Wielokąty foremne

Wierzchołki dziesięciokąta foremnego dzielą okrąg opisany na \(10\) równych łuków. Każdy z nich odpowiada kątowi środkowemu o mierze:

\(\frac{360^\circ}{10}=36^\circ\)

Kąt wpisany \(AGD\) jest oparty na łuku \(AD\) niezawierającym punktu \(G\). Łuk ten składa się z trzech łuków: \(AB\), \(BC\), \(CD\), więc odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę:

\(3\cdot 36^\circ=108^\circ\)

Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

\(|\angle AGD|=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ\)

Odpowiedź: C.

Podstawą jest sześciokąt foremny o boku \(6\), a wysokość graniastosłupa również wynosi \(6\).

Pole podstawy. Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku \(6\):

\(P_p=6\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot 9\sqrt{3}=54\sqrt{3}\)

Pole powierzchni bocznej. Obwód podstawy razy wysokość:

\(P_b=(6\cdot 6)\cdot 6=36\cdot 6=216\)

Pole całkowite:

\(P_c=2P_p+P_b=2\cdot 54\sqrt{3}+216=216+108\sqrt{3}\)

Odpowiedź: D.

Krok 1. Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego.

Suma miar kątów wewnętrznych \(n\)-kąta wynosi \((n-2)\cdot 180^\circ\), więc jeden kąt ma miarę:

\(\alpha_n=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\)

Analogicznie dla \((n+2)\)-kąta:

\(\alpha_{n+2}=180^\circ-\frac{360^\circ}{n+2}\)

Krok 2. Równanie.

\(\alpha_{n+2}-\alpha_n=2^\circ\)

\(\left(180^\circ-\frac{360^\circ}{n+2}\right)-\left(180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\right)=2^\circ\)

\(\frac{360}{n}-\frac{360}{n+2}=2\)

\(\frac{360(n+2)-360n}{n(n+2)}=2\)

\(\frac{720}{n(n+2)}=2\)

\(n(n+2)=360\)

Krok 3. Rozwiązanie równania.

\(n^2+2n-360=0\)

\(\Delta=4+1440=1444\), \(\;\sqrt{\Delta}=38\)

\(n=\frac{-2+38}{2}=18\) (rozwiązanie \(n=-20\) odrzucamy)

Sprawdzenie: \(\alpha_{18}=160^\circ\), \(\;\alpha_{20}=162^\circ\), różnica \(2^\circ\) ✓

Odpowiedź: \(n=18\)