Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Rozkład na czynniki zamienia równanie wielomianowe na iloczyn, który jest zerem tylko wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik. To najskuteczniejsza metoda rozwiązywania równań wyższych stopni.
Przykład pełnego rozkładu: $2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2)$.
$$x^3-3x^2+2x-6=x^2(x-3)+2(x-3)=(x-3)(x^2+2)$$
Grupujemy wyrazy tak, by po wyłączeniu powstał ten sam nawias.
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
W drugim czynniku różnicy sześcianów wszystkie znaki są dodatnie.
Suma kwadratów $x^2+a^2$ (dla $a\neq0$) nie ma pierwiastków rzeczywistych — nie rozkłada się na czynniki liniowe.
W $(x-1)^2(x+3)$ pierwiastek $1$ jest podwójny, $-3$ pojedynczy — dwie różne wartości, ale trzy czynniki liniowe.
Zawsze doprowadzaj rozkład do końca. Pominięcie wyłączenia wspólnego czynnika daje rozkład niepełny.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Jaki jest stopień wielomianu $W(x)=3x^4-2x^2+5$?
Dodaj wielomiany $W(x)=2x^2+3x-1$ i $P(x)=x^2-5x+4$.
Oblicz $W(2)$ dla wielomianu $W(x)=x^3-2x^2+x-3$.
Rozłóż na czynniki wielomian $x^3-4x$.
Liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$, gdy:
Sprawdź, czy liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3-2x^2-x+2$.
Rozwiąż równanie $x^3-9x=0$.
Stopień iloczynu wielomianów stopnia $3$ i stopnia $2$ wynosi:
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x-3)$ jest równa:
Oblicz resztę z dzielenia $W(x)=x^3+2x^2-5$ przez $(x-1)$.
Rozwiąż równanie $x^3-2x^2-3x=0$.
Wielomian $W(x)=x^3+ax-6$ ma pierwiastek $x=2$. Wyznacz współczynnik $a$.
Rozłóż na czynniki wielomian $x^3+2x^2-x-2$ metodą grupowania.
Rozwiąż równanie $x^3-x^2-4x+4=0$, wykorzystując rozkład przez grupowanie.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\((x-3)\left(x^2+(m-1)x-6m^2+2m\right)=0\)
ma dokładnie dwa rozwiązania.
Wiadomo, że wielomian \(15x^5-133x^4+383x^3-499x^2+146x+120\) ma w zbiorze \(\left\{\frac{7}{6},\frac{6}{5},\frac{8}{7},\frac{9}{5}\right\}\) dokładnie jeden pierwiastek wymierny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jest nim liczba
Wykaż, że równanie \(x^8+x^2=2\left(x^4+x-1\right)\) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste \(x=1\).
Przy dzieleniu wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \((x-1)\) otrzymujemy iloraz \(Q(x)=8x^2+4x-14\) oraz resztę \(R(x)=-5\). Oblicz pierwiastki wielomianu \(W(x)\).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.