Równania i nierówności kwadratowe z parametrem

1. Krok 1. Dwa różne pierwiastki ($\Delta>0$).

   $a=m^{2}>0$. $\Delta=(-2m)^{2}-4m^{2}(-m+1)=4m^{2}-4m^{2}(1-m)=4m^{3}$. Warunek $\Delta>0\Rightarrow m>0$.

2. Krok 2. Oba pierwiastki w $(-2,2)$ — warunki brzegowe.

   Ponieważ $a>0$, potrzeba: $f(-2)>0$, $f(2)>0$ oraz odcięta wierzchołka $x_{w}\in(-2,2)$.

   $$f(-2)=4m^{2}+3m+1>0\ (\Delta=9-16\lt 0\Rightarrow \text{zawsze prawdziwe}).$$ $$f(2)=4m^{2}-5m+1>0\ \Rightarrow\ m\lt \tfrac14\ \lor\ m>1.$$
3. Krok 3. Wierzchołek. $$x_{w}=\frac{2m}{2m^{2}}=\frac{1}{m},\qquad -2\lt \frac{1}{m}\lt 2.$$

   Przy $m>0$ warunek redukuje się do $\frac{1}{m}\lt 2\Rightarrow m>\frac12$.

4. Krok 4. Część wspólna warunków. $$m>0\ \wedge\ \left(m\lt \tfrac14\lor m>1\right)\ \wedge\ m>\tfrac12\ \Rightarrow\ m>1.$$

   Odpowiedź: $m\in(1,+\infty)$.

Rozwiązanie zadania 11

Dana funkcja: $f(x) = (2-m)x^2 - 2(2m+1)x + m + 8$, gdzie $m \in \mathbb{R}$, $m \neq 2$.

Ponieważ $m \neq 2$, funkcja $f$ jest parabolą (funkcją kwadratową).

1. Krok 1: Warunek istnienia dokładnie dwóch miejsc zerowych — wyróżnik musi być dodatni

   Wyróżnik trójmianu kwadratowego:

   $$\Delta = [-2(2m+1)]^2 - 4(2-m)(m+8)$$ $$\Delta = 4(2m+1)^2 - 4(2-m)(m+8)$$ $$\Delta = 4\bigl[(2m+1)^2 - (2-m)(m+8)\bigr]$$

   Obliczamy każdy nawias:

   $$(2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1$$ $$(2-m)(m+8) = 2m + 16 - m^2 - 8m = -m^2 - 6m + 16$$

   Zatem:

   $$\Delta = 4\bigl[4m^2 + 4m + 1 - (-m^2 - 6m + 16)\bigr] = 4\bigl[5m^2 + 10m - 15\bigr] = 20(m^2 + 2m - 3)$$ $$\Delta = 20(m+3)(m-1)$$

   Warunek $\Delta > 0$:

   $$(m+3)(m-1) > 0 \implies m \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$$
2. Krok 2: Warunek, że oba miejsca zerowe mają ten sam znak

   Z wzorów Viète'a dla $ax^2+bx+c=0$ mamy $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ oraz $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.

   Tutaj $a = 2-m$, $b = -2(2m+1)$, $c = m+8$:

   $$x_1 \cdot x_2 = \frac{m+8}{2-m}, \qquad x_1 + x_2 = \frac{2(2m+1)}{2-m}$$

   Oba pierwiastki mają ten sam znak wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni:

   $$\frac{m+8}{2-m} > 0$$

   Liczymy znak ilorazu metodą tablicy znaków (miejsca zerowe: $m = -8$ i $m = 2$):

   • $m \in (-\infty, -8)$: licznik $-$, mianownik $+$ → iloraz $-$ ✗
   • $m \in (-8, 2)$: licznik $+$, mianownik $+$ → iloraz $+$ ✓
   • $m \in (2, +\infty)$: licznik $+$, mianownik $-$ → iloraz $-$ ✗

   Warunek spełniony dla $m \in (-8, 2)$.

   Połączenie z warunkiem z Kroku 1:

   $$m \in (-\infty,-3)\cup(1,+\infty) \quad \text{oraz} \quad m \in (-8,2)$$ $$\implies m \in (-8,-3) \cup (1,2)$$
3. Krok 3: Warunek $(x_1 - x_2)^2 \leq 180$

   Korzystamy z tożsamości:

   $$(x_1 - x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1 x_2 = \frac{\Delta}{a^2}$$

   Mamy $\Delta = 20(m+3)(m-1)$ oraz $a^2 = (2-m)^2$, więc:

   $$(x_1 - x_2)^2 = \frac{20(m+3)(m-1)}{(2-m)^2}$$

   Warunek do spełnienia:

   $$\frac{20(m+3)(m-1)}{(2-m)^2} \leq 180$$

   Ponieważ $(2-m)^2 > 0$ (bo $m\neq 2$), mnożymy obustronnie:

   $$20(m+3)(m-1) \leq 180(2-m)^2$$ $$(m+3)(m-1) \leq 9(2-m)^2$$ $$m^2 + 2m - 3 \leq 9(4 - 4m + m^2)$$ $$m^2 + 2m - 3 \leq 36 - 36m + 9m^2$$ $$0 \leq 8m^2 - 38m + 39$$

   Wyróżnik: $\Delta_2 = 38^2 - 4\cdot8\cdot39 = 1444 - 1248 = 196$, $\sqrt{\Delta_2}=14$

   $$m_{1,2} = \frac{38 \pm 14}{16} \implies m_1 = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}, \quad m_2 = \frac{52}{16} = \frac{13}{4}$$

   Zatem $8m^2 - 38m + 39 \geq 0$ dla $m \leq \frac{3}{2}$ lub $m \geq \frac{13}{4}$.

4. Krok 4: Połączenie wszystkich warunków

   Szukamy $m$ należących do $(-8,-3)\cup(1,2)$, które jednocześnie spełniają $m \leq \frac{3}{2}$ lub $m \geq \frac{13}{4}$:

   • Dla $m \in (-8,-3)$: wszystkie te $m$ spełniają $m \leq \frac{3}{2}$ ✓ → cały przedział $(-8,-3)$ pozostaje.
   • Dla $m \in (1,2)$: warunek $m \leq \frac{3}{2}$ daje $m \in (1, \tfrac{3}{2}]$; warunek $m \geq \frac{13}{4}$ — niespełniony w $(1,2)$. Zatem zostaje $m \in (1, \tfrac{3}{2}]$.

