Analiza danych z diagramów

Z wykresu możemy odczytać, że po pomalowaniu \(30m^2\) ściany zostało w pojemniku \(8\) litrów farby.

Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. Pracę klasową pisało \(30\) uczniów
Komentarz: To nieprawda, bo pracę klasową napisało \(2+2+8+7+4+2=25\) uczniów.

Odp. B. Najczęściej powtarzającą się oceną jest \(4\)
Komentarz: To nieprawda, bo najczęściej powtarzającą się oceną jest \(3\).

Odp. C. Mediana wyników z pracy klasowej wynosi \(2\)
Komentarz: To nieprawda. Aby obliczyć medianę powinniśmy ułożyć zdobywane oceny od najmniejszej do największej, a mediana byłaby środkową wartością w tym ciągu. Tutaj jednak nie musimy tego ciągu wypisywać, wystarczy przyjrzeć się danym w treści zadania. Mamy \(25\) ocen, więc medianą byłaby \(13\)-sta ocena w takim ciągu. Skoro mamy tylko dwie jedynki oraz dwie dwójki, to początek tego ciągu wyglądałby w ten sposób: \(1,1,2,2,3,3...\). Piąta i każda kolejna ocena w tym ciągu jest już większa od dwójki. To właśnie sugeruje nam, że mediana wyników z pracy klasowej nie może być równa \(2\).

Odp. D. Średnia wyników z pracy klasowej jest równa \(3,6\)
Komentarz: To prawda. Suma wszystkich ocen jest równa:
$$2\cdot1+2\cdot2+8\cdot3+7\cdot4+4\cdot5+2\cdot6=2+4+24+28+20+12=90$$
Sprawdzian pisało \(25\) uczniów, więc średnia arytmetyczna będzie równa \(\frac{90}{25}=3,6\).

Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. O godzinie 10:00 glazurnik rozpoczął godzinną przerwę.
Komentarz: To jest prawda, bo od 10:00 do 11:00 nie została ułożona żadna płytka.

Odp. B. Od 7:00 do 8:00 glazurnik ułożył mniej płytek niż od 11:00 do 12:00.
Komentarz: To jest prawda, bo między 7:00 i 8:00 glazurnik ułożył około \(35\) płytek, a między 11:00 i 12:00 aż \(50\) płytek.

Odp. C. W ciągu każdej godziny glazurnik układał taką samą liczbę płytek.
Komentarz: To jest nieprawda, są godziny kiedy glazurnik nie ułożył nic, a są godziny kiedy układał nawet po \(50\) płytek.

Odp. D. Przez ostatnie trzy godziny pracy glazurnik ułożył \(50\) płytek.
Komentarz: To prawda, od 12:00 do 15:00 glazurnik ułożył dokładnie \(50\) płytek.

Na wykresie brakuje białego słupka w roku 2007 (czyli importu w 2007) oraz szarego słupka w 2008 roku (czyli wydobycia w 2008). To oznacza, że prawidłowa jest pierwsza odpowiedź.

Sprawdźmy po kolei poprawność każdej z odpowiedzi, pamiętając o tym że dotyczą one jedynie lat 2004-2006:
Odp. A. Rosło wydobycie i rósł eksport węgla kamiennego
Komentarz: To nieprawda, bo wydobycie węgla spadało, podobnie jak jego eksport.

Odp. B. Malało wydobycie, a rósł import węgla kamiennego
Komentarz: To prawda, faktycznie wydobycie malało, a jednocześnie rósł import.

Odp. C. Zmniejszał się import węgla kamiennego
Komentarz: To nieprawda, import wzrastał w tych latach.

Odp. D. Zwiększała się różnica między eksportem i importem węgla kamiennego
Komentarz: To nieprawda, bo ta różnica była z roku na rok coraz mniejsza.

Jeżeli import węgla sukcesywnie wzrastał, to na pewno w 2007 roku importowano więcej węgla niż w 2005 roku.

Skoro mamy \(20dag\) czekolady i chcemy ją podzielić na \(x\) osób to każda z nich otrzyma \(20:x\) dekagramów czekolady. I tak naprawdę my w odpowiedziach mamy taki zapis, tylko w formie ułamka, zatem już po tej krótkiej analizie możemy powiedzieć, że prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź druga.

