Wyrażenia wymierne

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do danych treści zadania.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba studentów, która pojechała na narty
\(x+4\) - liczba studentów przed rezygnacją \(4\) osób

\(\frac{3840}{x}\) - ostateczna cena wyjazdu pojedynczego studenta
\(\frac{3840}{x+4}\) - cena wyjazdu pojedynczego studenta, przed rezygnacją \(4\) osób

Z treści zadania wynika, że ostateczna cena na jedną osobę była o \(160zł\) wyższa, zatem powstaje nam następujące równanie:
$$\frac{3840}{x}-160=\frac{3840}{x+4}$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
$$\frac{3840}{x}-160=\frac{3840}{x+4} \quad\bigg/\cdot x$$ $$3840-160x=\frac{3840x}{x+4} \quad\bigg/\cdot(x+4)$$ $$3840\cdot(x+4)-160x\cdot(x+4)=3840x$$ $$3840x+15360-(160x^2+640x)=3840x$$ $$3840x+15360-160x^2-640x=3840x$$ $$-160x^2-640x+15360=0$$

Aby działać na nieco mniejszych liczbach, możemy (choć nie musimy) podzielić obie strony tego równania przez \(-160\), dzięki czemu otrzymamy:
$$x^2+4x-96=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-96\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-96)=16-(-384)=400$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-20}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+20}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo liczba studentów nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(x=8\).

Krok 4. Obliczenie kwoty, jaką zapłacił każdy ze studentów.
Wyszło nam, że \(x=8\), czyli że było \(8\) studentów. Skoro zapłacili oni za wycieczkę \(3840zł\), to każdy z nich zapłacił:
$$3840zł:8=480zł$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba róż w pojedynczym kartonie
\(y\) - liczba kartonów

Wiemy, że zapakowano \(480\) róż, zatem możemy zapisać, że:
$$x\cdot y=480$$

Dodatkowo wiemy, że gdyby do kartonu włożono o \(3\) róże mniej, to trzeba byłoby użyć \(8\) kartonów więcej, czyli:
$$(x-3)(y+8)=480$$

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie układu równań
Z dwóch zapisanych równań w poprzednim kroku możemy zbudować następujący układ równań.
\begin{cases} x\cdot y=480 \\ (x-3)(y+8)=480 \end{cases}

Ten układ równań najszybciej rozwiążemy metodą podstawiania, wyznaczając np. wartość \(x\) z pierwszego równania:
\begin{cases} x=\frac{480}{y} \\ (x-3)(y+8)=480 \end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
\left(\frac{480}{y}-3\right)(y+8)=480$$ $$\cancel{480}+\frac{3840}{y}-3y-24=\cancel{480}$$ $$-3y-24+\frac{3840}{y}=0 \quad\bigg/\cdot y$$ $$-3y^2-24y+3840=0 \quad\bigg/:(-3)$$ $$y^2+8y-1280=0$$

Ostatnie dzielenie przez \(-3\) nie było konieczne, ale dzięki temu za chwilę będziemy działać na nieco mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które klasycznie obliczymy za pomocą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=8,\;c=-1280\)
$$Δ=b^2-4ac=8^2-4\cdot1\cdot(-1280)=64-(-5120)=5184$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{5184}=72$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8-72}{2\cdot1}=\frac{-80}{2}=-40$$ $$y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8+72}{2\cdot1}=\frac{64}{2}=32$$


Krok 4. Określenie liczby kartonów oraz róż w pojedynczym kartonie.
Zacznijmy od liczby kartonów. Z równania kwadratowego wyszło nam, że \(y=-40\) oraz \(y=32\). Oczywiście ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo liczba kartonów nie może być ujemna. W związku z tym już wiemy, że \(y=32\), czyli że pierwotnie były \(32\) kartony. Musimy jeszcze obliczyć ilość róż, zatem korzystając z dowolnego równania z układu równań (np. z pierwszego) wyjdzie nam, że:
$$x\cdot y=480$$ $$x\cdot32=480$$ $$x=15$$

To oznacza, że w pojedynczym kartonie znalazło się \(15\) róż, a samych kartonów było pierwotnie \(32\).

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(s\) - odległość z hali do domu (w kilometrach)
\(t\) - czas pokonania trasy pieszo (w godzinach)
\(t-\frac{1}{15}\) - czas pokonania trasy biegiem (w godzinach)

W przypadku czasu pokonania trasy biegiem odejmujemy wartość \(\frac{1}{15}\), bo \(4\) minuty to \(\frac{1}{15}\) godziny. Nie moglibyśmy zapisać, że czas ten wynosi \(t-4\), bo mielibyśmy niezgodność jednostek - czas mielibyśmy w minutach, a prędkość w \(\frac{km}{h}\).

