Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Dwa rozwiązania dla $\Delta>0$, jedno ($x=-\frac{b}{2a}$) dla $\Delta=0$, brak dla $\Delta<0$.
Przykład: $x^2-5x+6=0$: $\Delta=1$, $x_1=2$, $x_2=3$.
Dla $a>0$ (ramiona w górę):
Dla $a\lt 0$ obszary zamieniają się miejscami — to najczęstsze źródło błędów.
Nierówność $x^2-5x+6\ge0$. Miejsca zerowe to $2$ i $3$, a $a=1>0$, więc wartości nieujemne leżą na zewnątrz:
$$x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$$
Gdy $\Delta\lt 0$, parabola nie przecina osi OX. Wtedy dla $a>0$ cała leży nad osią (np. $x^2+1>0$ jest spełnione zawsze), a dla $a\lt 0$ — pod osią.
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania. Wymagają jednak, aby pierwiastki istniały, czyli $\Delta\ge0$ — ten warunek trzeba sprawdzać zawsze.
Równanie dwukwadratowe $ax^4+bx^2+c=0$ rozwiązujemy podstawieniem $t=x^2$ przy warunku $t\ge0$. Każde nieujemne $t$ daje dwa rozwiązania w $x$: $x=\pm\sqrt{t}$.
Sama dodatnia suma pierwiastków nie gwarantuje, że oba są dodatnie — potrzebny jest jeszcze dodatni iloczyn. Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną odwracamy znak. Odpowiedź $x\le3$ dla nierówności $x^2\le9$ jest błędna: brakuje ograniczenia od dołu.
Dla równania $ax^2+bx+c=0$ o pierwiastkach $x_1$, $x_2$:
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$
Dla $a=1$ upraszcza się to do: suma $=-b$, iloczyn $=c$.
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania — poznać ich sumę, iloczyn, znaki czy wartości wyrażeń symetrycznych.
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$
$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$
$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$
Każde wyrażenie symetryczne w pierwiastkach da się zapisać przez sumę i iloczyn.
Znając sumę $s$ i iloczyn $p$ pierwiastków, równanie (o wiodącym $1$) to:
$$x^2-sx+p=0$$
Wzory zakładają istnienie pierwiastków. W zadaniach z parametrem trzeba osobno sprawdzić warunek $\Delta\ge0$ — sam znak sumy i iloczynu go nie gwarantuje.
Pamiętaj o minusie w sumie ($-\frac ba$) i o dzieleniu przez $a$, gdy współczynnik wiodący jest różny od $1$.
$$\Delta>0 \Rightarrow \text{dwa różne},\quad \Delta=0 \Rightarrow \text{jeden podwójny},\quad \Delta\lt 0 \Rightarrow \text{brak}$$
Warunki na parametr zaczynamy zwykle od odpowiedniej nierówności na $\Delta$.
Gdy parametr stoi przy $x^2$, trzeba osobno rozważyć przypadek, gdy jest zerem — wtedy równanie przestaje być kwadratowe. To standardowe zastrzeżenie.
Aby oba pierwiastki były dodatnie, potrzeba trzech warunków naraz:
$$\Delta\ge0,\qquad x_1+x_2>0,\qquad x_1 x_2>0$$
Dla dwóch ujemnych zmienia się tylko warunek na sumę (musi być ujemna). Dla różnych znaków wystarcza $x_1 x_2\lt 0$ (wyróżnik jest wtedy automatycznie dodatni).
Nierówność $ax^2+bx+c>0$ zachodzi dla każdego $x$, gdy $a>0$ i $\Delta\lt 0$ (parabola w górę, bez pierwiastków). Dla nieostrej $\ge0$ dopuszczamy $\Delta=0$.
Gdy zadanie daje kilka warunków, rozwiązaniem jest ich przecięcie. Warto wyznaczyć każdy osobno i nanieść na oś.
Parabola jest styczna do osi $OX$ dokładnie wtedy, gdy $\Delta=0$ — ma wtedy jeden punkt wspólny z osią (pierwiastek podwójny).
