Rozkład wielomianu na czynniki

Krok 1. Wyznaczenie $m$ z twierdzenia o reszcie. Reszta z dzielenia przez $x+2$ jest równa $W(-2)$:

$$W(-2)=4\cdot(-8)-6\cdot 4-(5m+1)\cdot(-2)-2m.$$

$$W(-2)=-32-24+10m+2-2m=-54+8m.$$

Z warunku $W(-2)=-30$ otrzymujemy:

$$-54+8m=-30\ \Longrightarrow\ 8m=24\ \Longrightarrow\ m=3.$$

Krok 2. Postać wielomianu. Podstawiamy $m=3$, czyli $5m+1=16$ oraz $2m=6$:

$$W(x)=4x^3-6x^2-16x-6.$$

Krok 3. Rozkład na czynniki. Dzielimy obie strony nierówności przez $2$:

$$2x^3-3x^2-8x-3\ge 0.$$

Sprawdzamy $x=-1$: $\;-2-3+8-3=0$, więc $(x+1)$ jest dzielnikiem. Po podzieleniu:

$$2x^3-3x^2-8x-3=(x+1)\left(2x^2-5x-3\right)=(x+1)(2x+1)(x-3).$$

Zatem $W(x)=2(x+1)(2x+1)(x-3)$, a pierwiastki to

$$x_1=-1,\qquad x_2=-\frac{1}{2},\qquad x_3=3.$$

Krok 4. Analiza znaku. Współczynnik przy $x^3$ jest dodatni, więc dla argumentów większych od największego pierwiastka wielomian jest dodatni, a znak zmienia się przy każdym pierwiastku jednokrotnym. Idąc od prawej: $+$ na $(3,+\infty)$, $-$ na $\left(-\frac12,3\right)$, $+$ na $\left(-1,-\frac12\right)$, $-$ na $(-\infty,-1)$.

Kontrola: $W(-2)=2\cdot(-1)\cdot(-3)\cdot(-5)=-30$ — zgadza się z treścią zadania.

Krok 5. Odczytanie rozwiązania. Nierówność jest nieostra, więc pierwiastki należą do zbioru rozwiązań:

$$x\in\left\langle-1,\ -\frac{1}{2}\right\rangle\cup\left\langle 3,\ +\infty\right).$$

Odpowiedź: $m=3$, $\;x\in\left\langle-1,-\frac{1}{2}\right\rangle\cup\left\langle3,+\infty\right)$

Krok 1. Grupowanie i wzór na sumę sinusów. Łączymy skrajne składniki:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2}=2\sin 2x\cos(-x)=2\sin 2x\cos x.$$

Równanie przyjmuje postać

$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0.$$

Krok 2. Wyłączenie wspólnego czynnika.

$$\sin 2x\left(2\cos x+1\right)=0.$$

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników.

Krok 3. Pierwszy czynnik. $\sin 2x=0$ oznacza $2x=k\pi$, czyli $x=\frac{k\pi}{2}$. Dla $x\in\langle0,\pi\rangle$ mamy $2x\in\langle0,2\pi\rangle$, więc

$$x=0,\qquad x=\frac{\pi}{2},\qquad x=\pi.$$

Krok 4. Drugi czynnik.

$$2\cos x+1=0\ \Longrightarrow\ \cos x=-\frac12.$$

W przedziale $\langle0,\pi\rangle$ jedynym takim argumentem jest $x=\frac{2\pi}{3}$.

Odpowiedź: $x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{2\pi}{3},\ \pi\right\}$

Stosujemy uzupełnienie do kwadratu, dodając i odejmując $18x^{2}$:

$$x^{4}+81=x^{4}+18x^{2}+81-18x^{2}=\left(x^{2}+9\right)^{2}-18x^{2}.$$

Zauważmy, że $18x^{2}=\left(3\sqrt{2}\,x\right)^{2}$, więc możemy użyć wzoru na różnicę kwadratów:

$$x^{4}+81=\left(x^{2}+9\right)^{2}-\left(3\sqrt{2}\,x\right)^{2}=\left(x^{2}+9-3\sqrt{2}\,x\right)\left(x^{2}+9+3\sqrt{2}\,x\right).$$

Zatem $W(x)$ jest podzielny przez $x^{2}-3\sqrt{2}\,x+9$.