Krok 2. Obliczenie czasu pokonania trasy pieszo.
To co jest niezmienne w przypadku pokonywania trasy pieszo i biegiem to droga jaką należy pokonać. Ze wzoru na prędkość \(v=\frac{s}{t}\) wynika, że \(s=v\cdot t\). Możemy więc ułożyć dwa następujące równania:
Pieszo: \(s=4\cdot t\)
Bieg: \(s=6\cdot\left(t-\frac{1}{15}\right)\)

Te dwa równania możemy zapisać w postaci układu równań, dzięki któremu obliczymy czas pokonania trasy pieszo:
\begin{cases} s=4\cdot t \\ s=6\cdot\left(t-\frac{1}{15}\right) \end{cases}

Układ ten najprościej będzie rozwiązać metodą podstawiania, zatem:
$$4\cdot t=6\cdot\left(t-\frac{1}{15}\right)$$ $$4t=6t-\frac{6}{15}$$ $$-2t=-\frac{6}{15} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)$$ $$t=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}[h]$$

Krok 3. Obliczenie odległości z hali do domu.
Skoro wyszło nam, że \(t=\frac{1}{5}\), to korzystając z równania \(s=4\cdot t\) możemy bez problemu obliczyć odległość z hali do domu:
$$s=4\cdot t$$ $$s=4\cdot\frac{1}{5}$$ $$s=\frac{4}{5}[km]$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(v\) - średnia prędkość Adama [\(\frac{km}{h}\)]
\(t\) - czas Adama [\(h\)]

\(v+4,5\) - średnia prędkość Borysa [\(\frac{km}{h}\)]
\(t-\frac{1}{6}\) - czas Borysa [\(h\)]
Odejmujemy \(\frac{1}{6}\), bo Borys biegł \(10\) minut krócej, a skoro posługujemy się godzinami to \(10min=\frac{1}{6}h\).

\(s=15\) - długość trasy

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie układu równań na podstawie danych z treści zadania.
Skorzystamy tutaj ze wzoru \(s=vt\).
\begin{cases} 15=vt \\ 15=(v+4,5)\left(t-\frac{1}{6}\right) \end{cases}

Podstawiając z pierwszego równania \(v=\frac{15}{t}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
15=\left(\frac{15}{t}+4,5\right)\left(t-\frac{1}{6}\right)$$ $$\cancel{15}=\cancel{15}-\frac{15}{6t}+4,5t-\frac{3}{4}$$ $$-\frac{15}{6t}+4,5t-\frac{3}{4}=0$$ $$-\frac{5}{2t}+4,5t-\frac{3}{4}=0 \quad\bigg/\cdot4t$$ $$-10+18t^2-3t=0$$ $$18t^2-3t-10=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=18,\;b=-3,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot18\cdot(-10)=9-(-720)=729$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{729}=27$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-27}{2\cdot18}=\frac{3-27}{36}=\frac{-24}{36}=-\frac{2}{3}$$ $$t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+27}{2\cdot18}=\frac{3+27}{36}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie ujemne musimy odrzucić, bo czas nie może być ujemny. Zostaje nam \(t=\frac{5}{6}[h]\), a zgodnie z naszymi oznaczeniami jest to czas biegu Adama, czyli dokładnie to czego szukaliśmy. Możemy jeszcze zapisać, że \(t=\frac{5}{6}h=50 min.\) i w takim też czasie Adam pokonał całą trasę biegu.

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(v\) - prędkość Pani Lidii
\(t\) - czas Pani Lidii
\(s=450\) - odległość między miastami
\(v-18\) - prędkość Pani Danuty
\(t+\frac{5}{4}\) - czas Pani Danuty

Dlaczego czas Pani Danuty to \(t+\frac{5}{4}\)? Pani Danuta jechała dłużej o \(75\) minut. Nam jednostka jaką są minuty nie pasuje, bo prędkość obliczamy w \(\frac{km}{h}\). Musimy więc te minuty zamienić na godziny:
$$75\text{ min. }=\frac{75}{60}\text{ godz. }=\frac{5}{4}\text{ godz. }$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow s=vt$$

Na podstawie tego wzoru układamy dwa równania - pierwsze dla Pani Lidii, drugie dla Pani Danuty.
\begin{cases} 450=vt \\ 450=(v-18)(t+\frac{5}{4}) \end{cases}

Podstawiając z pierwszego równania \(t=\frac{450}{v}\) otrzymamy:
$$\require{cancel}
450=(v-18)\left(\frac{450}{v}+\frac{5}{4}\right)$$ $$\cancel{450}=\cancel{450}+\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5$$ $$\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5=0 \quad\bigg/\cdot v$$ $$\frac{5}{4}v^2-22,5v-8100=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5}$$ $$v^2-18v-6480=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-18,\;c=-6480\)
$$Δ=b^2-4ac=(-18)^2-4\cdot1\cdot(-6480)=324-(-25920)=324+25920=26244$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{26244}=162$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)-162}{2\cdot1}=\frac{18-162}{2}=\frac{-144}{2}=-72$$ $$v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)+162}{2\cdot1}=\frac{18+162}{2}=\frac{180}{2}=90$$

Krok 4. Obliczenie średnich wartości prędkości Pani Lidii i Danuty.
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale wartość ujemną oczywiście odrzucamy, tak więc wyszło nam, że prędkość jazdy Pani Lidii to \(90\frac{km}{h}\).
W związku z tym prękość jazdy Pani Danuty wynosi:
$$90\frac{km}{h}-18\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}$$

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i ułożenie z nich układu równań.
\(v\) - średnia prędkość Nowaka (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas jazdy Nowaka (w godzinach)
\(v-11\) - średnia prędkość Kowalskiego (bo jest o \(11\frac{km}{h}\) mniejsza od Nowaka}
\(t+\frac{11}{6}\) - czas jazdy Kowalskiego (bo jest o \(110\) minut dłuższy od czasu Nowaka, a \(110\) minut to \(\frac{11}{6}\) godziny)
\(s=150\) - długosć trasy (w kilometrach)

