 — szukamy pierwiastków trójmianu $x^2+3x+2$:

$$\Delta=9-8=1,\qquad x_1=\frac{-3-1}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-3+1}{2}=-1$$

$$x^2+3x+2=(x+2)(x+1)$$

Krok 3 — skracamy $(x+1)$:

$$\frac{(x+2)(x+1)}{x+1}=x+2$$

Krok 4 — podstawiamy $x=-1$:

$$-1+2=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — warunek ciągłości w $x=1$. Granica lewostronna:

$$\lim_{x\to 1^{-}}2x=2$$

Wartość funkcji z prawej strony: $f(1)=a+b$. Przyrównujemy:

$$a+b=2$$

Krok 2 — warunek $f(3)=10$. Dla $x=3$ obowiązuje wzór $ax+b$:

$$3a+b=10$$

Krok 3 — rozwiązujemy układ. Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:

$$2a=8 \quad\Rightarrow\quad a=4$$

$$4+b=2 \quad\Rightarrow\quad b=-2$$

Sprawdzenie: $f(1)=4-2=2$ ✔ (zgodne z granicą), $f(3)=12-2=10$ ✔

Odpowiedź: $a=4$, $b=-2$.

Krok 1 — asymptota pionowa. Mianownik zeruje się dla:

$$x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Licznik dla $x=-2$ wynosi $-6-6=-12\neq0$, więc asymptota pionowa istnieje: $x=-2$.

Krok 2 — asymptota pozioma. Stopnie licznika i mianownika są równe:

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x-6}{x+2}=\frac{3}{1}=3$$

Asymptota pozioma to $y=3$.

Krok 3 — asymptota ukośna. Nie występuje — istnieje już asymptota pozioma, a te dwie wykluczają się wzajemnie.

Odpowiedź: asymptota pionowa $x=-2$, asymptota pozioma $y=3$.