Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Całkowitych pierwiastków szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego.
Przykład: $x^3-6x^2+11x-6$: kandydaci $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$; pierwiastki $1,2,3$.
Kandydaci na pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Przykład: $2x^2-x-1$: kandydaci $\pm1,\pm\frac{1}{2}$; pierwiastki $1$ i $-\frac{1}{2}$.
Jeśli ułamek nieskracalny $\frac{p}{q}$ jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych, to $p$ dzieli wyraz wolny, a $q$ — współczynnik wiodący.
Dla wielomianu unormowanego (wiodący $=1$) pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą wyraz wolny — to zawęża listę kandydatów.
Wypisujemy dzielniki wyrazu wolnego i sprawdzamy je kolejno. Znaleziony pierwiastek $a$ daje czynnik $(x-a)$ (twierdzenie Bézouta) — dzielimy i szukamy dalej wśród reszty.
Czynnik $(x-a)^k$ oznacza pierwiastek $a$ o krotności $k$. Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków (licząc z krotnościami).
W pierwiastku o krotności nieparzystej wykres przecina oś $OX$, zmieniając znak. W pierwiastku o krotności parzystej — dotyka osi i odbija się.
Dla stopnia nieparzystego ramiona idą w przeciwnych kierunkach, dla parzystego — w tę samą stronę. Kierunek zależy od znaku współczynnika wiodącego.
Pierwiastek $a$ daje czynnik $(x-a)$ — uważaj na znak. Suma kwadratów (np. $x^2+1$) nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Rozwiązujemy przez rozkład na czynniki i twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (dzielniki wyrazu wolnego).
$x_0$ jest pierwiastkiem $\iff (x-x_0)$ dzieli wielomian.
Sprowadzamy do iloczynu czynników niższych stopni.
Pozwala rozwiązać równanie trzeciego stopnia postaci $x^3+px+q=0$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W(x)=x^3-2x^2+3x-5$ przez dwumian $x-2$.
Wyznacz $m$, dla którego liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3+mx^2-4x+4$.
Rozwiąż nierówność $x^3-3x^2-4x+12\ge0$.
Rozwiąż równanie $2x^3-3x^2-3x+2=0$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x+1}{x-2}\ge2$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x^2-1}{x+3}\le x-1$.
Wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ jest podzielny przez dwumiany $x-1$ oraz $x+2$. Wyznacz $a$ i $b$ oraz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $x-1$ jest równa $3$, a przez $x+2$ jest równa $-3$. Wyznacz resztę z dzielenia $W(x)$ przez $(x-1)(x+2)$.
Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których wielomian $W(x)=x^3-3x+m$ ma pierwiastek podwójny.
Rozwiąż nierówność $x^4-5x^2+4\lt 0$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.