Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(3x+y+2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=x^2-2x-8\) w punktach \(A\) oraz \(B\), które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Wierzchołek \(A\) ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{2}x+1\) i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu \(C\) od prostej zawierającej bok \(AB\) równoległoboku jest równa \(\frac{9\sqrt{10}}{5}\).
Oblicz długość boku \(BC\) tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
W okrąg o równaniu \((x-1)^2+(y-2)^2=25\) wpisano trójkąt \(ABC\). Bok \(AB\) tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu \(4x-3y+2=0\). Wysokość \(CD\) tego trójkąta dzieli bok \(AB\) tak, że \(|AD|=4\cdot|DB|\).
Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.
Dane są prosta \(k\) o równaniu \(x-2y=0\) i prosta \(l\) o równaniu \(2x+y-1=0\). Punkt \(P\) leży na prostej o równaniu \(y=x+4\). Odległość punktu \(P\) od prostej \(k\) jest dwa razy większa niż odległość punktu \(P\) od prostej \(l\).
Oblicz współrzędne punktu \(P\).
Punkt \(A=(-2,6)\) jest wierzchołkiem rombu \(ABCD\) o polu \(90\). Przekątna \(BD\) zawiera się w prostej \(l\) o równaniu \(2x-y-5=0\).
Wyznacz długość boku tego rombu.
Prosta o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{61}{14}\) jest styczna do okręgu o środku \(S=(1,-4)\).
Wyznacz promień tego okręgu.
Punkty \(A=(-5,5)\), \(C=(8,6)\) są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\). Prosta o równaniu \(y=2x\) jest osią symetrii tego trapezu.
Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(D\) oraz pole tego trapezu.
Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu \(y=\tfrac14x^2+1\) jest równoodległy od osi \(Ox\) i od punktu \(F=(0,2)\).
Okrąg o środku $S=(a,\,b)$ i promieniu $r$ opisuje równanie:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Dla środka w początku układu upraszcza się ono do $x^2+y^2=r^2$.
Uwaga na znaki: w równaniu $(x-2)^2+(y+3)^2=25$ mamy $(y+3)=(y-(-3))$, więc:
$$S=(2,\,-3),\qquad r=\sqrt{25}=5$$
Po prawej stronie stoi kwadrat promienia — to najczęstsze źródło pomyłek.
Podstawiamy współrzędne punktu do lewej strony równania i porównujemy z $r^2$:
Równoważnie: porównujemy odległość punktu od środka z promieniem.
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
To twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.
Dla prostej w postaci ogólnej $Ax+By+C=0$ i punktu $P=(x_0,\,y_0)$:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Przykład: odległość punktu $(3,\,4)$ od prostej $3x+4y-10=0$ wynosi $\frac{|9+16-10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{15}{5}=3$.
Porównujemy odległość $d$ środka okręgu od prostej z promieniem $r$:
Wzoru na odległość punktu od prostej wolno użyć dopiero wtedy, gdy prosta jest zapisana w postaci ogólnej (z zerem po prawej stronie). Równanie $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.
Odległość punktu $(x_0,y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$.
Przykład: $P(1,2)$ i $3x+4y-1=0$: $d=\frac{|3+8-1|}{5}=2$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Prosta ma równanie $y=3x-2$. Jaki jest jej współczynnik kierunkowy?
Wyznacz równanie prostej o współczynniku kierunkowym $a=2$ przechodzącej przez punkt $P=(1,\,5)$.
Oblicz odległość punktu $P=(1,\,1)$ od prostej $3x+4y-19=0$.
Prosta prostopadła do $y=2x+1$ ma współczynnik kierunkowy:
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(1,\,1)$, $B=(5,\,1)$, $C=(3,\,6)$.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(2,\,1)$ i $B=(4,\,7)$.
Proste $y=2x+3$ i $y=2x-4$ są:
Wyznacz punkt przecięcia prostej $y=x+1$ z osią OX oraz z osią OY.
Czy punkt $P=(1,\,2)$ leży na okręgu $x^2+y^2=5$?
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $P=(0,\,4)$ i prostopadłej do prostej $y=\frac12 x-1$.
Oblicz odległość punktu $P=(0,\,0)$ od prostej $x+y-6=0$.
Środek odcinka o końcach $A=(-2,\,4)$ i $B=(6,\,-2)$ to punkt:
Wierzchołki trójkąta to $A=(0,\,0)$, $B=(6,\,0)$, $C=(0,\,8)$. Oblicz jego pole, obwód oraz promień okręgu wpisanego.
