Wielomian i jego stopień

Krok 1. Stopień licznika. Wymnażamy nawiasy — interesuje nas wyraz najwyższego stopnia:

$$\left(n^{2}-10n\right)(2-3n)=-3n^{3}+\ldots$$

Licznik jest więc wielomianem stopnia trzeciego o współczynniku wiodącym $-3$.

Krok 2. Stopień mianownika. Mianownik $2n^{3}+n^{2}+3$ jest stopnia trzeciego o współczynniku wiodącym $2$.

Krok 3. Granica. Gdy stopnie licznika i mianownika są równe, granica równa się ilorazowi współczynników wiodących:

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}.$$

Odpowiedź: D

Krok 1. Stopień licznika. Wyrażenie $\left(pn^{2}+4n\right)^{3}$ po rozwinięciu jest wielomianem stopnia szóstego, a jego wyraz wiodący to

$$\left(pn^{2}\right)^{3}=p^{3}n^{6}.$$

Krok 2. Stopień mianownika. Mianownik $5n^{6}-4$ ma wyraz wiodący $5n^{6}$.

Krok 3. Granica. Stopnie są równe, więc granica to iloraz współczynników wiodących:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\left(pn^{2}+4n\right)^{3}}{5n^{6}-4}=\frac{p^{3}}{5}.$$

Krok 4. Równanie na $p$.

$$\frac{p^{3}}{5}=-\frac{8}{5}\ \Longrightarrow\ p^{3}=-8\ \Longrightarrow\ p=-2.$$

Uwaga: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej jest jednoznaczny, więc $p=-2$ to jedyne rozwiązanie.

Odpowiedź: D

Krok 1. Interpretacja warunku o sumie współczynników. Suma współczynników wielomianu to jego wartość w punkcie $1$:

$$W(1)=1+a+b+c=0,$$

co oznacza, że liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$.

Krok 2. Postać pierwiastków. Trzy pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $3$, więc można je zapisać jako

$$t-3,\qquad t,\qquad t+3.$$

Ponieważ $1$ jest jednym z nich, mamy trzy możliwości.

Przypadek 1: $t-3=1$, czyli $t=4$. Pierwiastki: $1,\ 4,\ 7$.

Ze wzorów Viète'a dla wielomianu $x^{3}+ax^{2}+bx+c$:

$$a=-(1+4+7)=-12,$$

$$b=1\cdot4+1\cdot7+4\cdot7=4+7+28=39,$$

$$c=-(1\cdot4\cdot7)=-28.$$

Kontrola: $1-12+39-28=0$ ✓

Przypadek 2: $t=1$. Pierwiastki: $-2,\ 1,\ 4$.

$$a=-(-2+1+4)=-3,$$

$$b=(-2)\cdot1+(-2)\cdot4+1\cdot4=-2-8+4=-6,$$

$$c=-\left((-2)\cdot1\cdot4\right)=8.$$

Kontrola: $1-3-6+8=0$ ✓

Przypadek 3: $t+3=1$, czyli $t=-2$. Pierwiastki: $-5,\ -2,\ 1$.

$$a=-(-5-2+1)=6,$$

$$b=(-5)(-2)+(-5)\cdot1+(-2)\cdot1=10-5-2=3,$$

$$c=-\left((-5)(-2)\cdot1\right)=-10.$$

Kontrola: $1+6+3-10=0$ ✓

Odpowiedź — trzy rozwiązania:

$a=-12,\ b=39,\ c=-28$;   $a=-3,\ b=-6,\ c=8$;   $a=6,\ b=3,\ c=-10$.

Z twierdzenia Bézouta reszta z dzielenia \(W(x)\) przez \((x-3)\) jest równa \(W(3)\), zatem \(W(3)=10\).

Zapisujemy układ równań:

\(W(2)=8+4a+2b+1=7\)  ⇒  \(4a+2b=-2\)  ⇒  \(2a+b=-1\),

\(W(3)=27+9a+3b+1=10\)  ⇒  \(9a+3b=-18\)  ⇒  \(3a+b=-6\).

Odejmując stronami: \(a=-5\), a stąd \(b=-1-2\cdot(-5)=9\).

Sprawdzenie: \(W(2)=8-20+18+1=7\), \(W(3)=27-45+27+1=10\). ✅

1) Wyznaczenie wzoru wielomianu \(f\). Z wykresu odczytujemy trzy miejsca zerowe: \(-6,\ -5,\ -3\). Wielomian stopnia trzeciego o takich pierwiastkach ma postać

\(f(x)=a(x+6)(x+5)(x+3)\).

Z warunku \(f(0)=90\):

\(a\cdot6\cdot5\cdot3=90\), czyli \(90a=90\), skąd \(a=1\).

Zatem \(f(x)=(x+6)(x+5)(x+3)\).

2) Obliczenie \(-f(-x)\).

\(-f(-x)=-(-x+6)(-x+5)(-x+3)=-(-1)^3(x-6)(x-5)(x-3)=(x-6)(x-5)(x-3)\).

3) Porównanie. Wymnażamy:

\((x-6)(x-5)=x^2-11x+30\),

\((x^2-11x+30)(x-3)=x^3-3x^2-11x^2+33x+30x-90=x^3-14x^2+63x-90=g(x)\).

Zatem \(g(x)=-f(-x)\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). \(\blacksquare\)