Równanie okręgu

Krok 1. Pozostałe wierzchołki równoległoboku.

Punkt \(M\) jest środkiem obu przekątnych, więc:

\(B=2M-D=(-9+13,\;2-9)=(4,-7)\)

\(C=2M-A=(-9+8,\;2+1)=(-1,3)\)

Krok 2. Równania prostych \(AB\) i \(BC\).

Prosta \(AB\) przez \(A=(-8,-1)\) i \(B=(4,-7)\):

\(a=\frac{-7+1}{4+8}=-\frac{1}{2}\), \(\;y=-\frac{1}{2}x-5\), czyli \(x+2y+10=0\)

Prosta \(BC\) przez \(B=(4,-7)\) i \(C=(-1,3)\):

\(a=\frac{3+7}{-1-4}=-2\), \(\;y=-2x+1\), czyli \(2x+y-1=0\)

Krok 3. Środek okręgu leży na dwusiecznej kąta.

Środek \(S=(p,q)\) jest równo oddalony od obu prostych:

\(\frac{|p+2q+10|}{\sqrt{5}}=\frac{|2p+q-1|}{\sqrt{5}}\)

Rozpatrujemy dwusieczną \(p+2q+10=-(2p+q-1)\):

\(3p+3q+9=0\), czyli \(q=-p-3\) (prosta \(y=-x-3\))

Krok 4. Warunek przechodzenia przez początek układu.

Promień jest równy odległości środka od prostej \(AB\) oraz od punktu \((0,0)\):

\(r=\frac{|p+2(-p-3)+10|}{\sqrt{5}}=\frac{|4-p|}{\sqrt{5}}\)

\(r^2=p^2+(p+3)^2\)

Stąd:

\(5\left[p^2+(p+3)^2\right]=(p-4)^2\)

\(5\left(2p^2+6p+9\right)=p^2-8p+16\)

\(10p^2+30p+45=p^2-8p+16\)

\(9p^2+38p+29=0\)

\(\Delta=1444-1044=400\), \(\;\sqrt{\Delta}=20\)

\(p_1=\frac{-38-20}{18}=-\frac{29}{9}\), \(\;p_2=\frac{-38+20}{18}=-1\)

Krok 5. Wybór rozwiązania.

Dla \(p=-\frac{29}{9}\) mamy \(q=\frac{29}{9}-3=\frac{2}{9}\gt 0\) — odrzucamy (druga współrzędna ma być ujemna).

Dla \(p=-1\) mamy \(q=-2\lt 0\) ✓, więc \(S=(-1,-2)\) oraz:

\(r^2=(-1)^2+(-2)^2=5\)

Sprawdzenie: odległość \(S\) od prostej \(x+2y+10=0\) wynosi \(\frac{|-1-4+10|}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) ✓

Odpowiedź: \(\mathcal{O}:\;(x+1)^2+(y+2)^2=5\)

Krok 1. Położenie prostej \(AB\) względem okręgu.

Z równania okręgu: środek \(S=(1,2)\), promień \(r=5\).

Odległość środka od prostej \(4x-3y+2=0\):

\(d=\frac{|4\cdot 1-3\cdot 2+2|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{|4-6+2|}{5}=0\)

Prosta przechodzi przez środek okręgu, więc cięciwa \(AB\) jest średnicą:

\(|AB|=2r=10\)

Krok 2. Podział boku \(AB\).

Z warunku \(|AD|=4|DB|\) oraz \(|AD|+|DB|=10\):

\(4|DB|+|DB|=10\Rightarrow|DB|=2\), \(\;|AD|=8\)

Krok 3. Wysokość \(CD\).

Kąt \(ACB\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc jest prosty. W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona na przeciwprostokątną spełnia zależność:

\(|CD|^2=|AD|\cdot|DB|=8\cdot 2=16\)

\(|CD|=4\)

Krok 4. Pole trójkąta.

\(P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|CD|=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4=20\)

Odpowiedź: \(P=20\)

Krok 1. Dane okręgu \(o_1\) i prosta \(k\).

\(S_1=(6,4)\), \(\;r_1=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\)

Prostą \(k\) zapisujemy w postaci ogólnej: \(3x+y+6=0\).

Krok 2. Odległość \(S_1\) od prostej \(k\) i połowa wspólnej cięciwy.

\(d_1=\frac{|3\cdot 6+4+6|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{28}{\sqrt{10}}\)

Wspólne punkty obu okręgów leżą na \(k\), więc odcinek łączący te punkty jest wspólną cięciwą. Jej połowa \(t\) spełnia:

\(t^2=r_1^2-d_1^2=98-\frac{784}{10}=98-78{,}4=19{,}6\)

Krok 3. Odległość środka \(o_2\) od prostej \(k\).