Do ułożenia układu równań skorzystamy ze wzoru:
$$v=\frac{s}{t} \quad\Rightarrow\quad s=vt$$

\begin{cases} 150=vt \\ 150=(v-11)\cdot(t+\frac{11}{6}) \end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Z pierwszego równania wychodzi nam, że \(t=\frac{150}{v}\). Podstawiając tę wartość do drugiego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
150=(v-11)\cdot\left(\frac{150}{v}+\frac{11}{6}\right) \quad\bigg/\cdot 6v$$ $$900v=(v-11)\cdot(900+11v)$$ $$\cancel{900v}=\cancel{900v}+11v^2-9900-121v$$ $$11v^2-121v-9900=0 \quad\bigg/:11$$ $$v^2-11v-900=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-11,\;c=-900\)
$$Δ=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot1\cdot(-900)=121-(-3600)=121+3600=3721$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{3721}=61$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)-61}{2\cdot1}=\frac{11-61}{2}=\frac{-50}{2}=-25$$ $$v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)+61}{2\cdot1}=\frac{11+61}{2}=\frac{72}{2}=36$$

Krok 4. Interpretacja wyników i obliczenie prędkości jazdy pana Nowaka i Kowalskiego.
Ujemną prędkość musimy odrzucić, stąd też zostaje nam jedynie \(v=36\frac{km}{h}\) i jest to zgodnie z naszymi oznaczeniami prędkość pana Nowaka. Pozostaje nam jeszcze do obliczenia prękość pana Kowalskiego, która wyniesie:
$$36\frac{km}{h}-11\frac{km}{h}=25\frac{km}{h}$$

Krok 1. Wypisanie danych i relacji z treści zadania.
\(t\) - czas wchodzenia na wzgórze
\(1\) godzina i \(4\) minuty, czyli \(1\frac{4}{60}=\frac{16}{15}\) godziny - czas wchodzenia i schodzenia ze wzgórza
\(\frac{16}{15}-t\) - czas schodzenia ze wzgórza
\(v\) - prędkość wchodzenia na wzgórze
\(v+1\) - prędkość schodzenia ze wzgórza
\(s=2,1\) - długość drogi w kilometrach (w jednym kierunku)

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy relację dotyczącą prędkości wchodzenia i schodzenia w formie układu równań:
\begin{cases} vt=2,1 \\ (v+1)(\frac{16}{15}-t)=2,1 \end{cases}\begin{cases} t=\frac{2,1}{v} \\ \frac{16}{15}v-vt+\frac{16}{15}-t=2,1 \end{cases}

Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(t=\frac{2,1}{v}\) do drugiego równania. Warto też będzie wymnożyć sobie wszystkie strony powstałego równania np. przez \(30\), tak aby pozbyć się wszystkich ułamków, zatem:
$$\frac{16}{15}v-v\cdot\frac{2,1}{v}+\frac{16}{15}-\frac{2,1}{v}=2,1 \quad\bigg/\cdot 30$$ $$32v-63+32-\frac{63}{v}=63 \quad\bigg/\cdot v$$ $$32v^2-63v+32v-63=63v$$ $$32v^2-94v-63=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=32,\;b=-94,\;c=-63\)
$$Δ=b^2-4ac=(-94)^2-4\cdot32\cdot(-63)=8836-(-8064)=16900$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{16900}=130$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)-130}{2\cdot32}=\frac{94-130}{64}=\frac{-36}{64}=-\frac{9}{16}$$ $$v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)+130}{2\cdot32}=\frac{94+130}{64}=\frac{224}{64}=3,5$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo prędkość nie może być ujemna. Zatem \(v=3,5\frac{km}{h}\) i to jest nasza końcowa odpowiedź.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(p\) - praca do wykonania
\(x\) - czas pracy ojca (w godzinach)
\(x+5\) - czas pracy syna (w godzinach)

Krok 2. Ułożenie równania.
Do zadania podejdziemy dokładanie tak jak podchodzimy do zadań z prędkością, gdzie korzystamy ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\). Tutaj też mamy tak jakby prędkość zbierania, zamiast drogi mamy wielkość pracy do wykonania, a zamiast czasu jazdy mamy czas zbierania. Jeżeli tak przystąpimy do tego zadania, to możemy zapisać, że prędkość zbierania jabłek przez ojca jest równa \(\frac{p}{x}\), prędkość zbierania jabłek przez syna to \(\frac{p}{x+5}\), a prędkość zbierania jabłek przez ojca i syna jednocześnie to \(\frac{p}{6}\). W związku z tym możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{p}{x}+\frac{p}{x+5}=\frac{p}{6}$$