Dlaczego nie pozostałe: $W(3)=81+81=162\neq0$, więc $x-3$ odpada; $x^{2}+9$ nie jest dzielnikiem, bo $\left(x^{2}+9\right)^{2}-18x^{2}$ nie dzieli się przez $x^{2}+9$; wariant D ma wyraz wolny $-9$, a w rozkładzie występuje $+9$.

Odpowiedź: C

Krok 1. Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę.

$$a^{2}+2a-4b^{2}-4b=0.$$

Krok 2. Grupowanie. Łączymy wyrazy kwadratowe i liniowe:

$$\left(a^{2}-4b^{2}\right)+\left(2a-4b\right)=0.$$

Pierwszy nawias rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów, z drugiego wyłączamy $2$:

$$(a-2b)(a+2b)+2(a-2b)=0.$$

Krok 3. Wyłączenie wspólnego czynnika.

$$(a-2b)\left(a+2b+2\right)=0.$$

Krok 4. Analiza czynników. Z założenia $a>0$ oraz $b>0$, więc

$$a+2b+2>2>0,$$

czyli drugi czynnik nigdy nie jest zerem. Iloczyn może być równy zero tylko wtedy, gdy

$$a-2b=0\ \Longrightarrow\ a=2b. \qquad\blacksquare$$

Krok 1. Warunek podzielności przez $(x-2)$. Z twierdzenia o reszcie $W(2)=0$:

$$2\cdot8+\left(m^{3}+2\right)\cdot4-22-2(2m+1)=0,$$

$$16+4m^{3}+8-22-4m-2=0\ \Longrightarrow\ 4m^{3}-4m=0.$$

$$4m\left(m^{2}-1\right)=0\ \Longrightarrow\ m\in\{-1,\ 0,\ 1\}.$$

Krok 2. Warunek reszty przy dzieleniu przez $(x+1)$. $W(-1)=6$:

$$-2+\left(m^{3}+2\right)+11-2(2m+1)=6,$$

$$m^{3}-4m+9=6\ \Longrightarrow\ m^{3}-4m+3=0.$$

Krok 3. Wspólne rozwiązanie. Sprawdzamy kandydatów z Kroku 1:

dla $m=-1$: $-1+4+3=6\neq0$;   dla $m=0$: $3\neq0$;   dla $m=1$: $1-4+3=0$ ✓

$$m=1.$$

Krok 4. Postać wielomianu. Podstawiamy $m=1$:

$$W(x)=2x^{3}+3x^{2}-11x-6.$$

Krok 5. Rozkład na czynniki. Wiemy, że $(x-2)$ jest dzielnikiem. Po podzieleniu:

$$W(x)=(x-2)\left(2x^{2}+7x+3\right)=(x-2)(2x+1)(x+3).$$

Miejsca zerowe: $x=-3$, $x=-\frac12$, $x=2$.

Krok 6. Analiza znaku. Współczynnik wiodący jest dodatni, więc idąc od prawej znaki to $+,\,-,\,+,\,-$. Wielomian jest niedodatni na

$$x\in(-\infty,\ -3]\cup\left[-\frac12,\ 2\right].$$

Kontrola: $W(-1)=-2+3+11-6=6>0$ — zgadza się z resztą podaną w treści, a punkt $x=-1$ leży w przedziale, gdzie wielomian jest dodatni ✓

Odpowiedź: $m=1$, $\;x\in(-\infty,-3]\cup\left[-\frac12,2\right]$

Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych: jeżeli nieskracalny ułamek \(\frac{p}{q}\) jest pierwiastkiem wielomianu, to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a \(q\) — dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

Tutaj wyraz wolny to \(120\), a współczynnik wiodący to \(15\).

Sprawdzamy mianowniki (muszą dzielić \(15\)):

\(\frac{7}{6}\) — \(6\nmid 15\), odrzucamy,

\(\frac{8}{7}\) — \(7\nmid 15\), odrzucamy,

\(\frac{6}{5}\) — \(5\mid 15\) ✓, licznik \(6\mid 120\) ✓,

\(\frac{9}{5}\) — \(5\mid 15\) ✓, ale licznik \(9\nmid 120\), odrzucamy.

