Tożsamości trygonometryczne

To wartość z tablicy kątów szczególnych, którą warto pamiętać:

$$\sin 30^\circ=\frac12$$

Pełny zestaw dla $30^\circ$: $\sin 30^\circ=\frac12$, $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$.

Odpowiedź: B. $\frac12$.

Na okręgu jednostkowym cosinus to współrzędna pozioma punktu. Dla kąta $90^\circ$ punkt leży na samej górze osi OY, więc jego współrzędna pozioma to zero:

$$\cos 90^\circ=0$$

Dla porównania: $\sin 90^\circ=1$ (współrzędna pionowa jest maksymalna).

Odpowiedź: A. $0$.

Korzystamy z tożsamości $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Wyciągamy pierwiastek. Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Rozpoznanie: to klasyczny trójkąt $3$–$4$–$5$.

Odpowiedź: $\cos\alpha=\frac45$.

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac35}{\frac45}=\frac35\cdot\frac54=\frac34$$

Dzielenie ułamków: mnożymy przez odwrotność mianownika, a piątki się skracają.

Odpowiedź: $\tg\alpha=\frac34$.

Znak funkcji zależy od położenia punktu na okręgu jednostkowym:

• $\sin\alpha>0$ — punkt nad osią OX (ćwiartki I i II)
• $\cos\alpha\lt 0$ — punkt na lewo od osi OY (ćwiartki II i III)

Oba warunki spełnia jednocześnie tylko ćwiartka II.

Pomocna reguła (kolejność znaków sinusa/cosinusa/tangensa po ćwiartkach): „wszystkie dodatnie” w I, „sinus” w II, „tangens” w III, „cosinus” w IV.

Odpowiedź: C. druga.

Krok 1 — zapisujemy kąt jako $180^\circ$ minus kąt ostry:

$$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór redukcyjny. Sinus dla kąta w drugiej ćwiartce jest dodatni i zachodzi $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$:

$$\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\frac12$$

Kontrola znaku: $150^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni ✔

Odpowiedź: $\frac12$.

Funkcja sinus powtarza swoje wartości co pełny obrót:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x$$

Najmniejszą taką dodatnią liczbą jest $2\pi$, więc okres podstawowy to $2\pi$.

Uwaga na jednostki: w miary łukowej okres to $2\pi$, a nie $360$ — odpowiedź C myli radiany ze stopniami.

Dla porównania: tangens ma okres $\pi$.

Odpowiedź: D. $2\pi$.

To bezpośrednie zastosowanie jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Tożsamość ta zachodzi dla dowolnego kąta, więc:

$$\sin^2 40^\circ+\cos^2 40^\circ=1$$

Kluczowa obserwacja: nie trzeba znać wartości $\sin 40^\circ$ ani $\cos 40^\circ$ — wynik jest $1$ niezależnie od kąta.

Odpowiedź: $1$.

Dla kąta $45^\circ$ sinus i cosinus są równe:

$$\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$$

Zatem ich iloraz wynosi:

$$\tg 45^\circ=\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}=1$$

Interpretacja: w trójkącie prostokątnym równoramiennym obie przyprostokątne są równe, więc ich stosunek to $1$.

Odpowiedź: B. $1$.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wiemy, że $\sin 30^\circ=\frac12$.

Krok 2 — szukamy wszystkich rozwiązań w zadanym przedziale. Sinus jest dodatni w ćwiartkach I i II, więc drugie rozwiązanie to:

$$180^\circ-30^\circ=150^\circ$$

Krok 3 — zestawiamy:

$$x=30^\circ \quad \text{lub} \quad x=150^\circ$$

Częsty błąd: podanie tylko $30^\circ$. Równanie z sinusem ma zwykle dwa rozwiązania na pełnym okręgu.

Odpowiedź: $x=30^\circ$ lub $x=150^\circ$.

Krok 1 — jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$$

Krok 2 — wyciągamy pierwiastek, dobierając znak.

$$\sin\alpha=\pm\frac{5}{13}$$

Krok 3 — ustalamy znak. W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, więc:

$$\sin\alpha=\frac{5}{13}$$

Kluczowa uwaga: jedynka daje wartość bezwzględną — znak rozstrzyga informacja o ćwiartce. Pominięcie tego kroku to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{5}{13}$.

Na okręgu jednostkowym kąt $180^\circ$ wskazuje punkt $(-1,\,0)$ — skrajnie po lewej stronie osi OX.

Cosinus to współrzędna pozioma tego punktu:

$$\cos 180^\circ=-1$$

Dla porządku: $\sin 180^\circ=0$ (współrzędna pionowa).

Odpowiedź: A. $-1$.

Krok 1 — rozpoznajemy tangens:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha$$

Krok 2 — mnożymy, cosinus się skraca:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha=\sin\alpha$$

Założenie: $\cos\alpha\neq0$, bo dzielimy przez cosinus.

Odpowiedź: $\sin\alpha$.

Sposób 1 — podstawiamy wartości z tablicy:

$$\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\cdot\frac12=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$$

Sposób 2 — wzór na sinus sumy kątów:

$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)$$

$$=\sin(60^\circ+30^\circ)=\sin 90^\circ=1$$

Drugi sposób jest szybszy — warto rozpoznawać wzory na funkcje sumy kątów.

Odpowiedź: $1$.