Krok 3. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie najprościej jest zacząć od wymnożenia wszystkiego przez wartości znajdujące się w mianownikach. Najlepiej jest to zrobić powoli i po kolei:
$$\frac{p}{x}+\frac{p}{x+5}=\frac{p}{6} \quad\bigg/\cdot6$$ $$\frac{6p}{x}+\frac{6p}{x+5}=p \quad\bigg/\cdot x$$ $$6p+\frac{6px}{x+5}=px \quad\bigg/\cdot(x+5)$$ $$6p\cdot(x+5)+6px=px\cdot(x+5) \quad\bigg/:p$$ $$6\cdot(x+5)+6x=x\cdot(x+5)$$ $$6x+30+6x=x^2+5x$$ $$12x+30=x^2+5x$$ $$x^2-7x-30=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które policzymy oczywiście korzystając z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-7,\;c=-30\)
$$Δ=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-30)=49-(-120)=49+120=169$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{169}=13$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)-13}{2\cdot1}=\frac{7-13}{2}=\frac{-6}{2}=-3$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)+13}{2\cdot1}=\frac{7+13}{2}=\frac{20}{2}=10$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo czas pracy ojca oznaczony jako \(x\) nie może być ujemny, zatem zostaje nam \(x=10\). To oznacza, że ojciec samodzielnie zebrałby jabłka w ciągu \(10\) godzin.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń.
Przyjmijmy, że:
\(x\) - liczba znajomych
\(y\) - opłata miesięczna na osobę
\(120\) - łączna opłata za Internet

Po miesiącu:
\(x+2\) - liczba znajomych po upływie miesiąca
\(x-5\) - nowa opłata miesięczna na osobę
\(120\) - łączna opłata za Internet (nie uległa zmianie)

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Zgodnie z treścią zadania i wypisanymi przed chwilą oznaczeniami możemy zapisać, że:
\begin{cases} x\cdot y=120 \\ (x+2)\cdot(y-5)=120 \end{cases}

\begin{cases} y=\frac{120}{x} \\ xy-5x+2y-10=120 \end{cases}

Podstawiając wartość \(y=\frac{120}{x}\) z pierwszego równania do równania drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
x\cdot\frac{120}{x}-5x+2\cdot\frac{120}{x}-10=120$$ $$\cancel{120}-5x+\frac{240}{x}-10=\cancel{120}$$ $$-5x+\frac{240}{x}-10=0 \quad\bigg/\cdot x$$ $$-5x^2-10x+240=0 \quad\bigg/:(-5)$$ $$x^2+2x-48$$

Ostatniego dzielenia przez \(-5\) nie musimy wykonywać, aczkolwiek uprości nam to trochę późniejsze obliczenia.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-48\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-48)=4-(-192)=4+192=196$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-14}{2\cdot1}=\frac{-16}{2}=-8$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+14}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6$$

Z racji tego, że liczba osób nie może być ujemna, to jedynym rozwiązaniem jakie nam zostaje jest \(x=6\). To oznacza, że w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu grupa liczyła \(6\) osób.

Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.
\(t\) - czas jazdy pierwszego pociągu
\(v\) - prędkość jazdy pierwszego pociągu
\(t+\frac{2}{3}h\) - czas jazdy drugiego pociągu (dodajemy \(\frac{2}{3}\), bo \(40\) minut to \(\frac{2}{3}\) godziny. Gdybyśmy zapisali to jako \(t+40min\) to potem nie moglibyśmy się posługiwać jednostkami \(\frac{km}{h}\))
\(v-9\frac{km}{h}\) - prędkość jazdy drugiego pociągu
\(s=336km\) - długość całej trasy

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na drogę \(s=v\cdot t\). Podstawiając do niego nasze dane wypisane w pierwszym otrzymamy następujący układ równań:
\begin{cases} vt=336 \\ (v-9)(t+\frac{2}{3})=336 \end{cases}\begin{cases} t=\frac{336}{v} \\ vt+\frac{2}{3}v-9t-6=336 \end{cases}

Po podstawieniu wartości \(t\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
v\cdot\frac{336}{v}+\frac{2}{3}v-9\cdot\frac{336}{v}-6=336$$ $$\cancel{336}+\frac{2}{3}v-\frac{3024}{v}-6=\cancel{336}$$ $$\frac{2}{3}v-\frac{3024}{v}-6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2}$$ $$v-\frac{4536}{v}-9=0 \quad\bigg/\cdot v$$ $$v^2-9v-4536=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-9,\;c=-4536\)
$$Δ=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot1\cdot(-4536)=81+18144=18225$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{18225}=135$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)-135}{2\cdot1}=\frac{9-135}{2}=\frac{-126}{2}=-63$$ $$v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)+135}{2\cdot1}=\frac{9+135}{2}=\frac{144}{2}=72$$

Rozwiązanie ujemne wykluczamy, bo prędkość musi być dodatnia. To oznacza, że ostatecznym rozwiązaniem jest \(v=72\frac{km}{h}\).