Pozostaje jedyny kandydat \(\frac{6}{5}\), a z treści zadania wiemy, że jeden pierwiastek wymierny w tym zbiorze istnieje.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Rozkład na czynniki.

$$k^{3}m-km^{3}=km\left(k^{2}-m^{2}\right)=km(k-m)(k+m).$$

Ponieważ $6=2\cdot3$, a liczby $2$ i $3$ są względnie pierwsze, wystarczy pokazać, że iloczyn dzieli się osobno przez $2$ i przez $3$.

Krok 2. Podzielność przez 2. Rozważmy dwa przypadki:

• jeśli co najmniej jedna z liczb $k$, $m$ jest parzysta, to iloczyn $km$ jest parzysty;

• jeśli obie są nieparzyste, to ich różnica $k-m$ jest parzysta.

W obu przypadkach iloczyn $km(k-m)(k+m)$ zawiera czynnik parzysty, więc dzieli się przez $2$.

Krok 3. Podzielność przez 3. Rozważmy reszty z dzielenia przez $3$:

• jeśli $k$ lub $m$ dzieli się przez $3$, to $km$ dzieli się przez $3$;

• jeśli $k$ i $m$ dają tę samą niezerową resztę, to $3\mid k-m$;

• jeśli dają różne niezerowe reszty, czyli $1$ i $2$, to ich suma daje resztę $1+2=3$, więc $3\mid k+m$.

W każdym przypadku iloczyn zawiera czynnik podzielny przez $3$.

Krok 4. Wniosek. Iloczyn $km(k-m)(k+m)$ dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $3$, a te liczby są względnie pierwsze, więc dzieli się przez $6$. $\blacksquare$

Krótsze uzasadnienie: dla każdej liczby całkowitej zachodzi $k^{3}\equiv k\pmod 6$, więc $k^{3}m-km^{3}\equiv km-km=0\pmod 6$.

Krok 1. Sprowadzenie do jednego argumentu. Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta, traktując $6x$ jako podwojone $3x$:

$$\sin 6x=2\sin 3x\cos 3x.$$

Równanie przyjmuje postać

$$2\sin 3x\cos 3x+\cos 3x=2\sin 3x+1.$$

Krok 2. Grupowanie. Po lewej stronie wyłączamy $\cos 3x$:

$$\cos 3x\left(2\sin 3x+1\right)=2\sin 3x+1.$$

$$\cos 3x\left(2\sin 3x+1\right)-\left(2\sin 3x+1\right)=0,$$

$$\left(2\sin 3x+1\right)\left(\cos 3x-1\right)=0.$$

Krok 3. Pierwszy czynnik: $\cos 3x=1$.

$$3x=2k\pi\ \Longrightarrow\ x=\frac{2k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

W przedziale $\langle0,\pi\rangle$ otrzymujemy $x=0$ oraz $x=\frac{2\pi}{3}$ (kolejna wartość $\frac{4\pi}{3}$ jest już poza przedziałem).

Krok 4. Drugi czynnik: $\sin 3x=-\frac12$. Dla $x\in\langle0,\pi\rangle$ mamy $3x\in\langle0,3\pi\rangle$. W tym przedziale sinus jest ujemny tylko na $(\pi,2\pi)$, a $\sin\theta=-\frac12$ zachodzi dla

$$3x=\frac{7\pi}{6}\qquad\text{lub}\qquad 3x=\frac{11\pi}{6}.$$

$$x=\frac{7\pi}{18}\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{11\pi}{18}.$$

Sprawdzenie dla $x=\frac{7\pi}{18}$: $\sin\frac{7\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$, więc lewa strona $=0$; prawa $=2\cdot\left(-\frac12\right)+1=0$ ✓

Odpowiedź: $x\in\left\{0,\ \frac{7\pi}{18},\ \frac{11\pi}{18},\ \frac{2\pi}{3}\right\}$