Wynik końcowy

Wszystkie wartości parametru $m$ spełniające podane warunki to:

Krok 1. Warunek istnienia dwóch różnych rozwiązań.

\(\Delta=(2m)^2-4(2m-1)=4m^2-8m+4=4(m-1)^2\)

\(\Delta\gt 0\iff (m-1)^2\gt 0\iff m\neq 1\)

Krok 2. Wzory Viète’a.

\(x_1+x_2=-2m\), \(\;x_1\cdot x_2=2m-1\)

\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4m^2-2(2m-1)=4m^2-4m+2\)

Krok 3. Równanie z jedną niewiadomą.

\(m\left(4m^2-4m+2\right)=3m(2m-1)+2\)

\(4m^3-4m^2+2m=6m^2-3m+2\)

\(4m^3-10m^2+5m-2=0\)

Krok 4. Rozwiązanie równania sześciennego.

Sprawdzamy \(m=2\): \(4\cdot 8-10\cdot 4+5\cdot 2-2=32-40+10-2=0\) ✓

Dzielimy wielomian przez \((m-2)\):

\(4m^3-10m^2+5m-2=(m-2)\left(4m^2-2m+1\right)\)

Dla czynnika kwadratowego: \(\Delta=(-2)^2-4\cdot 4\cdot 1=4-16=-12\lt 0\), więc nie ma on pierwiastków rzeczywistych.

Krok 5. Sprawdzenie warunku z kroku 1.

\(m=2\neq 1\), więc \(\Delta\gt 0\) i równanie ma dwa różne rozwiązania.

Odpowiedź: \(m=2\)

1. Krok 1. Wzory Viète’a.

   $S=x_{1}+x_{2}=3m+1$, $P=x_{1}x_{2}=2m^{2}+m+1$.

2. Krok 2. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste ($\Delta>0$). $$\Delta=S^{2}-4P=(3m+1)^{2}-4(2m^{2}+m+1)=m^{2}+2m-3=(m+3)(m-1)>0\ \Rightarrow\ m\lt -3\ \lor\ m>1.$$
3. Krok 3. Uproszczenie warunku.

   $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=S^{3}-3PS$, więc lewa strona $=S^{3}-3PS+3P(S-3)=S^{3}-9P$. Warunek:

   $$S^{3}-9P\le 3m-7.$$ $$(3m+1)^{3}-9(2m^{2}+m+1)\le 3m-7\ \Rightarrow\ 27m^{3}+9m^{2}-8\le 3m-7.$$ $$27m^{3}+9m^{2}-3m-1\le 0\ \Rightarrow\ (3m-1)(3m+1)^{2}\le 0.$$
4. Krok 4. Rozwiązanie nierówności.

   Czynnik $(3m+1)^{2}\ge 0$, więc znak zależy od $(3m-1)$: nierówność zachodzi dla $m\le\tfrac13$.

5. Krok 5. Część wspólna z warunkiem $\Delta>0$. $$\left(m\lt -3\ \lor\ m>1\right)\ \wedge\ m\le\tfrac13\ \Rightarrow\ m\lt -3.$$

   Odpowiedź: $m\in(-\infty,-3)$.

Etap I. Warunek dwóch różnych rozwiązań rzeczywistych.

Równanie ma być kwadratowe, więc \(3-m\neq 0\), czyli \(m\neq 3\).

\(\Delta=(m+1)^2+4(3-m)(m+1)^2=(m+1)^2\left[1+4(3-m)\right]=(m+1)^2(13-4m)\)

\(\Delta\gt 0\iff (m+1)^2\gt 0\;\wedge\;13-4m\gt 0\iff m\neq -1\;\wedge\;m\lt\frac{13}{4}\)

Zatem \(m\in(-\infty,-1)\cup\left(-1,\frac{13}{4}\right)\).

Etap II. Warunek na rozwiązania.

Ze wzorów Viète’a:

\(x_1+x_2=-\frac{m+1}{3-m}\), \(\;x_1x_2=-\frac{(m+1)^2}{3-m}\)

Przekształcamy warunek:

\(x_1^2+x_2^2=x_1x_2+7\)

\((x_1+x_2)^2-2x_1x_2=x_1x_2+7\)

\((x_1+x_2)^2=3x_1x_2+7\)

\(\frac{(m+1)^2}{(3-m)^2}=-\frac{3(m+1)^2}{3-m}+7\)

Mnożymy obie strony przez \((3-m)^2\neq 0\):

\((m+1)^2+3(m+1)^2(3-m)-7(3-m)^2=0\)

\(m^2+2m+1-3m^3+3m^2+15m+9-7m^2+42m-63=0\)

\(-3m^3-3m^2+59m-53=0\)

Etap III. Rozwiązanie równania sześciennego.

Sprawdzamy \(m=1\): \(-3-3+59-53=0\) ✓

Dzielimy wielomian przez \((m-1)\):

\(-3m^3-3m^2+59m-53=(m-1)\left(-3m^2-6m+53\right)\)

Dla \(-3m^2-6m+53=0\), czyli \(3m^2+6m-53=0\):

\(\Delta=36+636=672\), \(\;\sqrt{672}=4\sqrt{42}\)

\(m=\frac{-6\pm 4\sqrt{42}}{6}=\frac{-3\pm 2\sqrt{42}}{3}\)

Etap IV. Część wspólna warunków.

\(m=1\) należy do przedziału z etapu I ✓

\(m=\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\approx-5{,}32\) należy do przedziału ✓

\(m=\frac{-3+2\sqrt{42}}{3}\approx 3{,}32\gt\frac{13}{4}=3{,}25\) — nie spełnia warunku \(\Delta\gt 0\), odrzucamy.

Odpowiedź: \(m=1\) lub \(m=\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\)

1. Krok 1. Oznaczenie i wzory Viète’a.

   Niech $c=\dfrac{m-3}{m-2}$. Równanie $x^{2}+4x-c=0$ daje $x_{1}+x_{2}=-4$ oraz $x_{1}x_{2}=-c$.

2. Krok 2. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste. $$\Delta=16+4c>0\ \Rightarrow\ c>-4.$$
3. Krok 3. Warunek $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28$.

   Korzystamy z tożsamości $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})$:

   $$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(-4)^{3}-3(-c)(-4)=-64-12c.$$ $$-64-12c>-28\ \Rightarrow\ -12c>36\ \Rightarrow\ c\lt -3.$$
4. Krok 4. Złożenie warunków na $c$ i powrót do $m$.