Krok 4. Obliczenie prędkości drugiego pociągu.
Prędkość jazdy drugiego pociągu to:
$$v-9\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}-9\frac{km}{h}=63\frac{km}{h}$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie układu równań.
W całym zadaniu przyda nam się znajomość wzoru \(v=\frac{s}{t}\) i umiejętność jego zamiany na pożądaną formę.
\(v\) - średnia prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas jazdy kolarza (w godzinach)
\(s=114\) - pokonana trasa (w kilometrach)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać dwa równania, które stworzą układ równań:
\begin{cases} 114=vt \\ (v-9,5)(t+2)=114 \end{cases}

Najprościej będzie podstawić wartość \(t=\frac{114}{v}\) z pierwszego równania do drugiego, dzięki czemu otrzymamy:
$$\require{cancel}
(v-9,5)\left(\frac{114}{v}+2\right)=114 \quad\bigg/\cdot v$$ $$(v-9,5)(114+2v)=114v$$ $$\cancel{114v}+2v^2-1083-19v=\cancel{114v}$$ $$2v^2-19v-1083=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-19,\;c=-1083\)
$$Δ=b^2-4ac=(-19)^2-4\cdot2\cdot(-1083)=361-(-8664)=361+8664=9025$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{9025}=95$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-19)-95}{2\cdot2}=\frac{19-95}{4}=\frac{-76}{4}=-19$$ $$v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-19)+95}{2\cdot2}=\frac{19+95}{4}=\frac{114}{4}=28,5$$

Ujemną prędkość oczywiście odrzucamy, więc jedyną prawidłową odpowiedzią jest \(v=28,5\frac{km}{h}\).

Krok 1. Wypisanie danych z zadania.
Musimy sobie dokładnie zapisać i uporządkować wszystkie dane, które przydadzą nam się do rozwiązania tego zadania.
\(v_{1}\) - prędkość pierwszego turysty (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}\) - prędkość drugiego turysty (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas po jakim pierwszy turysta spotkał drugiego (w godzinach)

Takie uwzględnienie danych pozwoli nam na zapisanie kolejnych relacji:
\(v_{1}\cdot t\) - trasa jaką pokonał pierwszy turysta do momentu spotkania
\(v_{2}\cdot (t-1)\) - trasa jaką pokonał drugi turysta do momentu spotkania (dajemy \(-1\), bo drugi turysta szedł o godzinę krócej)
\(v_{1}\cdot t+v_{2}\cdot (t-1)=18\) - wiemy, że suma pokonanych tras pierwszego i drugiego turysty jest na pewno równa \(18\)

Wszystkie powyższe relacje były związane z momentem spotkania się dwóch turystów, ale z zadania możemy jeszcze wydobyć informacje o zależnościach pomiędzy dalszymi odcinkami trasy (po spotkaniu).

Pierwszy turysta poruszał się z prędkością \(v_{1}\) jeszcze przez \(1,5\) godziny i w tym czasie pokonał on dystans \(18-v_{1}\cdot t\). To znaczy, że:
$$1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t$$

Drugi turysta poruszał się z prędkością \(v_{2}\) jeszcze przez \(4\) godziny i w tym czasie pokonał on dystans \(18-v_{2}\cdot (t-1)\). To znaczy, że:
$$4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1)$$

Krok 2. Ułożenie odpowiedniego układu równań.
Z powyższych danych jesteśmy w stanie utworzyć układ zawierający aż trzy równania:
\begin{cases} v_{1}\cdot t+v_{2}\cdot (t-1)=18 \\ 1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t \\ 4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1) \end{cases}

To dla nas bardzo komfortowa sytuacja i możemy teraz wyliczyć poszczególne niewiadome na bardzo wiele sposobów. Wydaje się, że najpierw najprościej będzie wyznaczyć wartości \(v_{1}\) oraz \(v_{2}\) z dwóch ostatnich równań i podstawić je do pierwszego równania, stąd też:

$$1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t \Rightarrow v_{1}=\frac{18}{t+1,5}$$ $$4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1) \Rightarrow v_{2}=\frac{18}{t+3}$$

Podstawiając te dane do pierwszego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
\frac{18}{t+1,5}\cdot t+\frac{18}{t+3}\cdot (t-1)=18 \quad\bigg/\cdot (t+1,5)(t+3)$$ $$18\cdot(t+3)\cdot t+18\cdot(t+1,5)\cdot(t+1,5)\cdot(t-1)=18\cdot(t+1,5)(t+3)$$ $$(18t+54)t+(18t+27)(t-1)=(18t+27)(t+3)$$ $$18t^2+\cancel{54t}+\cancel{18t^2}-18t+\cancel{27t}-27=\cancel{18t^2}+\cancel{54t}+\cancel{27}+81$$ $$18t^2-18t-108=0 \quad\bigg/:18$$ $$t^2-t-6=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$ $$t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Ujemny wynik możemy odrzucić, bo czas wędrówki musi być dodatni. Zostaje nam więc \(t=3\).

Krok 4. Obliczenie prędkości dwóch turystów.
W drugim kroku wyznaczyliśmy sobie dwa wzory na prędkość obydwu wędrowców: \(v_{1}=\frac{18}{t+1,5}\) oraz \(v_{2}=\frac{18}{t+3}\). Skorzystamy z nich teraz, podstawiając wyliczony przed chwilą czas \(t=3\).
$$v_{1}=\frac{18}{t+1,5}=\frac{18}{3+1,5}=\frac{18}{3+1,5}=4\left[\frac{km}{h}\right]$$ $$v_{2}=\frac{18}{t+3}=\frac{18}{3+3}=\frac{18}{6}=3\left[\frac{km}{h}\right]$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(s=30\) - pokonana trasa (w \(km\))
\(v_{1}\) - prędkość marszu (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}=v_{1}+9\) - prędkość jazdy rowerem (w \(\frac{km}{h}\))
\(t_{1}\) - czas marszu (w godzinach)
\(t_{2}=t_{1}-3\) - czas jazdy rowerem (w godzinach)

