Wzór Herona
Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 17
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$.
Na czworokącie wypukłym \(ABCD\) o bokach długości: \(|AB|=3\), \(|BC|=3\), \(|CD|=5\) oraz \(|DA|=8\), opisano okrąg.
Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.
W okrąg o promieniu \(4\) wpisano trójkąt \(ABC\). Długość boku \(AB\) jest równa \(6\). Bok \(BC\) ma długość \(4\sqrt{3}\) i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.
Oblicz długość boku \(AC\) trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.
Pole trójkąta ostrokątnego o bokach \(5\) i \(8\) jest równe \(12\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa
Na okręgu jest opisany czworokąt \(ABCD\). Bok \(AD\) tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku \(AB\), a przekątna \(BD\) ma długość równą \(6\). Ponadto spełnione są następujące warunki:
\(\cos(\angle ADB)=\frac{7}{8}\), \(\;|\angle BCD|=90^\circ\) oraz \(\;|AB|\gt\sqrt{15}\).
Oblicz długość boku \(BC\) tego czworokąta.
W trójkącie \(ABC\) kąt \(BAC\) jest dwa razy większy od kąta \(ABC\).
Wykaż, że prawdziwa jest równość \(|BC|^2-|AC|^2=|AB|\cdot|AC|\).
Podstawa \(AB\) trójkąta równoramiennego \(ABC\) ma długość 8 oraz \(|\sphericalangle BAC|=30^\circ\). Oblicz długość środkowej \(AD\) tego trójkąta.
Dany jest trójkąt ostrokątny \(ABC\) o bokach długości \(a\), \(b\), \(c\) i kątach \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że \(\frac{b^2+c^2-a^2}{a^2+c^2-b^2}=\frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha}\).
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(a\) i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.
Dany jest trójkąt o bokach długości \(1,\ \tfrac32,\ 2\). Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta.
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa \(a\). Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę \(45^\circ\). Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.
📘Teoria 3
Twierdzenie sinusów: $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R$
Twierdzenie cosinusów: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
- Wyznaczanie boków i kątów trójkąta dowolnego
- Nawigacja i kartografia
- Geometria przestrzenna
Twierdzenie sinusów
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.
Twierdzenie cosinusów
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
Pole trójkąta
$P=\frac{1}{2}ab\sin C$.
Okrąg opisany i wpisany
Promienie wiążą się z bokami i polem trójkąta.
Kąty
Twierdzenia o kątach: przyległych, wierzchołkowych, wpisanych i środkowych.
Trójkąty
Twierdzenia sinusów i cosinusów, cechy przystawania i podobieństwa.
Pola
Wzory na pola i stosunek pól figur podobnych ($k^2$).
Okrąg
Styczna prostopadła do promienia; kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.
∑Wzory 1
Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.
Przykład: $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$: $c^2=25+64-40=49$, $c=7$.
🧩Quizy 3
✍Zadania dodatkowe 45
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
W trójkącie dwa boki mają długości $7$ i $8$, a kąt między nimi ma miarę $120^\circ$. Oblicz długość trzeciego boku.
W trójkącie bok $a=6$ leży naprzeciw kąta $\alpha=45^\circ$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Trójkąt ma boki długości $5$, $7$ i $8$. Oblicz miarę kąta leżącego naprzeciw boku długości $7$ oraz pole trójkąta.
W trójkącie $ABC$: $|BC|=10$, $|\angle BAC|=30^\circ$, $|\angle ABC|=45^\circ$. Oblicz długości boków $AC$ i $AB$.
W trójkącie równobocznym $ABC$ o boku $6$ punkt $D$ leży na boku $BC$ i $|BD|=2$. Oblicz $|AD|$ oraz $\sin\angle BAD$.
Równoległobok ma boki długości $5$ i $8$ oraz kąt ostry $60^\circ$. Oblicz długości jego przekątnych.
Pole trójkąta jest równe $12\sqrt3$, a dwa jego boki mają długości $6$ i $8$. Oblicz długość trzeciego boku. Rozważ wszystkie przypadki.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=8$, $|AC|=5$, $|\angle BAC|=60^\circ$. Oblicz długość dwusiecznej $AD$ kąta $BAC$.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=6$, $|AC|=4$, a środkowa $AM$ ma długość $\sqrt{19}$. Oblicz $|BC|$ i miarę kąta $BAC$.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=5$, $|BC|=8$, $|CA|=7$. Oblicz miarę kąta $ABC$, pole trójkąta, promienie okręgów opisanego i wpisanego oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$.