   Musi być $-4\lt c\lt -3$, czyli $-4\lt \dfrac{m-3}{m-2}\lt -3$.

   $\dfrac{m-3}{m-2}\lt -3:\ \dfrac{m-3+3(m-2)}{m-2}\lt 0\Rightarrow\dfrac{4m-9}{m-2}\lt 0\Rightarrow m\in\left(2,\tfrac{9}{4}\right).$

   $\dfrac{m-3}{m-2}>-4:\ \dfrac{m-3+4(m-2)}{m-2}>0\Rightarrow\dfrac{5m-11}{m-2}>0\Rightarrow m\lt 2\ \lor\ m>\tfrac{11}{5}.$

5. Krok 5. Część wspólna. $$m\in\left(2,\tfrac{9}{4}\right)\cap\left((-\infty,2)\cup(\tfrac{11}{5},\infty)\right)=\left(\frac{11}{5},\ \frac{9}{4}\right).$$

Etap I. Warunek dwóch różnych rozwiązań rzeczywistych.

Równanie ma być kwadratowe: \(m\neq 0\).

\(\Delta=(m+1)^2-4m(-2m+3)=m^2+2m+1+8m^2-12m=9m^2-10m+1\)

\(9m^2-10m+1=(9m-1)(m-1)\)

\(\Delta\gt 0\iff m\lt\frac{1}{9}\;\vee\;m\gt 1\)

Ponadto rozwiązania mają być różne od zera, co oznacza, że wyraz wolny jest różny od zera:

\(-2m+3\neq 0\Rightarrow m\neq\frac{3}{2}\)

Etap II. Warunek \(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\lt 1\).

Ze wzorów Viète’a:

\(x_1+x_2=\frac{m+1}{m}\), \(\;x_1x_2=\frac{3-2m}{m}\)

\(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}\)

\((x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{(m+1)^2}{m^2}-\frac{2(3-2m)}{m}=\frac{(m+1)^2-2m(3-2m)}{m^2}=\frac{5m^2-4m+1}{m^2}\)

\((x_1x_2)^2=\frac{(3-2m)^2}{m^2}\)

Zatem warunek przyjmuje postać:

\(\frac{5m^2-4m+1}{(3-2m)^2}\lt 1\)

Ponieważ \((3-2m)^2\gt 0\) (bo \(m\neq\frac{3}{2}\)), mnożymy obie strony:

\(5m^2-4m+1\lt 4m^2-12m+9\)

\(m^2+8m-8\lt 0\)

\(\Delta=64+32=96\), \(\;\sqrt{96}=4\sqrt{6}\)

\(m\in\left(-4-2\sqrt{6},\;-4+2\sqrt{6}\right)\)

Etap III. Część wspólna warunków.

Szukamy \(m\) spełniających jednocześnie: \(m\neq 0\), \(m\neq\frac{3}{2}\), \(m\in\left(-\infty,\frac{1}{9}\right)\cup(1,+\infty)\) oraz \(m\in\left(-4-2\sqrt{6},-4+2\sqrt{6}\right)\).

Ponieważ \(-4+2\sqrt{6}\approx 0{,}899\lt 1\), część wspólna z \((1,+\infty)\) jest pusta, a z \(\left(-\infty,\frac{1}{9}\right)\) otrzymujemy przedział \(\left(-4-2\sqrt{6},\frac{1}{9}\right)\), z którego usuwamy \(m=0\).

Odpowiedź: \(m\in\left(-4-2\sqrt{6},\;0\right)\cup\left(0,\;\frac{1}{9}\right)\)

Jednym z rozwiązań jest \(x_3=4\). Niech \(x_1\), \(x_2\) będą rozwiązaniami trójmianu \(x^2+(m-3)x+m^2-m-6\).

Etap I. Trzy różne rozwiązania rzeczywiste.

Trójmian musi mieć dwa różne pierwiastki:

\(\Delta=(m-3)^2-4\left(m^2-m-6\right)=m^2-6m+9-4m^2+4m+24=-3m^2-2m+33\)

\(\Delta\gt 0\iff 3m^2+2m-33\lt 0\)

\(\Delta_m=4+396=400\), pierwiastki: \(m=-\frac{11}{3}\) oraz \(m=3\), zatem \(m\in\left(-\frac{11}{3},3\right)\).

Ponadto \(4\) nie może być pierwiastkiem trójmianu:

\(16+4(m-3)+m^2-m-6\neq 0\)

\(m^2+3m-2\neq 0\)

\(m\neq\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}\)

Etap II. Warunek nierówności.

Ze wzorów Viète’a: \(x_1+x_2=3-m\), \(\;x_1x_2=m^2-m-6\).

Lewa strona:

\(x_1x_2x_3=4\left(m^2-m-6\right)=4m^2-4m-24\)

Prawa strona — najpierw suma kwadratów:

\(x_1^2+x_2^2=(3-m)^2-2\left(m^2-m-6\right)=9-6m+m^2-2m^2+2m+12=-m^2-4m+21\)

\(x_1^2+x_2^2+x_3^2-5m-51=-m^2-4m+21+16-5m-51=-m^2-9m-14\)

Nierówność:

\(4m^2-4m-24\gt -m^2-9m-14\)

\(5m^2+5m-10\gt 0\)

\(m^2+m-2\gt 0\)

\((m+2)(m-1)\gt 0\)

\(m\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)\)

Etap III. Część wspólna.

Szukamy \(m\in\left(-\frac{11}{3},3\right)\) spełniających jednocześnie \(m\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)\) oraz \(m\neq\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}\).

Otrzymujemy przedziały \(\left(-\frac{11}{3},-2\right)\cup(1,3)\). Liczba \(\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\approx-3{,}56\) należy do pierwszego z nich, więc ją usuwamy; liczba \(\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\approx 0{,}56\) do żadnego z nich nie należy.

Odpowiedź: \(m\in\left(-\frac{11}{3},\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right)\cup\left(\frac{-3-\sqrt{17}}{2},-2\right)\cup(1,3)\)

Krok 1. Wzory Viète'a.

$$x_1+x_2=\frac{2(m+1)}{4}=\frac{m+1}{2},\qquad x_1x_2=\frac{m}{4}.$$

Krok 2. Dwa różne pierwiastki.

$$\Delta=4(m+1)^{2}-16m=4\left(m^{2}-2m+1\right)=4(m-1)^{2}.$$

$$\Delta>0\ \Longleftrightarrow\ (m-1)^{2}>0\ \Longleftrightarrow\ m\neq 1.$$

Krok 3. Pierwiastki różne od zera. Iloczyn $x_1x_2=\frac{m}{4}$ musi być niezerowy, więc $m\neq 0$.