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy w formie układu równań, relację dotyczącą prędkości marszu oraz jazdy rowerem:
$$\begin{cases} s=v_{1}\cdot t_{1} \\ s=v_{2}\cdot t_{2} \end{cases}$$

$$\begin{cases} 30=v_{1}\cdot t_{1} \\ 30=v_{2}\cdot t_{2} \end{cases}$$

Podstawiając pod drugie równanie dane z kroku pierwszego otrzymamy:
$$\begin{cases} 30=v_{1}\cdot t_{1} \\ 30=(v_{1}+9)\cdot (t_{1}-3) \end{cases}$$

$$\begin{cases} v_{1}=\frac{t_{1}}{180} \\ 180=(v_{1}+9)\cdot (t_{1}-3) \end{cases}$$

Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(v_{1}\) z pierwszego równania do drugiego:
$$30=\left(\frac{t_{1}}{30}+9\right)\cdot(t_{1}-3)$$

Wymnażając poszczególne nawiasy i upraszczając zapis do postaci ogólnej otrzymamy:
$$30=30-\frac{90}{t_{1}}+9t_{1}-27 \quad\bigg/-30$$ $$-\frac{90}{t_{1}}+9t_{1}-27=0 \quad\bigg/\cdot t_{1}$$ $$-90+9t_{1}^2-27t_{1}=0 \quad\bigg/:9$$ $$-10+t_{1}^2-3t_{1}=0$$ $$t_{1}^2-3t_{1}-10=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9-(-40)=9+40=49$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-7}{2\cdot1}=\frac{3-7}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$ $$t_{1}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+7}{2\cdot1}=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Ujemny wynik musimy odrzucić, bowiem czas nie może być ujemny. To oznacza, że \(t_{1}=5\).

Krok 4. Obliczenie prędkości marszu.
Znamy długość drogi \(s=30km\), wiemy też że czas jazdy wynosi \(t=5h\), zatem bez problemu obliczymy prędkość marszu:
$$v=\frac{s}{t}$$ $$v=\frac{30km}{5h}$$ $$v=6\frac{km}{h}$$

Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.
\(s=210km\) - trasa z miasta \(A\) do \(B\) (w kilometrach)
\(v\) - prędkość pociągu pospiesznego (w \(\frac{km}{h}\))
\(v-24\) - prędkość pociągu osobowego (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas pokonania trasy przez pociąg pospieszny (w godzinach)
\(t+1\) - czas pokonania trasy przez pociąg osobowy (w godzinach)

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z powyższych danych możemy stworzyć dość prosty układ równań. Wykorzystamy przy tym wzór na drogę \(s=vt\) i podstawimy do niego raz dane dotyczące pociągu pospiesznego, a raz pociągu osobowego, zatem:
\begin{cases} vt=210 \\ (v-24)(t+1)=210 \end{cases}

Z pierwszego równania możemy podstawić do drugiego wartość \(v=\frac{210}{t}\) i otrzymamy:
$$\left(\frac{210}{t}-24\right)\left(t+1\right)=210$$ $$210+\frac{210}{t}-24t-24=210$$ $$\frac{210}{t}-24t-24=0 \quad\bigg/\cdot t$$ $$210-24t^2-24t=0$$ $$-24t^2-24t+210=0$$

Powstałą równość możemy jeszcze uprościć dzieląc obie strony przez \(6\), dzięki czemu otrzymamy:
$$-4t^2-4t+35=0$$

Jeśli nie dostrzeżesz tego dzielenia, to nic się nie stanie, po prostu w kolejnym kroku będziesz wykonywać działania na większych liczbach, ale wynik wyjdzie ten sam.

Krok 3. Rozwiązanie powstałej równości.
Równość kwadratową możemy obliczyć za pomocą tzw. metody delty.
Współczynniki: \(a=-4,\;b=-4,\;c=35\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-4)\cdot35=16+560=576$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-24}{2\cdot(-4)}=\frac{4-24}{-8}=\frac{-20}{-8}=2,5$$ $$t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+24}{2\cdot(-4)}=\frac{4+24}{-8}=\frac{28}{-8}=-3,5$$

Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo czas nie może być ujemny. Zatem trzymaliśmy wartość \(t=2,5\), a to oznacza, że czas pokonania drogi przez pociąg pospieszny to \(2,5\) godziny.

Z założenia \(a+b=2c\), więc \(c=\dfrac{a+b}{2}\). Wyznaczamy mianowniki:

\(a-c=a-\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{a-b}{2}\),    \(b-c=b-\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{b-a}{2}\).

Ponieważ \(a\neq b\), oba mianowniki są różne od zera (co zgadza się też z założeniami \(a\neq c\), \(b\neq c\)).

