Równania i nierówności z wartością bezwzględną

1. Krok 1. Rozkład wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi. $$|2x-6|=2|x-3|,\qquad \left|x^{2}-9\right|=|x-3|\cdot|x+3|.$$

   Nierówność przyjmuje postać $2|x-3|\lt |x-3|\cdot|x+3|$.

2. Krok 2. Przypadek $x=3$.

   Wtedy obie strony są równe $0$, a $0\lt 0$ jest fałszem — więc $x=3$ nie jest rozwiązaniem.

3. Krok 3. Przypadek $x\neq 3$.

   Dzielimy obie strony przez $|x-3|>0$:

   $$2\lt |x+3|\ \Rightarrow\ x+3>2\ \lor\ x+3\lt -2\ \Rightarrow\ x>-1\ \lor\ x\lt -5.$$
4. Krok 4. Uwzględnienie wykluczenia $x=3$. $$x\in(-\infty,-5)\cup(-1,3)\cup(3,+\infty).$$

1. Krok 1. Zwinięcie do kwadratów zupełnych. $$x^{2}+4x+4=(x+2)^{2},\qquad x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.$$

   Zatem $\sqrt{x^{2}+4x+4}=|x+2|$ oraz $\sqrt{x^{2}-6x+9}=|x-3|$, a nierówność przyjmuje postać

   $$|x+2|+|x-3|\lt \frac{25}{3}.$$
2. Krok 2. Rozpatrzenie przedziałów.

   Dla $x\lt -2$: $-(x+2)-(x-3)=-2x+1\lt \tfrac{25}{3}\Rightarrow -2x\lt \tfrac{22}{3}\Rightarrow x>-\tfrac{11}{3}$. Stąd $-\tfrac{11}{3}\lt x\lt -2$.

   Dla $-2\le x\le 3$: $(x+2)+(3-x)=5\lt \tfrac{25}{3}$ — prawda dla wszystkich takich $x$. Stąd cały przedział $\langle -2,3\rangle$.

   Dla $x>3$: $(x+2)+(x-3)=2x-1\lt \tfrac{25}{3}\Rightarrow 2x\lt \tfrac{28}{3}\Rightarrow x\lt \tfrac{14}{3}$. Stąd $3\lt x\lt \tfrac{14}{3}$.

3. Krok 3. Suma przedziałów. $$x\in\left(-\frac{11}{3},\ \frac{14}{3}\right).$$

Krok 1. Podstawienie. Niech $t=|x|$, przy czym $t\ge 0$. Równanie przyjmuje postać

$$|t-2|=t+2.$$

Krok 2. Przypadek $t\ge 2$. Wtedy $|t-2|=t-2$:

$$t-2=t+2\ \Longrightarrow\ -2=2,$$

co jest fałszem — brak rozwiązań w tym przypadku.

Krok 3. Przypadek $0\le t\lt 2$. Wtedy $|t-2|=2-t$:

$$2-t=t+2\ \Longrightarrow\ 0=2t\ \Longrightarrow\ t=0.$$

Wartość $t=0$ spełnia warunek $0\le t\lt 2$.

Krok 4. Powrót do $x$.

$$|x|=0\ \Longrightarrow\ x=0.$$

Sprawdzenie: $\bigl||0|-2\bigr|=2$ oraz $|0|+2=2$ ✓

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: B

Krok 1. Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną. Nierówność $|A|\le c$ (dla $c\ge0$) jest równoważna podwójnej nierówności $-c\le A\le c$:

$$-10\le 2x-8\le 10.$$

Krok 2. Przekształcenie. Dodajemy $8$ do wszystkich części:

$$-2\le 2x\le 18.$$

Dzielimy przez $2$:

$$-1\le x\le 9.$$

Krok 3. Odczyt z rysunku. Zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty $\langle-1,\ 9\rangle$. Na osi lewy koniec oznaczono jako $-1$, a prawy jako $k$, zatem

$$k=9.$$

Kontrola: dla $x=9$ mamy $|2\cdot9-8|=|10|=10\le10$ ✓, a dla $x=-1$: $|-10|=10\le10$ ✓ — oba końce należą do zbioru, co zgadza się z zamalowanymi kropkami na rysunku.

Odpowiedź: D

Opuszczamy wartości bezwzględne w trzech przedziałach wyznaczonych przez \(x=-2\) i \(x=1\):

• dla \(x\lt -2\): \(f(x)=(1-x)-(-x-2)=3\),

• dla \(-2\le x\lt 1\): \(f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1\),

• dla \(x\ge1\): \(f(x)=(x-1)-(x+2)=-3\).

a) Dla \(x\in(-\infty,-2)\) funkcja jest stała i równa \(3\), więc zbiorem wartości jest \(\{3\}\).

b) Wykres składa się z trzech części: półprostej poziomej \(y=3\) dla \(x\lt -2\), odcinka prostej \(y=-2x-1\) łączącego punkty \((-2,3)\) i \((1,-3)\) oraz półprostej poziomej \(y=-3\) dla \(x\ge1\). Wykres jest ciągły, a zbiorem wartości funkcji jest przedział \(\langle-3,3\rangle\).

c) Miejsce zerowe może leżeć tylko na środkowym odcinku:

\(-2x-1=0\), skąd \(x=-\dfrac12\) (i \(-\tfrac12\in\langle-2,1)\)).

d) Ponieważ zbiorem wartości funkcji jest \(\langle-3,3\rangle\), równanie \(f(x)=m\) nie ma rozwiązań dokładnie wtedy, gdy \(m\lt -3\) lub \(m>3\).

Z pierwszego równania \(|x|=y+1\), przy czym musi być \(y+1\ge0\), czyli \(y\ge-1\).

Podnosząc do kwadratu: \(x^2=(y+1)^2\).

Podstawiamy do drugiego równania:

\((y+1)^2+(y+1)^2=8\), czyli \(2(y+1)^2=8\), a stąd \((y+1)^2=4\).

Zatem \(y+1=2\) lub \(y+1=-2\); drugi przypadek odrzucamy, bo \(y+1\ge0\).

Otrzymujemy \(y=1\) oraz \(|x|=2\), czyli \(x=2\) lub \(x=-2\).

Odpowiedź: \((2,1)\) oraz \((-2,1)\).