Krok 4. Przekształcenie nierówności. Oznaczmy $S=x_1+x_2$, $P=x_1x_2$. Wtedy

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{S}{P},$$

a warunek przyjmuje postać

$$S\le\frac{S}{P}\ \Longleftrightarrow\ S-\frac{S}{P}\le 0\ \Longleftrightarrow\ \frac{S(P-1)}{P}\le 0.$$

Krok 5. Podstawienie. $S=\frac{m+1}{2}$, $P=\frac{m}{4}$, $P-1=\frac{m-4}{4}$:

$$\frac{\frac{m+1}{2}\cdot\frac{m-4}{4}}{\frac{m}{4}}=\frac{(m+1)(m-4)}{2m}\le 0.$$

Mnożąc przez $2m^{2}>0$ otrzymujemy równoważnie

$$m(m+1)(m-4)\le 0,\qquad m\neq 0.$$

Krok 6. Analiza znaku. Miejsca zerowe: $-1,\ 0,\ 4$; współczynnik wiodący dodatni. Iloczyn jest niedodatni na $(-\infty,-1]\cup(0,4]$ (punkt $0$ wykluczamy).

Krok 7. Uwzględnienie $m\neq1$.

$$m\in(-\infty,-1]\cup(0,1)\cup(1,4].$$

Kontrola: dla $m=2$ trójmian $4x^{2}-6x+2$ ma pierwiastki $\tfrac12$ i $1$; $S=1{,}5\le 3=\tfrac{1}{x_1}+\tfrac{1}{x_2}$ ✓. Dla $m=5$ pierwiastki $\tfrac12$ i $\tfrac52$, $S=3>2{,}4$ — warunek niespełniony, zgodnie z wykluczeniem.

Odpowiedź: $m\in(-\infty,-1]\cup(0,1)\cup(1,4]$

Liczba \(3\) jest rozwiązaniem równania dla każdego \(m\). Oznaczmy \(g(x)=x^2+(m-1)x-6m^2+2m\).

Krok 1. Wyróżnik trójmianu.

\(\Delta=(m-1)^2-4\left(-6m^2+2m\right)=m^2-2m+1+24m^2-8m=25m^2-10m+1=(5m-1)^2\)

Zatem \(\Delta\ge 0\) dla każdego \(m\), przy czym \(\Delta=0\iff m=\frac{1}{5}\).

Krok 2. Kiedy rozwiązań jest dokładnie dwa?

Równanie ma dokładnie dwa różne rozwiązania w dwóch przypadkach.

Przypadek A: trójmian ma jeden pierwiastek podwójny, różny od \(3\).

\(m=\frac{1}{5}\), a pierwiastkiem podwójnym jest \(x=\frac{1-m}{2}=\frac{1-\frac{1}{5}}{2}=\frac{2}{5}\neq 3\) ✓

Rozwiązania: \(3\) oraz \(\frac{2}{5}\) — dokładnie dwa.

Przypadek B: trójmian ma dwa różne pierwiastki, z których jeden jest równy \(3\).

\(g(3)=0\):

\(9+3(m-1)-6m^2+2m=0\)

\(9+3m-3-6m^2+2m=0\)

\(-6m^2+5m+6=0\), czyli \(6m^2-5m-6=0\)

\(\Delta_m=25+144=169\), \(\;\sqrt{\Delta_m}=13\)

\(m=\frac{5-13}{12}=-\frac{2}{3}\) lub \(m=\frac{5+13}{12}=\frac{3}{2}\)

Obie wartości są różne od \(\frac{1}{5}\), więc \(\Delta\gt 0\) i trójmian ma dwa różne pierwiastki.

Dla \(m=\frac{3}{2}\): \(g(x)=x^2+\frac{1}{2}x-\frac{21}{2}\), pierwiastki \(3\) i \(-\frac{7}{2}\) — rozwiązania równania: \(3\) i \(-\frac{7}{2}\) ✓

Dla \(m=-\frac{2}{3}\): \(g(x)=x^2-\frac{5}{3}x-4\), pierwiastki \(3\) i \(-\frac{4}{3}\) ✓

Odpowiedź: \(m=-\frac{2}{3}\), \(m=\frac{1}{5}\) lub \(m=\frac{3}{2}\)

Krok 1. Wyróżnik.

\(\Delta=(2-4m)^2-4\cdot 4\cdot\left(m^2-m-2\right)\)

\(=4-16m+16m^2-16m^2+16m+32=36\)

Wyróżnik jest stały i dodatni, więc dla każdego \(m\) równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

Krok 2. Pierwiastki.

\(\sqrt{\Delta}=6\)

\(x_1=\frac{(4m-2)-6}{8}=\frac{4m-8}{8}=\frac{m-2}{2}\)

\(x_2=\frac{(4m-2)+6}{8}=\frac{4m+4}{8}=\frac{m+1}{2}\)

Krok 3. Warunek dodatniości obu pierwiastków.

\(\frac{m-2}{2}\gt 0\;\wedge\;\frac{m+1}{2}\gt 0\)

\(m\gt 2\;\wedge\;m\gt -1\Rightarrow m\gt 2\)

Krok 4. Nierówność \(x_1^2+x_2^2\le\frac{17}{4}\).

\(\left(\frac{m-2}{2}\right)^2+\left(\frac{m+1}{2}\right)^2\le\frac{17}{4}\)

\(\frac{(m-2)^2+(m+1)^2}{4}\le\frac{17}{4}\)

\(m^2-4m+4+m^2+2m+1\le 17\)

\(2m^2-2m-12\le 0\)

\(m^2-m-6\le 0\)

\((m-3)(m+2)\le 0\)

\(m\in\langle-2,3\rangle\)

Krok 5. Część wspólna.

\(m\gt 2\;\wedge\;-2\le m\le 3\Rightarrow m\in(2,3\rangle\)

Odpowiedź: \(m\in(2,3\rangle\)

Krok 1. Warunek dwóch różnych rozwiązań.

\(\Delta=9m^2-4(m+1)(2m-1)=9m^2-4\left(2m^2+m-1\right)=m^2-4m+4=(m-2)^2\)

\(\Delta\gt 0\iff m\neq 2\)

Krok 2. Warunek \(x_1x_2\neq 0\).

