Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Wielomian stopnia $n$: $W(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$, gdzie $a_n\ne0$. Liczbę $a_n$ nazywamy współczynnikiem wiodącym, a $a_0$ — wyrazem wolnym.
$$W(x)=(x-a)Q(x)+W(a)$$
Reszta z dzielenia przez dwumian $(x-a)$ równa się wartości wielomianu w punkcie $a$. Stąd kluczowy wniosek:
$$(x-a)\mid W(x) \iff W(a)=0$$
Uwaga na znak: dla dzielnika $(x+2)$ podstawiamy $a=-2$.
Jeśli współczynniki są całkowite, każdy pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ (ułamek nieskracalny) spełnia: $p$ dzieli wyraz wolny, $q$ dzieli współczynnik wiodący. Gdy $a_n=1$, pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą wyraz wolny.
Metody: wyłączanie przed nawias, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, dzielenie przez znaleziony dwumian (schemat Hornera).
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
Rozkładamy na czynniki, zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy krzywą od prawej góry (gdy współczynnik wiodący jest dodatni). Przy pierwiastku o krotności nieparzystej krzywa przechodzi przez oś, przy parzystej — odbija się.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wskazuje tylko kandydatów — każdego trzeba sprawdzić podstawieniem. Nie gwarantuje też, że pierwiastki wymierne w ogóle istnieją (wielomian $x^3-2$ nie ma żadnego).
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ jest równa $W(a)$:
$$R=W(a)$$
Pozwala policzyć resztę bez wykonywania dzielenia — wystarczy podstawić jedną liczbę.
$$W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)$$
Liczba $a$ jest pierwiastkiem dokładnie wtedy, gdy $(x-a)$ jest czynnikiem wielomianu. To most między pierwiastkami a rozkładem na czynniki.
Pierwiastek $a=3$ odpowiada czynnikowi $(x-3)$, a dzielnik $(x+2)$ oznacza $a=-2$. Łatwo pomylić znak.
$$\deg(\text{iloraz})=\deg(\text{dzielna})-\deg(\text{dzielnik})$$
Reszta ma stopień mniejszy od dzielnika. Przy dzieleniu przez dwumian reszta jest więc stałą.
Uzupełniamy brakujące potęgi zerami, dzielimy najwyższe wyrazy, odejmujemy i powtarzamy. Przykład: $(x^3-1):(x-1)=x^2+x+1$.
Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego. To zawęża listę kandydatów do sprawdzenia.
Dwa wielomiany są równe, gdy mają identyczne współczynniki przy tych samych potęgach. Stąd metoda współczynników nieoznaczonych.
Przy dzieleniu pisemnym nie gub brakujących potęg. Sprawdzaj znak przy przechodzeniu od pierwiastka do czynnika.
Reszta z dzielenia przez dwumian $x-a$ to wartość wielomianu w punkcie $a$.
Przykład: Reszta z dzielenia $x^3+2x-1$ przez $x-1$ to $W(1)=2$.
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian dzieli się przez $(x-a)$.
Przykład: $W(x)=x^3-8$, $W(2)=0$, więc $W(x)=(x-2)(x^2+2x+4)$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W(x)=x^3-2x^2+3x-5$ przez dwumian $x-2$.
Wyznacz $m$, dla którego liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3+mx^2-4x+4$.
Rozwiąż nierówność $x^3-3x^2-4x+12\ge0$.
Rozwiąż równanie $2x^3-3x^2-3x+2=0$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x+1}{x-2}\ge2$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x^2-1}{x+3}\le x-1$.
Wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ jest podzielny przez dwumiany $x-1$ oraz $x+2$. Wyznacz $a$ i $b$ oraz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $x-1$ jest równa $3$, a przez $x+2$ jest równa $-3$. Wyznacz resztę z dzielenia $W(x)$ przez $(x-1)(x+2)$.
Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których wielomian $W(x)=x^3-3x+m$ ma pierwiastek podwójny.
Rozwiąż nierówność $x^4-5x^2+4\lt 0$.
Dodaj wielomiany $W(x)=2x^2+3x-1$ i $P(x)=x^2-5x+4$.
Oblicz $W(2)$ dla wielomianu $W(x)=x^3-2x^2+x-3$.
Liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$, gdy:
Sprawdź, czy liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3-2x^2-x+2$.
Rozwiąż równanie $x^3-9x=0$.
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x-3)$ jest równa:
Oblicz resztę z dzielenia $W(x)=x^3+2x^2-5$ przez $(x-1)$.
Wielomian $W(x)=x^3+ax-6$ ma pierwiastek $x=2$. Wyznacz współczynnik $a$.
Jaki jest stopień wielomianu $W(x)=3x^4-2x^2+x-7$?
Dodaj wielomiany: $(x^2+3x-1)+(2x^2-x+4)$.
Wykonaj mnożenie: $(x-2)(x^2+3x-1)$.
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ jest równa:
Oblicz resztę z dzielenia $W(x)=x^3+2x-3$ przez $(x+1)$.
Sprawdź, czy liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3-3x+2$.
Rozłóż na czynniki wielomian $W(x)=x^3-6x^2+11x-6$, wiedząc, że jednym z pierwiastków jest $x=1$.
Rozłóż na czynniki: $x^3-1$.
Rozłóż na czynniki: $x^4-16$.
Rozwiąż równanie $x^3-4x=0$.
Wyznacz wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu $W(x)=2x^3-3x^2-3x+2$.
Wielomian stopnia $3$ ma co najwyżej ile pierwiastków rzeczywistych?
Dla jakiej wartości parametru $m$ wielomian $W(x)=x^3+mx^2-4$ jest podzielny przez $(x-2)$?
Rozwiąż nierówność $(x-1)(x+2)(x-4)>0$.
Rozwiąż nierówność $(x-3)(x+1)^2\le 0$.
Współczynnik wiodący wielomianu $W(x)=-5x^3+2x^2-x+8$ wynosi:
Wielomiany $W(x)=ax^2+bx+3$ oraz $P(x)=2x^2-5x+c$ są równe. Wyznacz $a$, $b$, $c$.
Rozłóż na czynniki metodą grupowania: $x^3+2x^2-3x-6$.
Wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ ma pierwiastki $1$ i $2$. Wyznacz $a$ i $b$ oraz trzeci pierwiastek.
Wykaż, że wielomian $W(x)=x^4+x^2+1$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Wynikiem dzielenia wielomianu \(5x^3-7x^2-4x-4\) przez dwumian \(x-2\) jest trójmian kwadratowy postaci \(ax^2+bx+c\).
Podaj kolejno wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).
Wyznacz wartości \(a\) i \(b\) współczynników wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+1\) wiedząc, że \(W(2)=7\) oraz że reszta z dzielenia \(W(x)\) przez \((x-3)\) jest równa 10.
Przy dzieleniu wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \((x-1)\) otrzymujemy iloraz \(Q(x)=8x^2+4x-14\) oraz resztę \(R(x)=-5\). Oblicz pierwiastki wielomianu \(W(x)\).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.