Dla okręgu \(o_2\) o promieniu \(r_2=2\sqrt{5}\) (czyli \(r_2^2=20\)) ta sama cięciwa daje:

\(d_2^2=r_2^2-t^2=20-19{,}6=0{,}4\)

\(d_2=\sqrt{0{,}4}=\frac{2}{\sqrt{10}}\)

Krok 4. Położenie środka \(o_2\).

Środek \(o_2\) leży na prostej przechodzącej przez \(S_1\) prostopadle do \(k\) (bo prosta łącząca środki jest prostopadła do wspólnej cięciwy). Wektor normalny prostej \(k\) to \([3,1]\), więc:

\(S_2=(6-3t,\;4-t)\) dla pewnego \(t\in\mathbb{R}\)

Ponieważ dla \(S_1\) mamy \(3\cdot 6+4+6=28\gt 0\), a środki leżą po różnych stronach prostej \(k\), dla \(S_2\) wyrażenie \(3x+y+6\) musi być ujemne:

\(3(6-3t)+(4-t)+6=28-10t=-2\)

(bo \(|3x+y+6|=d_2\cdot\sqrt{10}=2\))

\(t=3\)

\(S_2=(6-9,\;4-3)=(-3,1)\)

Sprawdzenie: \(\frac{|{-9}+1+6|}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=d_2\) ✓, a \(3\cdot(-3)+1+6=-2\lt 0\) — środki leżą po różnych stronach \(k\) ✓

Odpowiedź: \(o_2:\;(x+3)^2+(y-1)^2=20\)

Krok 1. Dane pierwszego okręgu.

Środek \(S_1=(3,-7)\), promień \(R=\sqrt{625}=25\).

Krok 2. Odległość środków.

\(|S_1S|=\sqrt{(12-3)^2+(5+7)^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\)

Krok 3. Warunki styczności.

Styczność zewnętrzna: \(R+r=15\Rightarrow r=-10\) — niemożliwe.

Styczność wewnętrzna: \(|R-r|=15\Rightarrow r=10\) lub \(r=40\).

Wśród podanych odpowiedzi występuje tylko \(r=10\).

Odpowiedź: C.

Krok 1. Promienie okręgów.

Z równania \(x^2+y^2=2^{11-n}\) odczytujemy \(r_n^2=2^{11-n}\).

Krok 2. Pole \(k\)-tego pierścienia.

\(P_k=\pi\left(r_{2k-1}^2-r_{2k}^2\right)=\pi\left(2^{11-(2k-1)}-2^{11-2k}\right)\)

\(=\pi\left(2^{12-2k}-2^{11-2k}\right)=\pi\cdot 2^{11-2k}(2-1)=\pi\cdot 2^{11-2k}\)

Dla \(k=1\): \(P_1=2^9\pi=512\pi\).

Krok 3. Ciąg pól.

Pola pierścieni tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(512\pi\) i ilorazie:

\(q=\frac{\pi\cdot 2^{11-2(k+1)}}{\pi\cdot 2^{11-2k}}=2^{-2}=\frac{1}{4}\)

Krok 4. Suma szeregu.

Ponieważ \(|q|=\frac{1}{4}\lt 1\), szereg jest zbieżny:

\(S=\frac{512\pi}{1-\frac{1}{4}}=\frac{512\pi}{\frac{3}{4}}=\frac{2048\pi}{3}\)

Odpowiedź: \(S=\frac{2048\pi}{3}\)

Krok 1. Środek i promień okręgu wpisanego.

Bok \(AB\) leży na osi \(Oy\), a punkt styczności \(P=(0,10)\) jest rzutem środka \(I\) na tę oś. Promień \(IP\) jest prostopadły do \(Oy\), więc:

\(I=(r,10)\), gdzie \(r\) jest promieniem okręgu.

Z warunku \(|IQ|=r\):

\((r-8)^2+(10-6)^2=r^2\)

\(r^2-16r+64+16=r^2\)

\(16r=80\Rightarrow r=5\), czyli \(I=(5,10)\)

Sprawdzenie: \(|IR|=\sqrt{(9-5)^2+(13-10)^2}=\sqrt{16+9}=5\) ✓

Krok 2. Równania prostych zawierających boki.

Prosta \(BC\) jest styczna w \(Q=(8,6)\), więc jest prostopadła do \(\vec{IQ}=[3,-4]\):

\(3(x-8)-4(y-6)=0\Rightarrow 3x-4y=0\)

Prosta \(CA\) jest styczna w \(R=(9,13)\), a \(\vec{IR}=[4,3]\):

\(4(x-9)+3(y-13)=0\Rightarrow 4x+3y=75\)

Krok 3. Wierzchołki.