Gdybyśmy jednak nie byli pewni swoich analiz, to tak naprawdę wystarczyłoby podstawiać pod iksa liczbę osób (najlepiej inną niż \(1\), czyli np. \(2\)) i sprawdzić czy otrzymany igrek jest taki sam jak ten zaznaczony na wykresie. Przykładowo:
Jeżeli \(x=2\), to z wykresu wynika, że \(y=10\) (co jest zresztą logiczne, bo jak dzielimy \(20dag\) czekolady na \(2\) osoby, to każda dostaje \(10dag\)). Sprawdźmy zatem który wzór da nam wynik równy \(10\).
Odp. A. \(y=20x\)
Obliczenie: \(y=20\cdot2=40\)

Odp. B. \(y=\frac{20}{x}\)
Obliczenie: \(y=\frac{20}{2}=10\)

Odp. C. \(y=0,2x\)
Obliczenie: \(y=0,2\cdot2=0,4\)

Odp. D. \(y=\frac{x}{20}\)
Obliczenie: \(y=\frac{2}{20}=0,1\)

Jak widzimy, wartość równą \(10\) otrzymaliśmy tylko w przypadku drugiego wzoru.

Uwaga: Jeżeli wybieramy metodę podstawiania to w takich zadaniach zawsze warto sprawdzić sobie wszystkie odpowiedzi, bo może się okazać że dla jakiegoś argumentu \(x\) więcej niż jeden wzór da dobry wynik. Gdyby tak się stało, to trzeba wtedy podstawić inny argument, tak aby finalnie została nam tylko jedna możliwa odpowiedź.

Jeżeli mamy \(20\) dag czekolady i chcemy podzielić czekoladę równo pomiędzy \(8\) osób, to każda z tych osób dostanie:
$$20dag:8=2,5dag$$

Zgodnie z wykresem drewno opałowe jest podstawowym źródłem zużywanej energii w gospodarstwach niezamożnych.

Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. Gospodarstwa zamożne zużywają przeciętnie mniej gazu ziemnego niż niezamożne.
Komentarz: To nieprawda, bo słupek wykresu dla gazu ziemnego w gospodarstwach zamożnych jest nieco wyższy niż w przypadku gospodarstw niezamożnych.

Odp. B. Gospodarstwa zamożne zużywają przeciętnie więcej energii uzyskanej z gazu ziemnego niż pozostałe.
Komentarz: To nieprawda, bo więcej gazu od gospodarstw zamożnych zużywają gospodarstwa średnio zamożne.

Odp. C. Wszystkie gospodarstwa zużywają głównie energię uzyskaną z paliw płynnych.
Komentarz: To nieprawda, bo w przypadku gospodarstw niezamożnych głównym źródłem energii jest drewno opałowe.

Odp. D. Gospodarstwa zamożne zużywają przeciętnie więcej energii elektrycznej i paliw płynnych niż pozostałe.
Komentarz: To prawda, gospodarstwa zamożne używają znacznie więcej energii elektrycznej i paliw płynnych niż pozostałe gospodarstwa.

Krok 1. Ustalenie wykresu dla pierwszego wazonu.
Pierwszy wazon jest zwężony na dole, więc na początku wlewania bardzo szybko podniesie się poziom wody i z czasem będzie on przyrastał coraz wolniej. Taką sytuację mamy na II wykresie.

Krok 2. Ustalenie wykresu dla drugiego wazonu.
W drugim wazonie nie mamy żadnych zwężeń, wysokość poziomu wody będzie więc wzrastać liniowo, czyli dokładnie tak jak jest to na IV wykresie.

Krok 3. Ustalenie wykresu dla trzeciego wazonu.
Tutaj mamy sytuację odwrotną do pierwszego wazonu. Na początku słup wysokości wody będzie bardzo wolno wzrastał, bo na dole naczynie jest najszersze. Z czasem przyrost wysokości poziomu wody będzie coraz większy, zatem prawidłowym wykresem będzie w tym przypadku wykres pierwszy.

Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. W ciągu całej doby temperatura gleby jest niższa na głębokości \(30cm\) niż na głębokości \(10cm\).
Komentarz: To nieprawda, bo widzimy że tuż po północy temperatura jest niższa na głębokości \(10cm\).

Odp. B. Na obu głębokościach gleba ma najniższą temperaturę o północy.
Komentarz: To nieprawda, bo na głębokości \(10cm\) temperatura jest najniższa około godziny 8:00.

Odp. C. Gleba na głębokości \(30cm\) nagrzewa się wolniej i stygnie wolniej niż gleba na głębokości \(10cm\).
Komentarz: To prawda. Wykres na głębokości \(30cm\) jest mniej zmienny, cały czas temperatura oscyluje w granicach około \(19-20°C\).

Odp. D. Amplituda dobowa temperatur gleby na głębokości \(10cm\) jest mniejsza niż amplituda dobowa temperatur na głębokości \(30cm\).
Komentarz: To nieprawda. Amplituda dobowa (czyli różnica między najwyższą i najniższą temperaturą) na głębokości \(10cm\) jest równa mniej więcej \(24°C-18°C=6°C\). Amplituda dobowa na wysokości \(30cm\) jest znacznie niższa i wynosi około \(20°C-19°C=1°C\).

W południe gleba na głębokości \(10cm\) jest nieco wyższa niż \(22°C\), więc prawidłowe widełki temperatury znalazły się w drugiej odpowiedzi.

Najwyższa temperatura na głębokości \(10cm\) jest w okolicach godziny 15:00.

Krok 1. Obliczenie ile procent uczniów wybrało jezioro.
Na samym początku musimy ustalić ile procent uczniów wybrało jezioro jako ulubione miejsce wypoczynku. Na pozostałe formy wypoczynku zagłosowało:
$$20\%+15\%+10\%+25\%=70\%$$

Diagram kołowy sumuje się zawsze do \(100\%\), zatem jezioro wybrało:
$$100\%-70\%=30\%$$

Krok 2. Obliczenie łącznej liczby ankietowanych uczniów.
Wiemy, że \(90\) uczniów wybrało jezioro i jednocześnie jest to \(30\%\) wszystkich ankietowanych. Układając więc prostą proporcję bez problemu obliczymy łączną liczbę wszystkich ankietowanych:
Skoro \(30\%\) ankietowanych to \(90\) uczniów
To \(10\%\) ankietowanych to \(30\) uczniów
Więc \(100\%\) ankietowanych to \(300\) uczniów.

To oznacza, że w ankiecie brało udział \(300\) uczniów.

Zadanie można rozwiązać w zasadzie na dwa sposoby:
I sposób - zamieniając procenty na ułamki zwykłe.
Na Agatę zagłosowało \(37,5\%\) osób. Możemy ten procent zamienić na ułamek zwykły, otrzymując:
$$37,5\%=\frac{37,5}{100}=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}$$

Teraz musimy przyrównać otrzymany ułamek do odpowiedzi z treści zadania.
Ułamek \(\frac{3}{8}\) jest większy od \(\frac{1}{3}\), bo \(\frac{1}{3}=\frac{3}{9}\) (jeżeli oba ułamki mają ten sam licznik to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik).
Jednocześnie ułamek \(\frac{3}{8}\) jest mniejszy od \(\frac{2}{5}\). Aby to udowodnić wystarczy sprowadzić obydwa ułamki do wspólnego mianownika:
$$\frac{3}{8}=\frac{15}{40}$$ $$\frac{2}{5}=\frac{16}{40}$$

Z dwóch ułamków mających ten sam mianownik większy jest ten, który ma większy licznik, zatem prawidłowa byłaby odpowiedź trzecia.