Nie zapomnij o przypadku zerowego współczynnika wiodącego. Przy „co najmniej jeden pierwiastek” bierz $\Delta\ge0$, przy „dwa różne” — $\Delta>0$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-5x+m=0$ ma dwa różne rozwiązania.
Nie rozwiązując równania $2x^2-6x-3=0$, oblicz sumę i iloczyn jego rozwiązań.
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2+mx+4=0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-2mx+m+2=0$ ma dwa różne rozwiązania spełniające warunek $x_1^2+x_2^2=8$.
Wyznacz wszystkie $m\ne2$, dla których równanie $(m-2)x^2-2(m-1)x+m=0$ ma dwa różne rozwiązania tego samego znaku.
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-4x+m-1=0$ ma dwa różne rozwiązania spełniające nierówność $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}\gt 2$.
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2+(m+1)x+m=0$ ma dwa różne rozwiązania, których odległość na osi liczbowej jest równa $2$.
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-(m+2)x+m=0$ ma dwa różne rozwiązania spełniające warunek $x_1^3+x_2^3=8$.
Wyznacz wszystkie $m$, dla których liczba $1$ leży między rozwiązaniami równania $x^2-2mx+m^2-1=0$.
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-2(m+1)x+m^2+3=0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie spełniające warunek $x_1^2+x_2^2\lt 22$.
Dla jakiego $m$ równanie $x^2-2x+m=0$ ma jedno rozwiązanie?
Suma pierwiastków równania $2x^2-8x+3=0$ jest równa
Iloczyn pierwiastków równania $3x^2+5x-12=0$ jest równy
Równanie $x^2-6x+m=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy
Równanie $x^2+bx+12=0$ ma pierwiastek $x_1=3$. Wyznacz $b$ oraz drugi pierwiastek.
Suma pierwiastków równania $x^2-8x+15=0$ jest równa
Iloczyn pierwiastków równania $x^2+2x-8=0$ jest równy
Dla równania $x^2-3x+2=0$ wartość $x_1^2+x_2^2$ jest równa
Dla równania $x^2-5x+6=0$ wartość $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$ jest równa
Dla równania $x^2-4x+1=0$ oblicz $x_1^2+x_2^2$.
Iloczyn pierwiastków równania $2x^2-4x+6=0$ jest równy
Suma pierwiastków równania $x^2+px+12=0$ jest równa $7$. Wartość $p$ jest równa
Iloczyn pierwiastków równania $x^2-6x+m=0$ jest równy $5$. Wartość $m$ jest równa
Suma pierwiastków równania $x^2-2x-3=0$ jest równa
W równaniu $x^2-mx+8=0$ suma pierwiastków jest równa $6$. Wyznacz $m$ oraz iloczyn pierwiastków.
Suma pierwiastków równania $x^2-6x+8=0$ jest równa
Iloczyn pierwiastków równania $x^2+x-6=0$ jest równy
Dla równania $x^2-4x+3=0$ wartość $x_1^2+x_2^2$ jest równa
Dla równania $x^2-7x+12=0$ wartość $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$ jest równa
W równaniu $x^2-5x+m=0$ iloczyn pierwiastków jest równy $4$. Wyznacz $m$ oraz sumę pierwiastków.
Rozwiąż nierówność $x^2-4\lt 0$.
Rozwiąż nierówność $x^2-5x+6\ge 0$.
Dla równania $x^2-7x+10=0$ podaj sumę i iloczyn pierwiastków, korzystając ze wzorów Viete (bez rozwiązywania równania).
Równanie $x^2+bx+9=0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jakie wartości może przyjąć $b$?
Pierwiastki równania $x^2+px+q=0$ to $2$ i $-5$. Ile wynosi $p$?
Rozwiąż nierówność $-x^2+4x>0$.
Ile rozwiązań ma nierówność $x^2+1\lt 0$?
Pierwiastki równania $x^2-6x+k=0$ spełniają warunek $x_1^2+x_2^2=20$. Wyznacz $k$.