\(x_1x_2=(m+1)(2m-1)\neq 0\Rightarrow m\neq-1\;\wedge\;m\neq\frac{1}{2}\)

Krok 3. Przekształcenie warunku na sumę odwrotności.

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}\)

Część A: \(\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}\gt 0\).

Mianownik jest dodatni dla \(m\lt-1\) lub \(m\gt\frac{1}{2}\), ujemny dla \(-1\lt m\lt\frac{1}{2}\). Licznik ma znak liczby \(m\). Iloraz jest dodatni, gdy:

\(m\in(-1,0)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\)

Część B: \(\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}\le\frac{2}{3}\).

\(\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}-\frac{2}{3}\le 0\)

\(\frac{9m-2(m+1)(2m-1)}{3(m+1)(2m-1)}\le 0\)

\(9m-2\left(2m^2+m-1\right)=-4m^2+7m+2=-(m-2)(4m+1)\)

Nierówność jest równoważna:

\(\frac{(m-2)(4m+1)}{(m+1)(2m-1)}\ge 0\)

Punkty krytyczne: \(-1\), \(-\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{2}\), \(2\). Analiza znaków daje:

\(m\in(-\infty,-1)\cup\left\langle-\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\cup\langle 2,+\infty)\)

Krok 4. Część wspólna wszystkich warunków.

\(\left[(-1,0)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\right]\cap\left[(-\infty,-1)\cup\left\langle-\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\cup\langle 2,+\infty)\right]=\left\langle-\frac{1}{4},0\right)\cup\langle 2,+\infty)\)

Z warunku \(m\neq 2\) usuwamy liczbę \(2\).

Odpowiedź: \(m\in\left\langle-\frac{1}{4},0\right)\cup(2,+\infty)\)

Krok 1. Uproszczenie warunku. Oznaczmy $D=4x_1-4x_2$. Lewa strona to różnica kwadratów:

$$(D-1)(D+1)=D^{2}-1\lt 0\ \Longleftrightarrow\ D^{2}\lt 1.$$

$$16\left(x_1-x_2\right)^{2}\lt 1\ \Longleftrightarrow\ \left(x_1-x_2\right)^{2}\lt \frac{1}{16}.$$

Krok 2. Wzory Viète'a. Dla równania $4x^{2}-6mx+(2m+3)(m-3)=0$:

$$S=x_1+x_2=\frac{6m}{4}=\frac{3m}{2},\qquad P=x_1x_2=\frac{(2m+3)(m-3)}{4}.$$

Krok 3. Kwadrat różnicy pierwiastków.

$$\left(x_1-x_2\right)^{2}=\left(x_1+x_2\right)^{2}-4x_1x_2=S^{2}-4P.$$

Rozwijamy $(2m+3)(m-3)=2m^{2}-3m-9$, zatem

$$\left(x_1-x_2\right)^{2}=\frac{9m^{2}}{4}-\left(2m^{2}-3m-9\right)=\frac{9m^{2}-8m^{2}}{4}+3m+9=\frac{m^{2}}{4}+3m+9.$$

$$=\frac{m^{2}+12m+36}{4}=\frac{(m+6)^{2}}{4}.$$

Krok 4. Warunek dwóch różnych pierwiastków. Pierwiastki są różne dokładnie wtedy, gdy $\left(x_1-x_2\right)^{2}>0$:

$$\frac{(m+6)^{2}}{4}>0\ \Longleftrightarrow\ m\neq-6.$$

Krok 5. Warunek z treści zadania.

$$\frac{(m+6)^{2}}{4}\lt \frac{1}{16}\ \Longleftrightarrow\ (m+6)^{2}\lt \frac14\ \Longleftrightarrow\ |m+6|\lt \frac12.$$

$$-\frac12\lt m+6\lt \frac12\ \Longleftrightarrow\ -\frac{13}{2}\lt m\lt -\frac{11}{2}.$$

Krok 6. Część wspólna. Usuwamy punkt $m=-6$:

$$m\in\left(-\frac{13}{2},\,-6\right)\cup\left(-6,\,-\frac{11}{2}\right).$$

Kontrola: dla $m=-5{,}75$ mamy $(m+6)^{2}=0{,}0625$, więc $\left(x_1-x_2\right)^{2}=0{,}015625=\frac{1}{64}\lt \frac{1}{16}$ ✓ oraz $\Delta>0$ ✓

Odpowiedź: $m\in\left(-\frac{13}{2},-6\right)\cup\left(-6,-\frac{11}{2}\right)$

Oznaczmy \(f(x)=x^2-3mx+2m^2+1\); współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni.

Warunek I: dwa różne pierwiastki.

\(\Delta=9m^2-4\left(2m^2+1\right)=m^2-4\)

\(\Delta\gt 0\iff m^2\gt 4\iff m\in(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)

Warunek II: oba pierwiastki mniejsze od \(3\).

Ponieważ ramiona paraboli są skierowane w górę, oba pierwiastki są mniejsze od \(3\) wtedy i tylko wtedy, gdy:

\(f(3)\gt 0\) oraz \(x_w\lt 3\)

Warunek \(f(3)\gt 0\):

\(9-9m+2m^2+1\gt 0\)

\(2m^2-9m+10\gt 0\)

\(\Delta_m=81-80=1\), pierwiastki \(m=2\) oraz \(m=\frac{5}{2}\)

\(m\in(-\infty,2)\cup\left(\frac{5}{2},+\infty\right)\)

Warunek na wierzchołek:

\(x_w=\frac{3m}{2}\lt 3\Rightarrow m\lt 2\)

Część wspólna.