II sposób - zamieniając ułamki zwykłe na procenty.
Ten sposób wydaje się być nieco łatwiejszy w tym przypadku. Tak naprawdę wystarczyłoby pozamieniać ułamki znajdujące się w odpowiedziach na procenty i sprawdzić w którym przedziale znajdzie się nasz ułamek \(37,5\%\). Zamieniając ułamki zwykłe z odpowiedzi na procenty otrzymamy następujące warianty:

Odp. A. Mniej niż \(25\%\) ogółu
Odp. B. Mniej niż \(33\frac{1}{3}\%\), ale więcej niż \(25\%\) ogółu
Odp. C. Więcej niż \(33\frac{1}{3}\%\), ale mniej niż \(40\%\) ogółu
Odp. D. Więcej niż \(40\%\) ogółu

Widzimy wyraźnie, że \(37,5\%\) mieści się jedynie w przedziale z trzeciej odpowiedzi.

Generalnie zadanie polega na tym by przeanalizować sobie mniej więcej jak wyglądają te wykresy, bo już po szybkiej analizie możemy określić w której klasie sprawdzian poszedł najgorzej. Zauważmy, że w klasie IIa tylko czterech uczniów zdobyło \(8\) punktów lub więcej. W pozostałych klasach liczba takich uczniów jest znacznie większa (\(7\) osób w klasie IIb oraz \(11\) osób w klasie IIc). Jednocześnie w klasie IIa mamy zdecydowanie najwięcej uczniów, którzy uzyskali bardzo niską punktację \(3\) punkty lub mniej. Takich osób jest aż \(13\). W klasie IIb uczniów mających maksymalnie \(3\) punkty jest tylko trzech, a w klasie IIc jest wręcz tylko jedna taka osoba. To oznacza, że bez cienia wątpliwości możemy stwierdzić, że sprawdzian był najtrudniejszy dla uczniów klasy IIa.

Oczywiście nic też nie stoi na przeszkodzie by dokonać tu obliczeń, które potwierdzą nasze spostrzeżenia. Aby odpowiedzieć sobie na pytanie dla której klasy ten sprawdzian był najtrudniejszy musimy wyliczyć średnią liczbę uzyskanych punktów dla każdej z klas. Aby to zrobić musimy obliczyć jaka jest liczba uczniów w każdej klasie i ile łącznie punktów oni zdobyli. Liczbę uczniów obliczymy dodając uczniów którzy zdobyli poszczególną liczbę punktów, natomiast łączną liczbę punktów obliczymy mnożąc ilość zdobytych punktów przez uczniów którzy osiągnęli dany wynik.

Klasa IIa:
Liczba uczniów: \(4+5+4+3+1+2+1=20\)
Liczba łącznie zdobytych punktów: $$4\cdot1+5\cdot2+4\cdot3+3\cdot6+1\cdot8+2\cdot9+1\cdot10=$$ $$=4+10+12+18+8+18+10=80$$
Średnia zdobytych punktów: \(\frac{80}{20}=4\)

Klasa IIb:
Liczba uczniów: \(1+2+2+6+2+4+2+1=20\)
Liczba łącznie zdobytych punktów: $$1\cdot2+2\cdot3+2\cdot4+6\cdot5+2\cdot7+4\cdot8+2\cdot9+1\cdot10=$$ $$2+6+8+30+14+32+18+10=120$$
Średnia zdobytych punktów: \(\frac{120}{20}=6\)

Klasa IIc:
Liczba uczniów: \(1+3+1+4+5+4+2=20\)
Liczba łącznie zdobytych punktów:
$$1\cdot3+3\cdot4+1\cdot5+4\cdot6+5\cdot8+4\cdot9+2\cdot10=$$ $$3+12+5+24+40+36+20=140$$
Średnia zdobytych punktów: \(\frac{140}{20}=7\)

Co najmniej \(6\) punktów uzyskało \(7\) uczniów (trzech którzy zdobyli \(6\) punktów, jeden który zdobył \(8\) punktów, dwóch którzy zdobyli \(9\) punktów oraz jeden który zdobył \(10\) punktów).

Ważną informacją jest to, że każdy uczeń podał tylko jeden rodzaj zainteresowań. W związku z tym, aby dowiedzieć się ilu uczniów brało udział w ankiecie, wystarczy zsumować głosy oddane na poszczególne zainteresowania, zatem:
$$70+130+40+20+30+60=350$$

Skoro kolarstwem interesuje się \(60\) uczniów, a informatyką aż \(130\) uczniów, to kolarstwem interesuje się \(130-60=70\) uczniów mniej.