Równania wymierne

Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy $x=0$:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$

Funkcja $f(x)=\frac{a}{x}$ opisuje proporcjonalność odwrotną, a jej wykresem jest hiperbola.

Odpowiedź: B.

Wykluczamy argument zerujący mianownik:

$$x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Zatem:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$$

Uwaga: licznik nie wpływa na dziedzinę — liczy się tylko mianownik.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Podstawiamy kolejne argumenty:

$$f(2)=\frac{6}{2}=3$$

$$f(3)=\frac{6}{3}=2$$

$$f(-6)=\frac{6}{-6}=-1$$

Obserwacja: iloczyn argumentu i wartości jest stały: $2\cdot3=6$, $3\cdot2=6$, $(-6)\cdot(-1)=6$ — to cecha proporcjonalności odwrotnej.

Odpowiedź: $f(2)=3$, $f(3)=2$, $f(-6)=-1$.

Gdy $a>0$, dla $x>0$ wartość $\frac{a}{x}$ jest dodatnia (ćwiartka pierwsza), a dla $x\lt 0$ ujemna (ćwiartka trzecia).

Sprawdźmy na przykładzie $f(x)=\frac{2}{x}$:

$$f(1)=2 \ (\text{I ćw.}),\qquad f(-1)=-2 \ (\text{III ćw.})$$

Dla porównania: gdy $a\lt 0$, hiperbola leży w ćwiartkach drugiej i czwartej.

Odpowiedź: C. pierwszej i trzeciej.

Krok 1 — założenia. Mianownik nie może być zerem:

$$9x^2\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq0$$

Krok 2 — skracamy. W liczniku i mianowniku wyłączamy wspólne czynniki $3$ i $x$:

$$\frac{6x}{9x^2}=\frac{3x\cdot2}{3x\cdot3x}=\frac{2}{3x}$$

Uwaga: założenie $x\neq0$ trzeba podać na początku, przed skróceniem — po skróceniu informacja o tym, że $x$ było w mianowniku, mogłaby zniknąć.

Odpowiedź: $\frac{2}{3x}$ dla $x\neq0$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik to $2x$:

$$\frac{1}{x}=\frac{2}{2x}$$

Krok 2 — dodajemy liczniki:

$$\frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$$

Sprawdzenie dla $x=1$: $\frac11+\frac12=\frac32$, a nasz wynik $\frac{3}{2\cdot1}=\frac32$ ✔

Odpowiedź: $\frac{3}{2x}$.

Mnożenie ułamków: licznik przez licznik, mianownik przez mianownik:

$$\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{x}=\frac{2\cdot9}{3\cdot x}=\frac{18}{3x}$$

Skracamy przez $3$:

$$\frac{18}{3x}=\frac{6}{x}$$

Wynik zawsze podajemy w postaci nieskracalnej, więc $\frac{18}{3x}$ (odpowiedź C) nie jest formą ostateczną.

Odpowiedź: D. $\frac{6}{x}$.

Krok 1 — założenie: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $x$:

$$6=3x$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=2$$

Krok 4 — sprawdzamy założenie: $2\neq0$ ✔, więc rozwiązanie jest poprawne.

Sprawdzenie: $\frac{6}{2}=3$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Asymptota pionowa występuje tam, gdzie mianownik dąży do zera, czyli w $x=0$. Gdy $x$ zbliża się do zera, wartości „uciekają” do nieskończoności.

Asymptota pozioma to $y=0$ — gdy $x$ rośnie nieograniczenie, ułamek $\frac1x$ dąży do zera, ale nigdy go nie osiąga.

Wykres nigdy nie dotyka żadnej z osi układu współrzędnych.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — wspólny mianownik to iloczyn $x(x+1)$:

$$\frac{3}{x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)},\qquad \frac{1}{x+1}=\frac{x}{x(x+1)}$$

Krok 2 — odejmujemy liczniki:

$$\frac{3(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{3x+3-x}{x(x+1)}=\frac{2x+3}{x(x+1)}$$

Uwaga na nawias: odejmujemy cały licznik $x$, dlatego $3(x+1)$ rozwijamy przed odjęciem.

Odpowiedź: $\frac{2x+3}{x(x+1)}$.

Krok 1 — założenie: $x-1\neq0$, czyli $x\neq1$.