Krok 1. Pomysł na grupowanie. Rozbijamy wyraz $-8xy$ na dwie części po $-4xy$, tak aby powstały dwa pełne kwadraty:

$$x^{2}y^{2}+2x^{2}+2y^{2}-8xy+4=\left(x^{2}y^{2}-4xy+4\right)+\left(2x^{2}-4xy+2y^{2}\right).$$

Krok 2. Zwinięcie pierwszej grupy. To kwadrat różnicy dla $xy$ oraz $2$:

$$x^{2}y^{2}-4xy+4=(xy-2)^{2}.$$

Krok 3. Zwinięcie drugiej grupy. Wyłączamy $2$ przed nawias:

$$2x^{2}-4xy+2y^{2}=2\left(x^{2}-2xy+y^{2}\right)=2(x-y)^{2}.$$

Krok 4. Postać końcowa.

$$x^{2}y^{2}+2x^{2}+2y^{2}-8xy+4=(xy-2)^{2}+2(x-y)^{2}.$$

Krok 5. Uzasadnienie dodatniości. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc

$$(xy-2)^{2}\ge 0.$$

Z założenia liczby $x$ i $y$ są różne, czyli $x-y\neq0$, a zatem

$$2(x-y)^{2}>0.$$

Suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodatnia, więc

$$(xy-2)^{2}+2(x-y)^{2}>0,$$

co kończy dowód. $\blacksquare$

Uwaga: założenie $x\neq y$ jest istotne — dla $x=y=\sqrt2$ obie grupy zerują się i nierówność przechodzi w równość.

Krok 1. Rozwinięcie lewej strony.

$$(x+1)\frac{x}{y}+(y+1)\frac{y}{x}=\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y^{2}}{x}+\frac{y}{x}.$$

Krok 2. Grupowanie. Rozdzielamy na dwie części:

$$L=\underbrace{\left(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\right)}_{S_1}+\underbrace{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)}_{S_2}.$$

Krok 3. Oszacowanie $S_2$. Dla dodatnich $x$, $y$:

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^{2}+y^{2}-2xy}{xy}=\frac{(x-y)^{2}}{xy}\ge 0,$$

ponieważ licznik jest kwadratem, a mianownik dodatni. Zatem

$$S_2\ge 2.$$

Krok 4. Oszacowanie $S_1$. Oba składniki są ilorazami liczb dodatnich, więc

$$S_1=\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}>0.$$

Krok 5. Złożenie.

$$L=S_1+S_2>0+2=2,$$

co kończy dowód. $\blacksquare$

Uwaga: nierówność jest ostra dla wszystkich dodatnich $x,y$ — nawet gdy $x=y$ (wtedy $S_2=2$, ale $S_1=2x>0$).

Krok 1. Przestrzeń zdarzeń.

$$|\Omega|=6^{4}=1296.$$

Krok 2. Rozkład liczby 60 na czynniki.

$$60=2^{2}\cdot3\cdot5.$$

Spośród ścianek kostki tylko „$5$" wnosi czynnik $5$. Ponieważ $25\nmid 60$, piątka musi wypaść dokładnie raz.

Krok 3. Pozostałe trzy rzuty. Ich iloczyn wynosi $\frac{60}{5}=12$. Szukamy trójek liczb ze zbioru $\{1,\ldots,6\}$ o iloczynie $12$. Wypisując je w kolejności niemalejącej:

$$\{1,2,6\},\qquad \{1,3,4\},\qquad \{2,2,3\}.$$

Innych nie ma — dla najmniejszego elementu $\ge3$ pozostały iloczyn $\le\frac{12}{3}=4$ nie da się rozbić na dwa czynniki $\ge3$.