\(B\) — przecięcie prostej \(BC\) z osią \(Oy\) (\(x=0\)): \(-4y=0\Rightarrow y=0\), czyli \(B=(0,0)\).

\(A\) — przecięcie prostej \(CA\) z osią \(Oy\): \(3y=75\Rightarrow y=25\), czyli \(A=(0,25)\).

\(C\) — przecięcie prostych \(BC\) i \(CA\):

\(3x=4y\Rightarrow x=\frac{4y}{3}\); \(\;4\cdot\frac{4y}{3}+3y=75\Rightarrow\frac{25y}{3}=75\Rightarrow y=9\), \(x=12\)

\(C=(12,9)\)

Sprawdzenie kąta prostego: \(\vec{CB}=[-12,-9]\), \(\vec{CA}=[-12,16]\), iloczyn skalarny \(144-144=0\) ✓

Odpowiedź: \(A=(0,25)\), \(B=(0,0)\), \(C=(12,9)\)

Oznaczmy środek okręgu przez $S=(x,y)$.

Krok 1. Warunek leżenia na prostej.

$$x-3y+1=0\ \Longrightarrow\ x=3y-1.$$

Krok 2. Równe odległości od $A$ i $B$. Środek okręgu jest jednakowo oddalony od obu punktów:

$$|SA|^{2}=|SB|^{2},$$

$$(x+5)^{2}+(y-3)^{2}=x^{2}+(y-6)^{2}.$$

Rozwijamy obie strony:

$$x^{2}+10x+25+y^{2}-6y+9=x^{2}+y^{2}-12y+36.$$

Po redukcji $x^{2}$ i $y^{2}$:

$$10x+6y=2\ \Longrightarrow\ 5x+3y=1.$$

Krok 3. Rozwiązanie układu. Podstawiamy $x=3y-1$:

$$5(3y-1)+3y=1\ \Longrightarrow\ 18y=6\ \Longrightarrow\ y=\frac13.$$

$$x=3\cdot\frac13-1=0.$$

$$S=\left(0,\ \frac13\right).$$

Kontrola: $0-3\cdot\frac13+1=0$ ✓ — środek leży na danej prostej.

Krok 4. Promień.

$$r^{2}=|SB|^{2}=(0-0)^{2}+\left(6-\frac13\right)^{2}=\left(\frac{17}{3}\right)^{2}=\frac{289}{9}.$$

Sprawdzenie drugim punktem: $|SA|^{2}=(0+5)^{2}+\left(\frac13-3\right)^{2}=25+\frac{64}{9}=\frac{225+64}{9}=\frac{289}{9}$ ✓

Krok 5. Równanie okręgu.

$$x^{2}+\left(y-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{289}{9}.$$

Odpowiedź: $x^{2}+\left(y-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{289}{9}$  (promień $r=\frac{17}{3}$)

Krok 1. Postać ogólna prostej.

Mnożymy równanie stronami przez \(28\):

\(28y=21x-122\)

\(21x-28y-122=0\)

Krok 2. Promień jako odległość środka od stycznej.

\(r=\frac{|21\cdot 1-28\cdot(-4)-122|}{\sqrt{21^2+(-28)^2}}\)

\(=\frac{|21+112-122|}{\sqrt{441+784}}=\frac{11}{\sqrt{1225}}=\frac{11}{35}\)

Odpowiedź: \(r=\frac{11}{35}\)

Skoro okrąg jest styczny do osi \(OY\) w \((0,2)\) i do osi \(OX\) w \((2,0)\), to jego środek leży na prostej \(x=2\) i na prostej \(y=2\), więc \(S=(2,2)\), a promień \(r=2\).

Równanie okręgu: \((x-2)^2+(y-2)^2=4\).

Punkt \(C=(1,a)\) leży na okręgu: \((1-2)^2+(a-2)^2=4\), czyli \((a-2)^2=3\), stąd \(a=2+\sqrt3\) lub \(a=2-\sqrt3\).

Ponieważ \(2-\sqrt3\approx0{,}27\lt 1\), warunek \(a>1\) spełnia tylko \(a=2+\sqrt3\), więc \(C=(1,2+\sqrt3)\).

Współczynnik kierunkowy prostej \(CS\): \(m_{CS}=\dfrac{2-(2+\sqrt3)}{2-1}=-\sqrt3\).

Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności, więc \(m_l=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\).

Równanie prostej przechodzącej przez \(C\): \(y-(2+\sqrt3)=\dfrac{\sqrt3}{3}(x-1)\), czyli

\(y=\dfrac{\sqrt3}{3}x+2+\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{\sqrt3}{3}x+2+\dfrac{2\sqrt3}{3}\).

Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

\(x^2+2x+y^2-2y=3\), \((x+1)^2-1+(y-1)^2-1=3\), czyli \((x+1)^2+(y-1)^2=5\).