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $(x-1)$:

$$x+2=2(x-1)$$

Krok 3 — rozwiązujemy równanie liniowe:

$$x+2=2x-2 \quad\Rightarrow\quad 4=x$$

Krok 4 — sprawdzamy założenie: $4\neq1$ ✔

Sprawdzenie: $\frac{4+2}{4-1}=\frac{6}{3}=2$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Podstawiamy znane wartości do wzoru $y=\frac{a}{x}$:

$$4=\frac{a}{3} \quad\Rightarrow\quad a=12$$

Współczynnik $a$ to stały iloczyn: $a=x\cdot y=3\cdot4=12$.

Sprawdzenie: $y=\frac{12}{3}=4$ ✔

Odpowiedź: B. $a=12$.

Wykluczamy argumenty zerujące mianownik:

$$x^2-9=0$$

Rozkładamy na czynniki:

$$(x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{ lub } \ x=-3$$

Zatem:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}$$

Uwaga: wykluczamy obie liczby. Częsty błąd to znalezienie tylko jednego pierwiastka.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}$.

Krok 1 — założenie: $x+2\neq0$, czyli $x\neq-2$.

Krok 2 — rozkładamy licznik wzorem na różnicę kwadratów:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Krok 3 — skracamy przez $(x+2)$:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2$$

Ważne: mimo że po skróceniu zostaje samo $x-2$, założenie $x\neq-2$ obowiązuje nadal — funkcja nie jest określona w tym punkcie.

Odpowiedź: $x-2$ dla $x\neq-2$.

To wykres podstawowej hiperboli $y=\frac1x$ po przesunięciu o wektor.

Zmiana w mianowniku $x-3$ oznacza przesunięcie o $3$ w prawo (minus w nawiasie działa „na odwrót”).

Składnik $+2$ na zewnątrz to przesunięcie o $2$ w górę.

Nowe asymptoty to $x=3$ (pionowa) i $y=2$ (pozioma).

Odpowiedź: C. o $3$ w prawo i $2$ w górę.

Krok 1 — założenie: $x\neq0$.

Krok 2 — dodajemy ułamki po lewej (mają ten sam mianownik):

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5}{x}$$

Krok 3 — równanie przybiera postać:

$$\frac{5}{x}=\frac{5}{4}$$

Krok 4 — porównujemy. Skoro liczniki są równe, równe muszą być mianowniki:

$$x=4$$

Krok 5 — sprawdzamy założenie: $4\neq0$ ✔

Sprawdzenie: $\frac24+\frac34=\frac54$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — założenie: $x-2\neq0$, czyli $x\neq2$.

Krok 2 — mianowniki są równe, więc równe muszą być liczniki:

$$x=4$$

Krok 3 — konfrontujemy z założeniem: $4\neq2$ ✔, więc rozwiązanie jest dopuszczalne.

Sprawdzenie: $\frac{4}{4-2}=\frac{4}{2}=2$ po obu stronach ✔

Dlaczego sprawdzenie założenia jest kluczowe: gdyby wyszło $x=2$, musielibyśmy je odrzucić — mimo poprawnego rachunku równanie nie miałoby rozwiązania.

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — wydajności godzinowe. W ciągu godziny pierwszy maluje $\frac16$ ściany, a drugi $\frac{1}{12}$.

Krok 2 — wspólna wydajność to suma:

$$\frac16+\frac{1}{12}=\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac14$$

Razem malują $\frac14$ ściany na godzinę.

Krok 3 — czas na całą ścianę to odwrotność wydajności:

$$t=\frac{1}{\frac14}=4\ \text{godziny}$$

Kontrola sensu: we dwóch muszą uporać się szybciej niż szybszy z nich w pojedynkę ($6$ h), więc $4$ h to wynik sensowny.

Odpowiedź: razem pomalują ścianę w $4$ godziny.

Krok 1 — założenia: $x\neq1$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — lewą stronę sprowadzamy do wspólnego mianownika $(x-1)(x+1)=x^2-1$:

$$\frac{(x+1)+(x-1)}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}$$

Krok 3 — równanie przybiera postać:

$$\frac{2x}{x^2-1}=\frac12$$

Krok 4 — mnożymy na krzyż:

$$2\cdot2x=x^2-1 \quad\Rightarrow\quad 4x=x^2-1 \quad\Rightarrow\quad x^2-4x-1=0$$

Krok 5 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta=16+4=20,\qquad \sqrt{\Delta}=2\sqrt5$$

$$x=\frac{4\pm2\sqrt5}{2}=2\pm\sqrt5$$

Krok 6 — sprawdzamy założenia. Oba pierwiastki ($2+\sqrt5\approx4{,}24$ oraz $2-\sqrt5\approx-0{,}24$) są różne od $1$ i $-1$, więc oba są dopuszczalne.

Odpowiedź: $x=2+\sqrt5$ lub $x=2-\sqrt5$.