Krok 4. Zliczanie kolejności. Rzuty są rozróżnialne, więc liczymy permutacje:

$$\{1,2,6\}:\ 3!=6,\qquad \{1,3,4\}:\ 3!=6,\qquad \{2,2,3\}:\ \frac{3!}{2!}=3.$$

$$6+6+3=15\ \text{uporządkowanych trójek}.$$

Krok 5. Umieszczenie piątki. Piątka może wypaść w dowolnym z czterech rzutów:

$$|A|=4\cdot15=60.$$

Krok 6. Prawdopodobieństwo.

$$P(A)=\frac{60}{1296}=\frac{5}{108}.$$

Odpowiedź: $P=\frac{5}{108}$

Krok 1. Przeniesienie na jedną stronę.

$$a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}\ge0.$$

Krok 2. Grupowanie. Łączymy wyrazy z $a^{2}$ oraz z $b^{2}$:

$$\left(a^{3}-a^{2}b\right)+\left(b^{3}-ab^{2}\right)=a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b).$$

$$=(a-b)\left(a^{2}-b^{2}\right).$$

Krok 3. Dalszy rozkład. Drugi nawias to różnica kwadratów:

$$(a-b)(a-b)(a+b)=(a-b)^{2}(a+b).$$

Krok 4. Uzasadnienie znaku. Czynnik $(a-b)^{2}$ jest nieujemny jako kwadrat liczby rzeczywistej, a $a+b\ge0$ z założenia. Iloczyn dwóch liczb nieujemnych jest nieujemny, więc

$$(a-b)^{2}(a+b)\ge0,$$

co jest równoważne tezie. $\blacksquare$

Kiedy zachodzi równość: gdy $a=b$ albo gdy $a+b=0$ (czyli $b=-a$).

Przekształcamy wyrażenie, wyłączając \(k^2\) przed nawias:

\(k^6-2k^4+k^2=k^2(k^4-2k^2+1)=k^2(k^2-1)^2=\bigl[k(k-1)(k+1)\bigr]^2\).

Liczby \(k-1,\ k,\ k+1\) są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi, zatem:

• co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 2,

• dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 3.

Ponieważ \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, iloczyn \(k(k-1)(k+1)\) jest podzielny przez \(6\), czyli \(k(k-1)(k+1)=6t\) dla pewnej liczby całkowitej \(t\).

Stąd

\(k^6-2k^4+k^2=(6t)^2=36t^2\),

a więc badana liczba jest podzielna przez 36 dla każdej liczby całkowitej \(k\). \(\blacksquare\)

Z twierdzenia o dzieleniu z resztą:

\(W(x)=(x-1)Q(x)+R(x)=(x-1)(8x^2+4x-14)-5\).

Wymnażamy:

\(W(x)=8x^3+4x^2-14x-8x^2-4x+14-5=8x^3-4x^2-18x+9\).

Rozkładamy na czynniki metodą grupowania:

\(W(x)=4x^2(2x-1)-9(2x-1)=(2x-1)(4x^2-9)=(2x-1)(2x-3)(2x+3)\).

Stąd pierwiastki: \(x=\dfrac12\), \(x=\dfrac32\), \(x=-\dfrac32\).

1) Liczba logarytmowana dodatnia. Rozkładamy wielomian na czynniki:

\(x^3+4x^2-x-4=x^2(x+4)-(x+4)=(x+4)(x^2-1)=(x+4)(x-1)(x+1)\).

Miejsca zerowe: \(-4,-1,1\). Współczynnik przy \(x^3\) jest dodatni, więc

\((x+4)(x+1)(x-1)>0\ \Longleftrightarrow\ x\in(-4,-1)\cup(1,+\infty)\).

2) Podstawa dodatnia i różna od 1.

\(x^2-3>0\ \Longleftrightarrow\ x\lt -\sqrt3\) lub \(x>\sqrt3\),

\(x^2-3\neq1\ \Longleftrightarrow\ x\neq-2\) i \(x\neq2\).

3) Część wspólna. Ponieważ \(\sqrt3\approx1{,}73\):

\((-4,-1)\cap\left(x\lt -\sqrt3\right)=(-4,-\sqrt3)\), a po usunięciu \(x=-2\): \((-4,-2)\cup(-2,-\sqrt3)\),

\((1,+\infty)\cap\left(x>\sqrt3\right)=(\sqrt3,+\infty)\), a po usunięciu \(x=2\): \((\sqrt3,2)\cup(2,+\infty)\).

Odpowiedź: \(D_f=(-4,-2)\cup(-2,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,2)\cup(2,+\infty)\).