Podstawiamy:

\(\dfrac{a}{a-c}+\dfrac{b}{b-c}=\dfrac{2a}{a-b}+\dfrac{2b}{b-a}=\dfrac{2a}{a-b}-\dfrac{2b}{a-b}=\dfrac{2(a-b)}{a-b}=2\),

co kończy dowód. \(\blacksquare\)

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(x\) - liczba pokonywanych kilometrów w ciągu dnia
\(y\) - liczba dni wędrówki
\(x\cdot y=112\)

Mamy także informację, że jeśli turysta będzie podróżować o \(3\) dni dłużej, czyli \(y+3\), to mógłby pokonywać dziennie \(12\) km mniej, czyli \(x-12\). Trasa cały czas byłaby taka sama, więc:
$$(x-12)(y+3)=112$$

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z naszych rozważań możemy utworzyć następujący układ równań:
\begin{cases} x\cdot y=112 \\ (x-12)(y+3)=112 \end{cases}\begin{cases} y=\frac{112}{x} \\ (x-12)(y+3)=112 \end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$(x-12)\left(\frac{112}{x}+3\right)=112$$ $$112+3x-\frac{1344}{x}-36=112$$ $$3x-\frac{1344}{x}-36=0 \quad\bigg/\cdot x$$ $$3x^2-36x-1344=0 \quad\bigg/:3$$ $$x^2-12x-448=0$$

Ostatnie dzielenie przez trzy nie było konieczne, ale dzięki niemu będziemy teraz działać na nieco mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-12,\;c=-448\)
$$Δ=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot1\cdot(-448)=144+1792=1936$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{1936}=44$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)-44}{2\cdot1}=\frac{12-44}{2}=\frac{-32}{2}=-16$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)+44}{2\cdot1}=\frac{12+44}{2}=\frac{56}{2}=28$$

Wartość \(x_{1}=-16\) musimy odrzucić, bo liczba pokonanych kilometrów nie może być ujemna. Stąd też końcową odpowiedzią jest \(x=28\), czyli turysta pokonywał \(28\) kilometrów dziennie.

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(v\) - prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas pokonywania trasy (w godzinach)
\(s=60\) - długość pokonanej trasy (w kilometrach)
\(v+1\) - zakładana teoretyczna prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t-\frac{1}{10}\) - zakładany teoretyczny czas jazdy (w godzinach)

Dlaczego teoretyczny czas jazdy wyniósł \(t-\frac{1}{10}\)? Mamy informację, że kolarz przejechałby trasę krócej o \(6\) minut. Niestety minutami nie możemy za bardzo operować, bo później posługujemy się jednostką prędkości \(\frac{km}{h}\), dlatego też musimy zamienić minuty na godziny:
$$6\text{ min. }=\frac{6}{60}\text{ godz. }=\frac{1}{10}\text{ godz. }$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Do ułożenia układu równań użyjemy wzoru na prędkość:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow s=vt$$

Pierwsze równanie będzie dotyczyło pierwszego przejazdu, drugie będzie związane z tym "teoretycznym" przejazdem:
\begin{cases} 60=vt \\ 60=(v+1)\cdot(t-\frac{1}{10}) \end{cases}

Podstawiając z pierwszego równania \(t=\frac{60}{v}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
60=(v+1)\cdot\left(\frac{60}{v}-\frac{1}{10}\right)$$ $$\cancel{60}=\cancel{60}-\frac{1}{10}v+\frac{60}{v}-\frac{1}{10}$$ $$-\frac{1}{10}v+\frac{60}{v}-\frac{1}{10}=0 \quad\bigg/\cdot v$$ $$-\frac{1}{10}v^2-\frac{1}{10}v+60=0 \quad\bigg/\cdot10$$ $$-v^2-v+600=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-1,\;c=600\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot600=1-(-2400)=1+2400=2401$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{2401}=49$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-49}{2\cdot(-1)}=\frac{1-49}{-2}=\frac{-48}{-2}=24$$ $$v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+49}{2\cdot(-1)}=\frac{1+49}{-2}=\frac{50}{-2}=-25$$

Z racji tego iż prędkość ujemną należy oczywiście odrzucić, to prawidłowym rozwiązaniem jest \(v=24\frac{km}{h}\).

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Pierwszy samochód przejechał: \(474-300=174\) (kilometrów)
Drugi samochód przejechał: \(300\) (kilometrów)
Czas jazdy pierwszego samochodu: \(t_{1}=\frac{174}{v_{1}}\) (godzin)
Czas jazdy drugiego samochodu: \(t_{2}=\frac{300}{v_{2}}\) (godzin)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Aby rozwiązać to zadanie musimy teraz powiązać ze sobą odpowiednie informacje i zapisać je w formie układu równań.

Do stworzenia pierwszego równania skorzystamy z informacji na temat prędkości obydwu pojazdów, bo choć nie znamy ich dokładnych wartości, to wiemy że:
$$v_{1}=v_{2}-17$$

Drugie równanie ułożymy wiedząc, że pierwszy samochód wyruszył godzinę później, zatem:
$$t_{1}+1=t_{2}$$ $$\frac{174}{v_{1}}+1=\frac{300}{v_{2}} \quad\bigg/\cdot v_{1}v_{2}$$ $$174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1}$$

Z tych dwóch informacji możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases} v_{1}=v_{2}-17 \\ 174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1} \end{cases}