\(\left[(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\right]\cap\left[(-\infty,2)\cup\left(\frac{5}{2},+\infty\right)\right]\cap(-\infty,2)=(-\infty,-2)\)

Odpowiedź: \(m\in(-\infty,-2)\)

Krok 1. Wzory Viète'a i wyróżnik. Współczynnik przy $x^{2}$ równa się $1$, więc

$$x_1+x_2=-2(m+1),\qquad x_1x_2=6m+1.$$

$$\Delta=4(m+1)^{2}-4(6m+1)=4\left(m^{2}+2m+1-6m-1\right)=4\left(m^{2}-4m\right)=4m(m-4).$$

Krok 2. Warunek I — dwa różne pierwiastki.

$$\Delta>0\ \Longleftrightarrow\ m(m-4)>0\ \Longleftrightarrow\ m\lt 0\ \text{lub}\ m>4.$$

Krok 3. Warunek II — pierwiastki tego samego znaku. Dwie liczby mają ten sam znak dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni:

$$x_1x_2>0\ \Longleftrightarrow\ 6m+1>0\ \Longleftrightarrow\ m>-\frac16.$$

Krok 4. Warunek III — odległość pierwiastków. Ponieważ współczynnik wiodący wynosi $1$:

$$\left(x_1-x_2\right)^{2}=\left(x_1+x_2\right)^{2}-4x_1x_2=\Delta.$$

$$|x_1-x_2|\lt 3\ \Longleftrightarrow\ \Delta\lt 9\ \Longleftrightarrow\ 4m^{2}-16m-9\lt 0.$$

$$\Delta^{\prime}=256+144=400,\qquad \sqrt{\Delta^{\prime}}=20,\qquad m=\frac{16\pm20}{8}.$$

$$m_1=-\frac12,\qquad m_2=\frac92\ \Longrightarrow\ m\in\left(-\frac12,\ \frac92\right).$$

Krok 5. Część wspólna wszystkich warunków.

Z warunków I i II: $m\in\left(-\frac16,0\right)\cup(4,+\infty)$.

Po przecięciu z warunkiem III:

$$m\in\left(-\frac{1}{6},\ 0\right)\cup\left(4,\ \frac{9}{2}\right).$$

Kontrola: dla $m=-0{,}1$: $\Delta=1{,}64>0$, $x_1x_2=0{,}4>0$, $\Delta\lt 9$ ✓; dla $m=4{,}2$: $\Delta=3{,}36$, $x_1x_2=26{,}2$ ✓; dla $m=5$: $\Delta=20>9$ — warunek III niespełniony ✓

Odpowiedź: $m\in\left(-\frac{1}{6},0\right)\cup\left(4,\frac{9}{2}\right)$

Krok 1. Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków.

\(\Delta=(k-1)^2-4k^2\cdot 1=k^2-2k+1-4k^2=-3k^2-2k+1\)

\(\Delta\gt 0\iff 3k^2+2k-1\lt 0\iff(3k-1)(k+1)\lt 0\)

\(k\in\left(-1,\frac{1}{3}\right)\), a ponadto \(k\neq 0\), zatem:

\(k\in(-1,0)\cup\left(0,\frac{1}{3}\right)\)

Krok 2. Wyznaczenie \(m\).

Ze wzorów Viète’a: \(x_1+x_2=-\frac{k-1}{k^2}\), \(\;x_1x_2=\frac{1}{k^2}\)

\(m=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-\frac{k-1}{k^2}}{\frac{1}{k^2}}=-(k-1)=1-k\)

Krok 3. Funkcja.

\(f(k)=2^{\,1-k}\) dla \(k\in(-1,0)\cup\left(0,\frac{1}{3}\right)\)

Funkcja ta jest malejąca (podstawa \(2\gt 1\), a wykładnik \(1-k\) maleje wraz ze wzrostem \(k\)).

Krok 4. Zbiór wartości.

Obliczamy wartości na końcach przedziałów:

\(f(-1)=2^{2}=4\), \(\;f(0)=2^{1}=2\), \(\;f\left(\frac{1}{3}\right)=2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{4}\)

Dla \(k\in(-1,0)\) otrzymujemy wartości z przedziału \((2,4)\).

Dla \(k\in\left(0,\frac{1}{3}\right)\) otrzymujemy wartości z przedziału \(\left(\sqrt[3]{4},2\right)\).

Odpowiedź: \(ZW=\left(\sqrt[3]{4},2\right)\cup(2,4)\)

Krok 1. Warunek istnienia trójmianu. Współczynnik przy $x^{2}$ musi być niezerowy: $m\neq-1$.

Krok 2. Wzory Viète'a i wyróżnik.

$$S=x_1+x_2=\frac{-2(m-2)}{m+1},\qquad P=x_1x_2=\frac{4-m}{m+1}.$$

$$\Delta=4(m-2)^{2}-4(m+1)(4-m)=4\left(2m^{2}-7m\right)=4m(2m-7).$$

$$\Delta>0\ \Longleftrightarrow\ m\lt 0\ \text{lub}\ m>\frac{7}{2}.$$

Krok 3. Przekształcenie warunku. Prawą stronę rozkładamy jako różnicę kwadratów:

$$x_1^{4}-x_2^{4}=\left(x_1^{2}-x_2^{2}\right)\left(x_1^{2}+x_2^{2}\right).$$

Warunek przyjmuje postać

$$\left(x_1^{2}-x_2^{2}\right)\left[1-\left(x_1^{2}+x_2^{2}\right)\right]=0,$$

więc $x_1^{2}=x_2^{2}$ albo $x_1^{2}+x_2^{2}=1$.

Krok 4. Pierwsza możliwość. Skoro $x_1\neq x_2$, równość $x_1^{2}=x_2^{2}$ oznacza $x_1=-x_2$, czyli $S=0$:

$$\frac{-2(m-2)}{m+1}=0\ \Longrightarrow\ m=2.$$

Sprawdzamy wyróżnik: $\Delta=4\cdot2\cdot(4-7)=-24\lt 0$ — brak pierwiastków rzeczywistych. Ta możliwość odpada.

Krok 5. Druga możliwość.

$$x_1^{2}+x_2^{2}=S^{2}-2P=1.$$

$$\frac{4(m-2)^{2}}{(m+1)^{2}}-\frac{2(4-m)}{m+1}=1\ \Big|\cdot(m+1)^{2}$$

$$4(m-2)^{2}-2(4-m)(m+1)=(m+1)^{2},$$

$$4m^{2}-16m+16+2m^{2}-6m-8=m^{2}+2m+1,$$

$$5m^{2}-24m+7=0.$$

$$\Delta=576-140=436,\qquad \sqrt{436}=2\sqrt{109},$$

$$m=\frac{24\pm2\sqrt{109}}{10}=\frac{12\pm\sqrt{109}}{5}.$$

Krok 6. Weryfikacja warunku $\Delta>0$. Ponieważ $\sqrt{109}\approx10{,}44$:

$$m_1=\frac{12-\sqrt{109}}{5}\approx0{,}31\quad\text{— nie spełnia } (m\lt 0 \text{ lub } m>3{,}5)\ \text{✗}$$

$$m_2=\frac{12+\sqrt{109}}{5}\approx4{,}49>\frac72\ \text{✓}$$

Kontrola liczbowa dla $m\approx4{,}49$: $S\approx-0{,}907$, $P\approx-0{,}0889$, więc $S^{2}-2P\approx1{,}000$ ✓

Odpowiedź: $m=\frac{12+\sqrt{109}}{5}$

Oznaczmy \(a=\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}\), \(\;b=-(m-2)\), \(\;c=m-5\); zakładamy \(m\neq 5\).