Sinus jako współrzędna punktu na okręgu jednostkowym przyjmuje wszystkie wartości od $-1$ do $1$ włącznie:

$$-1\le\sin x\le 1$$

Skrajne wartości są osiągane: $\sin 90^\circ=1$ i $\sin 270^\circ=-1$, dlatego przedział jest domknięty (to odróżnia odpowiedź C od D).

Odpowiedź: C. $\langle -1,\,1\rangle$.

Krok 1 — wyznaczamy cosinus:

$$2\cos x=1 \quad\Rightarrow\quad \cos x=\frac12$$

Krok 2 — kąt podstawowy. Wiemy, że $\cos 60^\circ=\frac12$.

Krok 3 — wszystkie rozwiązania. Cosinus jest dodatni w ćwiartkach I i IV, więc drugie rozwiązanie to:

$$360^\circ-60^\circ=300^\circ$$

Krok 4 — zestawiamy:

$$x=60^\circ \quad \text{lub} \quad x=300^\circ$$

Uwaga: dla cosinusa drugie rozwiązanie leży w ćwiartce IV ($360^\circ-\alpha$), inaczej niż dla sinusa ($180^\circ-\alpha$).

Odpowiedź: $x=60^\circ$ lub $x=300^\circ$.

Sposób z trójkątem prostokątnym. Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw do przyprostokątnej przy kącie. Skoro $\tg\alpha=\frac21$, przyjmijmy bok naprzeciw $=2$, bok przy kącie $=1$.

Krok 1 — przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:

$$c=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$$

Krok 2 — odczytujemy funkcje:

$$\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},\qquad \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}$$

Sprawdzenie jedynką: $\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}$, $\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}$.

Krok 1 — przekształcamy licznik. Z jedynki trygonometrycznej wynika:

$$1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$$

Krok 2 — podstawiamy do wyrażenia:

$$\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}$$

Krok 3 — skracamy (możemy, bo $\sin\alpha\neq0$):

$$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha$$

Otrzymaliśmy prawą stronę, co kończy dowód.

Uwaga: założenie $\sin\alpha\neq0$ jest konieczne — bez niego nie wolno byłoby ani dzielić, ani skracać.

Odpowiedź: wyrażenie upraszcza się do $\sin\alpha$, co należało wykazać.

1. $\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$.

Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

1. $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-\frac29=\frac79$.

Odpowiedź: $\tfrac79$

1. $\sin^215^\circ=\frac{1-\cos30^\circ}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{2}=\frac{2-\sqrt3}4$.

Odpowiedź: $\tfrac{2-\sqrt3}{4}$

1. $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-1=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha$, $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ (przy czym $\sin\alpha\ne0$, $\cos\alpha\ne0$).
2. $\frac{2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $\sin2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=\frac45$, $\cos2\alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=-\frac35$.
2. Kontrola: w III ćwiartce $\sin\alpha=-\frac2{\sqrt5}$, $\cos\alpha=-\frac1{\sqrt5}$, więc $\sin2\alpha=2\cdot\frac2{5}=\frac45$ ✓.

Odpowiedź: $\sin2\alpha=\tfrac45$, $\cos2\alpha=-\tfrac35$

1. $\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$.
2. $=2\sin x\cos^2x+(1-2\sin^2x)\sin x=2\sin x(1-\sin^2x)+\sin x-2\sin^3x$.
3. $=3\sin x-4\sin^3x$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2=2\cos60^\circ\sin45^\circ=2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2}2$.

Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt2}{2}$

1. $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos2\alpha\cdot1$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $\cos\alpha=\frac45$, $\sin\beta=\frac{12}{13}$ (kąty ostre).
2. $\sin(\alpha+\beta)=\frac35\cdot\frac5{13}+\frac45\cdot\frac{12}{13}=\frac{15+48}{65}=\frac{63}{65}$.
3. $\cos(\alpha-\beta)=\frac45\cdot\frac5{13}+\frac35\cdot\frac{12}{13}=\frac{20+36}{65}=\frac{56}{65}$.

Odpowiedź: $\sin(\alpha+\beta)=\tfrac{63}{65}$, $\cos(\alpha-\beta)=\tfrac{56}{65}$

1. $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha$.
2. Po odjęciu $2\sin\alpha\cos\alpha$ zostaje $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B gubi jedynkę trygonometryczną, C nie odejmuje wyrazu środkowego, D gubi $\cos^2\alpha$.

1. $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
2. $\dfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=\sin\alpha\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cos\alpha$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A mnoży zamiast dzielić, C skraca całe wyrażenie, D odwraca wynik.

1. $1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$.
2. $\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A myli $\sin$ z $\cos$, B skraca całe wyrażenie, D nie skraca przez $\sin\alpha$.

1. $\sin\alpha=\sqrt{1-\tfrac{25}{169}}=\tfrac{12}{13}$ (kąt ostry).
2. $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{12}{5}$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A to $\cot\alpha$, B to $\sin\alpha$, C to $\tfrac1{\sin\alpha}$.

1. $\tan\alpha=2\Rightarrow\sin\alpha=2\cos\alpha$.
2. $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow 5\cos^2\alpha=1\Rightarrow\cos^2\alpha=\tfrac15$.
3. $\sin\alpha\cos\alpha=2\cos^2\alpha=\tfrac25$.

Odpowiedź: $\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\tfrac25$