Rozwiąż równanie $(x-1)(x+3)=5$.
Suma pierwiastków równania $2x^2-8x+3=0$ wynosi:
Dla jakich wartości $m$ równanie $x^2-2mx+m^2-1=0$ ma dwa pierwiastki, których suma wynosi $6$?
Rozwiąż nierówność $x^2\le 9$.
Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych wynosi $132$. Znajdź te liczby.
Rozwiąż równanie $x^4-5x^2+4=0$.
Prostokąt ma pole $60$ cm$^2$, a jego długość jest o $7$ cm większa od szerokości. Oblicz wymiary prostokąta.
Dla jakich wartości $m$ równanie $x^2-(m+1)x+m=0$ ma dwa pierwiastki dodatnie?
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\(x^2+2mx+2m-1=0\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\) spełniające warunek
\(m\left(x_1^2+x_2^2\right)=3m\cdot x_1\cdot x_2+2\)
Zapisz obliczenia.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\((3-m)\cdot x^2+(m+1)\cdot x-(m+1)^2=0\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\) spełniające warunek
\(x_1^2+x_2^2=x_1\cdot x_2+7\)
Zapisz obliczenia.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\(mx^2-(m+1)x-2m+3=0\)
ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki:
\(x_1\neq 0\), \(\;x_2\neq 0\) oraz \(\;\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\lt 1\)
Zapisz obliczenia.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\((x-4)\left[x^2+(m-3)x+m^2-m-6\right]=0\)
ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\) oraz \(x_3\), spełniające warunek
\(x_1\cdot x_2\cdot x_3\gt x_1^2+x_2^2+x_3^2-5m-51\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\(4x^2+(2-4m)x+m^2-m-2=0\)
ma dwa różne dodatnie rozwiązania \(x_1\), \(x_2\) spełniające nierówność \(x_1^2+x_2^2\le\frac{17}{4}\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\(x^2-3mx+(m+1)(2m-1)=0\)
ma dwa różne rozwiązania \(x_1\), \(x_2\) spełniające warunki: \(x_1\cdot x_2\neq 0\) oraz \(0\lt\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\le\frac{2}{3}\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-3mx+2m^2+1=0\) ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału \((-\infty,3)\).
Liczba \(m\) jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania \(k^2x^2+(k-1)x+1=0\), gdzie \(k\neq 0\).
Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem \(f(x)=2^m\).
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{m^2+m-6}{m-5}x^2-(m-2)x+m-5\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).
Wyznacz całkowite wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(2x^2+(3-2m)x-m+1=0\) ma dwa różne pierwiastki \(x_1,x_2\) takie, że \(|x_1-x_2|=3\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-4mx-m^3+6m^2+m-2=0\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1,x_2\) takie, że \((x_1-x_2)^2\lt 8(m+1)\).
O ciągu \((x_n)\) dla \(n\ge1\) wiadomo, że:
a) ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=3^{x_n}\) dla \(n\ge1\) jest geometryczny o ilorazie \(q=27\),
b) \(x_1+x_2+\ldots+x_{10}=145\).
Oblicz \(x_1\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(2x^2-(m-2)x-3m=0\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\), spełniające warunek \(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\le 25\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2+mx+2=0\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od \(2m^2-13\).
Liczby \(x_1=5+\sqrt{23}\) i \(x_2=5-\sqrt{23}\) są rozwiązaniami równania \(x^2-(p^2+q^2)x+(p+q)=0\) z niewiadomą \(x\). Oblicz wartości \(p\) i \(q\).
Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji \(f\) danej wzorem \(f(m)=x_1\cdot x_2\), gdzie \(x_1,x_2\) są różnymi pierwiastkami równania \((m+2)x^2-(m+2)^2x+3m+2=0\), w którym \(m\in R\setminus\{-2\}\).
Dane jest równanie: \(x^2+(m-5)x+m^2+m+\dfrac14=0\). Zbadaj, dla jakich wartości parametru \(m\) stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.