W trójkącie o bokach $a=3$, $b=4$ i kącie $\gamma=90^\circ$ bok $c$ jest równy
W trójkącie o bokach $a$, $b$ i kącie $\gamma$ zawartym między nimi długość trzeciego boku $c$ spełnia
W trójkącie $a=2$, $b=2$, $\gamma=60^\circ$ bok $c$ jest równy
W trójkącie kąt $\alpha=45^\circ$, a bok leżący naprzeciw niego ma długość $a=6\sqrt2$. Promień $R$ okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy
W trójkącie $a=5$, $b=12$, $\gamma=90^\circ$. Oblicz bok $c$.
Wykaż, że środkowa trójkąta dzieli go na dwa trójkąty o równych polach.
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość równą połowie przeciwprostokątnej.
Punkty $M$ i $N$ są środkami boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$. Wykaż, że $MN\parallel AB$ i $|MN|=\frac12|AB|$.
Wykaż, że w każdym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków.
W trapezie $ABCD$ ($AB\parallel CD$) dwusieczne kątów $DAB$ i $ADC$ przecinają się w punkcie $P$. Wykaż, że kąt $APD$ jest prosty.
Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta równobocznego o boku $a$. Wykaż, że suma odległości punktu $P$ od boków trójkąta jest równa wysokości tego trójkąta.
Dany jest prostokąt $ABCD$ i dowolny punkt $P$ płaszczyzny. Wykaż, że $|PA|^2+|PC|^2=|PB|^2+|PD|^2$.
Dwa okręgi przecinają się w punktach $A$ i $B$. Odcinki $AC$ i $AD$ są średnicami tych okręgów. Wykaż, że punkty $C$, $B$, $D$ leżą na jednej prostej.
Pole trójkąta $ABC$ jest równe $P$. Punkty $K$, $L$, $M$ leżą odpowiednio na bokach $AB$, $BC$, $CA$, przy czym $|AK|:|KB|=|BL|:|LC|=|CM|:|MA|=1:2$. Oblicz pole trójkąta $KLM$.
W trapezie $ABCD$ o podstawach $|AB|=a$ i $|CD|=b$ punkty $E$ i $F$ są środkami ramion $AD$ i $BC$. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\frac35$. Oblicz stosunek $a:b$.
Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $6$ i $8$. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy
Kąt w trójkącie równobocznym ma miarę
W trójkącie dwa kąty to $50^\circ$ i $60^\circ$. Trzeci kąt ma miarę
W trójkącie dwa kąty mają $40^\circ$ i $75^\circ$. Oblicz trzeci kąt.
Dla kąta $\gamma=90^\circ$ twierdzenie cosinusów przyjmuje postać
W trójkącie $a=3$, $b=4$, $\gamma=90^\circ$. Bok $c$ jest równy
W trójkącie $a=2$, $b=2$, $\gamma=60^\circ$. Bok $c$ jest równy
Twierdzenie cosinusów to
W trójkącie $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$. Oblicz $c^2$.
W trójkącie $a=1$, $b=1$, $\gamma=120^\circ$. Bok $c$ jest równy
W trójkącie $a=6$, $b=8$, $\gamma=90^\circ$. Bok $c$ jest równy
Gdy kąt $\gamma$ jest rozwarty, to $c^2$ jest
W trójkącie $a=7$, $b=5$, $c=8$. Wartość $\cos\gamma$ (kąt naprzeciw $c$) jest równa
W trójkącie $a=3$, $b=5$, $\gamma=120^\circ$. Oblicz długość boku $c$.
Dla $\gamma=90^\circ$ twierdzenie cosinusów daje
W trójkącie $a=9$, $b=12$, $\gamma=90^\circ$. Bok $c$ jest równy
W trójkącie $a=4$, $b=3$, $\gamma=60^\circ$. Wartość $c^2$ jest równa
W trójkącie $a=2$, $b=3$, $\gamma=60^\circ$. Wartość $c^2$ jest równa
W trójkącie $a=5$, $b=12$, $\gamma=90^\circ$. Oblicz długość boku $c$.