Przekształcenia wykresów funkcji trygonometrycznych
Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📘Teoria 3
Amplituda
W $y=a\sin x$ liczba $|a|$ to amplituda (rozciągnięcie pionowe).
Okres
W $y=\sin(bx)$ okres wynosi $\frac{2\pi}{|b|}$.
Przesunięcie
$y=\sin(x-p)+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$.
Odbicia
$y=-\sin x$ to odbicie względem osi $OX$.
Przesunięcie poziome
$y=\sin(x-p)$ przesuwa wykres w prawo o $p$.
Przesunięcie pionowe
$y=\sin x+q$ przesuwa wykres w górę o $q$.
Zachowanie okresu
Przesunięcia nie zmieniają okresu ani amplitudy.
Przykład
$\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$.
Amplituda
$y=a\sin x$ ma amplitudę $|a|$; $a\lt 0$ odbija wykres względem osi $OX$.
Okres
$y=\sin(bx)$ ma okres $\frac{2\pi}{|b|}$.
Złożenie
$y=a\sin(bx)$ łączy zmianę amplitudy i okresu.
Przykład
$y=2\sin(3x)$ ma amplitudę $2$ i okres $\frac{2\pi}{3}$.
∑Wzory 1
Wykres przesuwamy o $p$ w poziomie i o $q$ w pionie.
Przykład: $y=(x-3)^2+1$ to $y=x^2$ przesunięty o $[3,1]$.
🧩Quizy 3
✍Zadania dodatkowe 18
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Zbiór wartości funkcji $y=\sin x$ to:
Podaj największą i najmniejszą wartość funkcji $y=\cos x$ oraz argumenty, w których je osiąga w przedziale $\langle0,\ 2\pi)$.
Amplituda funkcji $y=3\sin x$ wynosi:
Funkcja $y=\sin x+2$ powstaje przez przesunięcie wykresu $y=\sin x$:
Podaj zbiór wartości funkcji $y=2\cos x$.
Okres funkcji $y=\cos x$ wynosi:
Funkcja $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$. O ile i w którą stronę przesunięto wykres sinusa? Do jakiej znanej funkcji się on sprowadza?
Okres funkcji $y=\sin(2x)$ wynosi:
Podaj zbiór wartości funkcji $y=\sin x+1$ oraz jej wartość największą i najmniejszą.
Funkcja $y=\sin(x+\pi)$ jest równa:
Funkcja $y=-\sin x$ powstaje z $y=\sin x$ przez:
Ile miejsc zerowych ma funkcja $y=\sin x$ w przedziale $\langle0,\ 2\pi\rangle$?
Podaj amplitudę, okres i zbiór wartości funkcji $y=2\sin x$.
Funkcja $y=\cos x$ jest:
Funkcja $y=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$. Do jakiej funkcji się sprowadza?
Zbiór wartości funkcji $y=3\sin x-1$ to:
Dla funkcji $y=2\sin x-1$ wyznacz amplitudę, zbiór wartości oraz wartość największą i najmniejszą. Podaj argumenty, w których je osiąga w $\langle0,\ 2\pi)$.
Funkcja $y=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ powstaje przez przesunięcie wykresu sinusa o wektor. Podaj ten wektor i wyznacz miejsce zerowe najbliższe zeru z prawej strony.
📄Zadania z arkuszy 2
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji.
Wskaż wzór funkcji \(f\).
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=\dfrac{\sin^2x-|\sin x|}{\sin x}\) dla \(x\in(0,\pi)\cup(\pi,2\pi)\).
a) Naszkicuj wykres funkcji \(f\).
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji \(f\).