Zatem \(S=(-1,1)\), \(r=\sqrt5\).

Odległość punktu \(A\) od środka:

\(|AS|=\sqrt{(2+1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}>\sqrt5\), więc \(A\) leży na zewnątrz okręgu i istnieją dwie styczne.

Niech \(B\) będzie punktem styczności. Trójkąt \(ABS\) jest prostokątny w \(B\) (promień jest prostopadły do stycznej), a prosta \(AS\) jest dwusieczną szukanego kąta. Oznaczmy przez \(\alpha\) połowę kąta między stycznymi. Wtedy

\(\sin\alpha=\dfrac{r}{|AS|}=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\),

skąd \(\alpha=45^\circ\).

Odpowiedź: kąt między stycznymi ma miarę \(2\alpha=90^\circ\).

Z równań okręgów odczytujemy:

okrąg wyjściowy: \(A=(16,0)\), \(r=2\); okrąg będący obrazem: \(B=(6,4)\), \(R=4\).

Skala. \(|k|=\dfrac{R}{r}=\dfrac42=2\), a ponieważ skala jest ujemna, \(k=-2\).

Środek. Jednokładność o środku \(S\) i skali \(k\) przeprowadza \(A\) na \(B\), więc \(\overrightarrow{SB}=k\cdot\overrightarrow{SA}\), czyli

\(B-S=-2(A-S)\),

\(B-S=-2A+2S\),

\(3S=B+2A\).

Stąd

\(S=\dfrac{B+2A}{3}=\dfrac{(6,4)+(32,0)}{3}=\dfrac{(38,4)}{3}=\left(\dfrac{38}{3},\dfrac43\right)\).

Sprawdzenie: \(A-S=\left(\tfrac{10}{3},-\tfrac43\right)\), a \(-2(A-S)=\left(-\tfrac{20}{3},\tfrac83\right)\), więc \(S-2(A-S)=\left(\tfrac{38-20}{3},\tfrac{4+8}{3}\right)=(6,4)=B\). ✅

Z pierwszego równania \(|x|=y+1\), przy czym musi być \(y+1\ge0\), czyli \(y\ge-1\).

Podnosząc do kwadratu: \(x^2=(y+1)^2\).

Podstawiamy do drugiego równania:

\((y+1)^2+(y+1)^2=8\), czyli \(2(y+1)^2=8\), a stąd \((y+1)^2=4\).

Zatem \(y+1=2\) lub \(y+1=-2\); drugi przypadek odrzucamy, bo \(y+1\ge0\).

Otrzymujemy \(y=1\) oraz \(|x|=2\), czyli \(x=2\) lub \(x=-2\).

Odpowiedź: \((2,1)\) oraz \((-2,1)\).

a) Z drugiego równania \(y=x^2-4\). Podstawiamy do pierwszego:

\(-4x^2+(x^2-4)^2+2(x^2-4)+1=0\),

\(-4x^2+x^4-8x^2+16+2x^2-8+1=0\),

\(x^4-10x^2+9=0\).

Podstawiając \(t=x^2\): \(t^2-10t+9=0\), skąd \(t=1\) lub \(t=9\), a więc \(x\in\{-3,-1,1,3\}\).

Odpowiadające wartości \(y=x^2-4\): dla \(x=\pm1\) mamy \(y=-3\), dla \(x=\pm3\) mamy \(y=5\).

Wierzchołki (w kolejności dającej czworokąt wypukły):

\(A=(-3,5)\), \(B=(3,5)\), \(C=(1,-3)\), \(D=(-1,-3)\).

b) Boki \(AB\) i \(DC\) leżą na prostych \(y=5\) oraz \(y=-3\), są więc równoległe (a \(|AB|=6\neq2=|DC|\), więc czworokąt nie jest równoległobokiem) — \(ABCD\) jest trapezem.

Ramiona:

\(|AD|=\sqrt{(-1+3)^2+(-3-5)^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}\),

\(|BC|=\sqrt{(1-3)^2+(-3-5)^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}\).

Ramiona są równe, więc trapez jest równoramienny. \(\blacksquare\)

c) Z symetrii względem osi \(OY\) środek okręgu ma postać \(S=(0,k)\). Z równości odległości od \(A\) i od \(D\):

\(9+(5-k)^2=1+(-3-k)^2\),

\(9+25-10k+k^2=1+9+6k+k^2\),

\(34-10k=10+6k\), skąd \(k=\dfrac32\).

Promień: \(r^2=9+\left(5-\tfrac32\right)^2=9+\dfrac{49}{4}=\dfrac{85}{4}\).

Równanie okręgu:

\(x^2+\left(y-\dfrac32\right)^2=\dfrac{85}{4}\).