Warunek I: funkcja przyjmuje wartość największą.

Funkcja kwadratowa ma wartość największą, gdy \(a\lt 0\):

\(\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}\lt 0\)

Analiza znaków (punkty krytyczne \(-3\), \(2\), \(5\)) daje:

\(m\in(-\infty,-3)\cup(2,5)\)

Warunek II: dwa różne miejsca zerowe.

\(\Delta=(m-2)^2-4\cdot\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}\cdot(m-5)=(m-2)^2-4(m+3)(m-2)\)

\(=(m-2)\left[(m-2)-4(m+3)\right]=(m-2)(-3m-14)\)

\(\Delta\gt 0\iff(m-2)(3m+14)\lt 0\iff m\in\left(-\frac{14}{3},2\right)\)

Warunek III: miejsca zerowe tego samego znaku.

\(x_1\cdot x_2\gt 0\), czyli \(\frac{c}{a}\gt 0\):

\(\frac{m-5}{\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}}=\frac{(m-5)^2}{(m+3)(m-2)}\gt 0\)

Ponieważ \((m-5)^2\gt 0\) dla \(m\neq 5\), warunek sprowadza się do \((m+3)(m-2)\gt 0\):

\(m\in(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\)

Część wspólna.

\(\left[(-\infty,-3)\cup(2,5)\right]\cap\left(-\frac{14}{3},2\right)\cap\left[(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\right]=\left(-\frac{14}{3},-3\right)\)

Ponieważ \(-\frac{14}{3}\approx-4{,}67\), jedyną liczbą całkowitą w tym przedziale jest \(m=-4\).

Sprawdzenie dla \(m=-4\): \(a=\frac{(-1)(-6)}{-9}=-\frac{2}{3}\lt 0\) ✓, \(\Delta=(-6)(-2)=12\gt 0\) ✓, \(\frac{c}{a}=\frac{-9}{-\frac{2}{3}}=13{,}5\gt 0\) ✓

Odpowiedź: \(m=-4\)

Krok 1. Odległość punktu od prostej. Dla punktu $(x,0)$ i prostej $x+y+1=0$:

$$d=\frac{|x+0+1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{|x+1|}{\sqrt2},\qquad d^{2}=\frac{(x+1)^{2}}{2}.$$

Krok 2. Zapis warunku.

$$\frac{(x_1+1)^{2}}{2}+\frac{(x_2+1)^{2}}{2}=6\ \Longrightarrow\ (x_1+1)^{2}+(x_2+1)^{2}=12.$$

Rozwijamy i grupujemy:

$$\left(x_1^{2}+x_2^{2}\right)+2\left(x_1+x_2\right)+2=12.$$

Korzystając z $x_1^{2}+x_2^{2}=S^{2}-2P$:

$$S^{2}-2P+2S=10.$$

Krok 3. Wzory Viète'a.

$$S=2m+2,\qquad P=2m+5.$$

$$(2m+2)^{2}-2(2m+5)+2(2m+2)=10,$$

$$4m^{2}+8m+4-4m-10+4m+4=10\ \Longrightarrow\ 4m^{2}+8m-12=0,$$

$$m^{2}+2m-3=0\ \Longrightarrow\ (m+3)(m-1)=0\ \Longrightarrow\ m=-3\ \text{lub}\ m=1.$$

Krok 4. Warunek dwóch różnych pierwiastków.

$$\Delta=(2m+2)^{2}-4(2m+5)=4m^{2}-16>0\ \Longleftrightarrow\ m\lt -2\ \text{lub}\ m>2.$$

Wartość $m=1$ nie spełnia tego warunku i odpada; $m=-3$ spełnia.

Sprawdzenie dla $m=-3$: $f(x)=x^{2}+4x-1$, $\Delta=20>0$, $S=-4$, $P=-1$, a $S^{2}-2P+2S=16+2-8=10$ ✓

Odpowiedź: $m=-3$

Mamy \(a=2\), \(b=3-2m\), \(c=1-m\). Wyróżnik:

\(\Delta=(3-2m)^2-8(1-m)=4m^2-12m+9-8+8m=4m^2-4m+1=(2m-1)^2\).

Warunek dwóch różnych pierwiastków: \(\Delta>0\), czyli \(m\neq\tfrac12\).

Ze wzorów Viète'a \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\dfrac{\Delta}{a^2}\), więc

\(|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=\dfrac{|2m-1|}{2}=3\).

Stąd \(|2m-1|=6\), czyli \(2m-1=6\) lub \(2m-1=-6\), a więc \(m=\tfrac72\) lub \(m=-\tfrac52\). Oba spełniają warunek \(m\neq\tfrac12\).

Krok 1. Wzory Viète'a.

$$S=x_1+x_2=m+2,\qquad P=x_1x_2=m+4.$$

Krok 2. Warunek dwóch różnych pierwiastków.

$$\Delta=(m+2)^{2}-4(m+4)=m^{2}+4m+4-4m-16=m^{2}-12.$$

$$\Delta>0\ \Longleftrightarrow\ m^{2}>12\ \Longleftrightarrow\ |m|>2\sqrt{3}\approx3{,}46.$$

Krok 3. Wyrażenie $x_1^{4}+x_2^{4}$. Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na sumę kwadratów:

$$x_1^{2}+x_2^{2}=S^{2}-2P=(m+2)^{2}-2(m+4)=m^{2}+2m-4,$$

$$x_1^{4}+x_2^{4}=\left(x_1^{2}+x_2^{2}\right)^{2}-2\left(x_1x_2\right)^{2}=\left(m^{2}+2m-4\right)^{2}-2(m+4)^{2}.$$

Krok 4. Rozwinięcie.

$$\left(m^{2}+2m-4\right)^{2}=m^{4}+4m^{3}-4m^{2}-16m+16,$$

$$2(m+4)^{2}=2m^{2}+16m+32,$$

$$x_1^{4}+x_2^{4}=m^{4}+4m^{3}-6m^{2}-32m-16.$$

Krok 5. Równanie na $m$. Przyrównujemy do prawej strony z treści zadania:

$$m^{4}+4m^{3}-6m^{2}-32m-16=4m^{3}+6m^{2}-32m+12.$$

Wyrazy $4m^{3}$ oraz $-32m$ skracają się:

$$m^{4}-12m^{2}-28=0.$$

Krok 6. Podstawienie $u=m^{2}$.

$$u^{2}-12u-28=0,\qquad \Delta=144+112=256,\qquad \sqrt{\Delta}=16.$$

$$u=\frac{12\pm16}{2}\ \Longrightarrow\ u=14\quad\text{lub}\quad u=-2.$$

Ponieważ $u=m^{2}\ge0$, odrzucamy $u=-2$. Zostaje

$$m^{2}=14\ \Longrightarrow\ m=\pm\sqrt{14}.$$

Krok 7. Weryfikacja warunku $\Delta>0$.

$$|{\pm\sqrt{14}}|=\sqrt{14}\approx3{,}74>2\sqrt{3}\approx3{,}46\ \checkmark$$

Obie wartości spełniają warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków.

