Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Dane są prosta \(k\) o równaniu \(x-2y=0\) i prosta \(l\) o równaniu \(2x+y-1=0\). Punkt \(P\) leży na prostej o równaniu \(y=x+4\). Odległość punktu \(P\) od prostej \(k\) jest dwa razy większa niż odległość punktu \(P\) od prostej \(l\).
Oblicz współrzędne punktu \(P\).
Prosta \(l\), na której leży punkt \(P=(8,2)\), tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym \(36\).
Wyznacz równanie prostej \(l\).
Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach \(A=(0,2)\) i \(B=(2,0)\) oraz jest styczny do prostej \(l\) w punkcie \(C=(1,a)\), gdzie \(a>1\). Wyznacz równanie prostej \(l\).
Na płaszczyźnie dane są punkty \(A=(3,-2)\) i \(B=(11,4)\). Na prostej o równaniu \(y=8x+10\) znajdź punkt \(P\), dla którego suma \(|AP|^2+|BP|^2\) jest najmniejsza.
Punkt \(A=(-2,5)\) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok \(BC\) jest zawarty w prostej o równaniu \(y=x+1\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).
$$y=ax+b$$
Litera $a$ to współczynnik kierunkowy — mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Litera $b$ to wyraz wolny — wartość $y$ w punkcie przecięcia z osią $OY$.
$$a>0 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad a\lt 0 \Rightarrow \text{malejąca},\qquad a=0 \Rightarrow \text{stała}$$
Wyraz wolny nie wpływa na monotoniczność — przesuwa jedynie wykres w pionie.
$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
Mając $a$, wyznaczamy $b$ przez podstawienie współrzędnych dowolnego z punktów. Drugi punkt służy wtedy do sprawdzenia.
Przykład: dla $A=(1,5)$ i $B=(3,1)$ mamy $a=\frac{1-5}{3-1}=-2$, potem $5=-2+b$, czyli $b=7$ i ostatecznie $y=-2x+7$.
$$\text{równoległe}:\ a_1=a_2,\qquad \text{prostopadłe}:\ a_1\cdot a_2=-1$$
Warunek prostopadłości wygodnie stosuje się tak: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.
Proste o równych $a$ i równych $b$ pokrywają się; równe $a$ i różne $b$ oznacza proste rozłączne.
$$Ax+By+C=0$$
Zamiana na postać kierunkową polega na wyznaczeniu $y$:
$$2x+3y-6=0 \ \Rightarrow\ y=-\tfrac23x+2$$
Postać ogólna obejmuje również proste pionowe ($B=0$), których nie da się zapisać jako $y=ax+b$.
Z osią $OY$: podstawiamy $x=0$ i otrzymujemy punkt $(0,\ b)$.
Z osią $OX$: rozwiązujemy $ax+b=0$, czyli szukamy miejsca zerowego $x=-\frac{b}{a}$.
Porównujemy prawe strony równań. Dla $y=2x-1$ i $y=-x+5$ dostajemy $3x=6$, czyli $x=2$ i $y=3$. Zawsze warto sprawdzić wynik w drugim równaniu.
Punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest taki sam. Dla $(1,2)$, $(3,6)$ i $(5,10)$ oba wynoszą $2$, więc punkty są współliniowe, a prosta to $y=2x$.
Taksówka z opłatą $8$ zł i stawką $3$ zł za kilometr to $f(x)=3x+8$. Współczynnik kierunkowy jest tempem wzrostu kosztu, a wyraz wolny — kosztem stałym. Ten sam schemat opisuje abonamenty, rachunki za prąd czy koszt produkcji.
Nie myl $a$ z $b$ przy odczycie ze wzoru. Przy prostopadłości pamiętaj o zmianie znaku, nie tylko o odwróceniu ułamka. I sprawdzaj wynik, podstawiając punkt do równania.
Nachylenie prostej przez punkty $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$; $\alpha$ — kąt z osią $Ox$.
Przykład: $A(1,2)$, $B(3,8)$: $a=\frac{6}{2}=3$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.