Skoro \(v_{1}=v_{2}-17\), to podstawiając to do drugiego równania otrzymamy:
$$174v_{2}+(v_{2}-17)v_{2}=300(v_{2}-17)$$ $$174v_{2}+{v_{2}}^{2}-17v_{2}=300v_{2}-5100$$ $${v_{2}}^{2}-143v_{2}+5100=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-143,\;c=5100\)
$$Δ=b^2-4ac=(-143)^2-4\cdot1\cdot5100=20449-20400=49$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$v_{2}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-143)-7}{2\cdot1}=\frac{143-7}{2}=\frac{136}{2}=68$$ $$\text{lub}$$ $$v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-143)+7}{2\cdot1}=\frac{143+7}{2}=\frac{150}{2}=75$$

Krok 4. Obliczenie wszystkich możliwości uzyskiwanych prędkości.
Jeśli \(v_{2}=68\), to \(v_{1}=68-17=51\)
Jeśli \(v_{2}=75\), to \(v_{1}=75-17=58\)

Żadnej z tych odpowiedzi nie możemy odrzucić, zatem obydwie możliwości są prawidłowe i takie też jest rozwiązanie naszego zadania.

Krok 1. Zapisanie równania na podstawie danych z zadania.
Oznaczmy sobie jako \(x\) liczbę dni jakie zajęło uczniowi czytanie książki. Skoro każdego dnia czytał tyle samo stron, to dziennie czytał ich \(\frac{480}{x}\). Wiemy też, że gdyby czytał o \(8\) stron więcej (czyli gdyby czytał \(\frac{480}{x}+8\)), to czytałby o \(3\) dni krócej (czyli czas czytania wyniósłby \(x-3\)). W takim razie możemy ułożyć następujące równanie:
$$\left(\frac{480}{x}+8\right)\cdot(x-3)=480$$

Krok 2. Rozwiązanie utworzonego równania.
Możemy albo najpierw wymnożyć oba nawiasy przez siebie, a następnie pomnożyć obie strony równania przez \(x\), albo można też od razu pomnożyć obie strony przez \(x\) i dopiero potem wymnożyć przez siebie wyrazy w nawiasach. Obydwie metody są skuteczne, tak więc może zróbmy to po kolei i wymnóżmy poszczególne wyrazy. Otrzymamy wtedy:
$$\require{cancel}
480-\frac{1440}{x}+8x-24=480 \quad\bigg/\cdot x$$ $$\cancel{480x}-1440+8x^2-24x=\cancel{480x}$$ $$8x^2-24x-1440=0$$

Możemy jeszcze uprościć to równanie dzieląc wszystko przez \(8\) (nie jest to konieczne, ale dzięki temu będziemy mieć mniejsze liczby w obliczeniach), zatem otrzymamy:
$$x^2-3x-180=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty, tak więc:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=-180\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-180)=9-(-720)=9+720=729$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{729}=27$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-27}{2\cdot1}=\frac{3-27}{2}=\frac{-24}{2}=-12$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+27}{2\cdot1}=\frac{3+27}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, tak więc otrzymaliśmy wynik \(x=15\), a to oznacza że uczeń czytał książkę przez \(15\) dni.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(s=180\) - pokonana trasa (w \(km\))
\(v_{1}\) - prędkość jazdy samochodu (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}=v_{1}+30\) - prędkość jazdy samochodu (w \(\frac{km}{h}\)), gdy samochód zwiększa prędkość o \(30\frac{km}{h}\)
\(t_{1}\) - czas jazdy (w godzinach)
\(t_{2}=t_{1}-1\) - czas jazdy (w godzinach), gdy samochód jedzie szybciej


Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy relację dotyczącą prędkości jazdy w obydwu przypadkach w formie układu równań:
$$\begin{cases} s=v_{1}\cdot t_{1} \\ s=v_{2}\cdot t_{2} \end{cases}$$

$$\begin{cases} 180=v_{1}\cdot t_{1} \\ 180=v_{2}\cdot t_{2} \end{cases}$$

Podstawiając pod drugie równanie dane z kroku pierwszego otrzymamy:
$$\begin{cases} 180=v_{1}\cdot t_{1} \\ 180=(v_{1}+30)\cdot (t_{1}-1) \end{cases}$$

$$\begin{cases} v_{1}=\frac{180}{t_{1}} \\ 180=(v_{1}+30)\cdot (t_{1}-1) \end{cases}$$

Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(v_{1}\) z pierwszego równania do drugiego:
$$180=\left(\frac{180}{t_{1}}+30\right)\cdot (t_{1}-1)$$

Wymnażając poszczególne nawiasy i upraszczając zapis do postaci ogólnej otrzymamy:
$$180=180-\frac{180}{t_{1}}+30t_{1}-30 \quad\bigg/-180$$ $$-\frac{180}{t_{1}}+30t_{1}-30=0 \quad\bigg/\cdot t_{1}$$ $$-180+30t_{1}^2-30t_{1}=0 \quad\bigg/:30$$ $$-6+t_{1}^2-t_{1}=0$$ $$t_{1}^2-t_{1}-6=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=25$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$ $$t_{1}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Ujemny wynik musimy odrzucić, bowiem czas nie może być ujemny. To oznacza, że \(t_{1}=3\).

Krok 4. Obliczenie prędkości jazdy samochodu.
Znamy długość drogi \(s=180km\), wiemy też że czas jazdy wynosi \(t_{1}=3h\), zatem bez problemu obliczymy prędkość auta:
$$v=\frac{s}{t}$$ $$v=\frac{180km}{3h}$$ $$v=60\frac{km}{h}$$