Kontrola liczbowa dla $m=\sqrt{14}$: $x_1^{2}+x_2^{2}\approx17{,}48$, więc $x_1^{4}+x_2^{4}\approx185{,}8$; prawa strona $\approx185{,}8$ ✓. Dla $m=-\sqrt{14}$ obie strony dają $\approx6{,}2$ ✓

Odpowiedź: $m=-\sqrt{14}$ lub $m=\sqrt{14}$

Etap I — dwa różne pierwiastki. Mamy \(a=1\), \(b=-4m\), \(c=-m^3+6m^2+m-2\), więc

\(\Delta=16m^2-4(-m^3+6m^2+m-2)=4m^3-8m^2-4m+8=4(m-2)(m-1)(m+1)\).

Warunek \(\Delta>0\) daje \((m+1)(m-1)(m-2)>0\), czyli \(m\in(-1,1)\cup(2,+\infty)\).

Etap II — warunek na pierwiastki. Ze wzorów Viète'a \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\Delta\), więc

\(4(m-2)(m-1)(m+1)\lt 8(m+1)\),

\(4(m+1)\bigl[(m-2)(m-1)-2\bigr]\lt 0\),

\(4(m+1)(m^2-3m)\lt 0\), czyli \(4m(m+1)(m-3)\lt 0\).

Miejsca zerowe to \(-1,0,3\); badając znaki otrzymujemy \(m\in(-\infty,-1)\cup(0,3)\).

Etap III — część wspólna.

\(\bigl[(-1,1)\cup(2,+\infty)\bigr]\cap\bigl[(-\infty,-1)\cup(0,3)\bigr]=(0,1)\cup(2,3)\).

Odpowiedź: \(m\in(0,1)\cup(2,3)\).

Etap I. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

\(\Delta=(m-2)^2-4\cdot 2\cdot(-3m)=m^2-4m+4+24m=m^2+20m+4\)

\(\Delta\gt 0\iff m^2+20m+4\gt 0\)

\(\Delta_m=400-16=384\), \(\;\sqrt{384}=8\sqrt{6}\)

Pierwiastki: \(m=\frac{-20\pm 8\sqrt{6}}{2}=-10\pm 4\sqrt{6}\)

\(m\in\left(-\infty,-10-4\sqrt{6}\right)\cup\left(-10+4\sqrt{6},+\infty\right)\)

Etap II. Warunek na pierwiastki.

Zauważamy, że \(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1-x_2)^2\), a ponadto:

\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\)

Ze wzorów Viète’a: \(x_1+x_2=\frac{m-2}{2}\), \(\;x_1x_2=-\frac{3m}{2}\)

\((x_1-x_2)^2=\frac{(m-2)^2}{4}+6m=\frac{(m-2)^2+24m}{4}=\frac{m^2+20m+4}{4}\)

Warunek \((x_1-x_2)^2\le 25\):

\(m^2+20m+4\le 100\)

\(m^2+20m-96\le 0\)

\(\Delta_m=400+384=784\), \(\;\sqrt{784}=28\)

\(m\in\langle-24,4\rangle\)

Etap III. Część wspólna.

\(-10-4\sqrt{6}\approx-19{,}80\), \(\;-10+4\sqrt{6}\approx-0{,}20\)

Odpowiedź: \(m\in\left\langle-24,\;-10-4\sqrt{6}\right)\cup\left(-10+4\sqrt{6},\;4\right\rangle\)

Warunek I — dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

\(\Delta=m^2-8>0\), czyli \(m\in(-\infty,-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2,+\infty)\).

Warunek II — suma kwadratów. Ze wzorów Viète'a \(x_1+x_2=-m\), \(x_1x_2=2\), więc

\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=m^2-4\).

Nierówność \(m^2-4>2m^2-13\) daje \(m^2\lt 9\), czyli \(m\in(-3,3)\).

Część wspólna.

\(m\in(-3,-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2,3)\).

Wzór funkcji. Dla \(m\neq-2\) równanie jest kwadratowe, więc ze wzorów Viète'a

\(f(m)=x_1x_2=\dfrac{3m+2}{m+2}\).

Dziedzina. Równanie musi mieć dwa różne pierwiastki, czyli \(\Delta>0\):

\(\Delta=(m+2)^4-4(m+2)(3m+2)=(m+2)\bigl[(m+2)^3-4(3m+2)\bigr]\).

\((m+2)^3-12m-8=m^3+6m^2+12m+8-12m-8=m^3+6m^2=m^2(m+6)\),

zatem \(\Delta=m^2(m+2)(m+6)\).

Warunek \(\Delta>0\) oznacza \(m\neq0\) oraz \((m+2)(m+6)>0\), czyli \(m\lt -6\) lub \(m>-2\).

Uwzględniając założenie \(m\neq-2\) otrzymujemy

\(D_f=(-\infty,-6)\cup(-2,0)\cup(0,+\infty)\).

Szkic wykresu. Przekształcamy wzór:

\(f(m)=\dfrac{3(m+2)-4}{m+2}=3-\dfrac{4}{m+2}\).

Jest to hiperbola o asymptotach \(m=-2\) (pionowa) i \(y=3\) (pozioma), powstała z wykresu \(y=-\tfrac4m\) przez przesunięcie o wektor \([-2,3]\). Rysujemy tylko te jej części, które odpowiadają dziedzinie: gałąź dla \(m\lt -6\) (bez punktu \(m=-6\), gdzie \(f(-6)=4\)) oraz gałąź dla \(m>-2\) z wyłączonym punktem \((0,1)\).