Prosta $y=-x+5$ przecina oś OX w punkcie:
Sprawdź, czy prosta $y=x+1$ jest styczna do okręgu $x^2+y^2=2$.
Wyznacz równanie symetralnej odcinka $AB$, gdzie $A=(2,\,1)$ i $B=(6,\,5)$.
Okrąg ma środek $S=(1,\,2)$ i przechodzi przez punkt $A=(4,\,6)$. Wyznacz jego równanie i sprawdź, czy punkt $B=(-2,\,2)$ leży na tym okręgu.
Oblicz odległość między punktami $A=(1,\,2)$ i $B=(4,\,6)$.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(0,\,1)$ i $B=(2,\,7)$.
Prosta $k$ ma równanie $y=2x-5$. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do $k$ wynosi:
Który punkt jest obrazem punktu $P=(4,\,-2)$ w symetrii względem osi OX?
Dane są punkty $A=(1,\,2)$ i $B=(5,\,4)$. Wyznacz współrzędne wektora $\vec{AB}$ oraz jego długość.
Proste $y=3x+2$ i $y=3x-7$ są:
Oblicz odległość punktu $P=(3,\,4)$ od prostej o równaniu $3x+4y-10=0$.
Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,0)$, $C=(0,\,3)$ jest prostokątny, i oblicz jego pole.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $P=(1,\,5)$ i równoległej do prostej $y=-2x+7$.
Punkty $A=(1,\,1)$, $B=(5,\,1)$, $C=(5,\,4)$, $D=(1,\,4)$ są wierzchołkami prostokąta. Jaka jest długość jego przekątnej?
Punkt $S=(3,\,2)$ jest środkiem odcinka $AB$, przy czym $A=(1,\,-1)$. Wyznacz współrzędne punktu $B$.
Wyznacz punkt przecięcia prostych $y=2x-1$ oraz $y=-x+5$.
Czy punkt $P=(3,\,4)$ leży na okręgu o równaniu $x^2+y^2=25$?
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(6,\,0)$, $C=(2,\,5)$.
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach $A=(1,\,2)$ i $B=(5,\,6)$.
Okrąg ma środek $S=(2,\,1)$ i przechodzi przez punkt $P=(5,\,5)$. Wyznacz równanie tego okręgu i sprawdź, czy punkt $Q=(2,\,7)$ leży wewnątrz, na okręgu, czy na zewnątrz.
Oblicz odległość punktu $P=(3,4)$ od prostej $3x-4y+12=0$.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,0)$, $B=(4,1)$, $C=(1,3)$.
Dana jest prosta $k:\ 2x-y+3=0$ i punkt $P=(4,1)$. Wyznacz równanie prostej $l$ prostopadłej do $k$ przechodzącej przez $P$, punkt przecięcia prostych $k$ i $l$ oraz odległość punktu $P$ od prostej $k$.
Wyznacz współrzędne punktu $P^\prime$ symetrycznego do punktu $P=(5,0)$ względem prostej $y=x+1$.
Prostokąt $ABCD$ ma wierzchołki $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(6,4)$, $D=(0,4)$. Punkt $M$ jest środkiem boku $BC$. Prosta $AM$ przecina przekątną $BD$ w punkcie $P$. Oblicz współrzędne punktu $P$ i pole trójkąta $ABP$.
Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A=(-2,1)$, $B=(4,-1)$, $C=(2,5)$. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ oraz pole trójkąta.
Punkty $A=(-1,2)$ i $B=(5,4)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Wierzchołek $C$ leży na prostej $y=x-3$. Oblicz współrzędne punktu $C$ i pole trójkąta $ABC$.
Dane są punkty $A=(1,2)$ i $B=(4,6)$. Wyznacz współrzędne punktu $C$ takiego, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku $A$ i $|AC|=10$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.
Oblicz miarę kąta ostrego między prostymi $y=2x$ oraz $y=-3x+1$.
Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A=(0,0)$, $B=(8,0)$, $C=(2,6)$. Wyznacz środek ciężkości $S$, środek okręgu opisanego $O$ i ortocentrum $H$ tego trójkąta. Wykaż, że punkty $S$, $O$, $H$ leżą na jednej prostej.
Długość odcinka o końcach $A=(-2,1)$ i $B=(4,9)$ jest równa
Punkt $S=(1,-2)$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A=(-3,4)$. Punkt $B$ ma współrzędne
Pole trójkąta o wierzchołkach $(0,0)$, $(4,0)$, $(0,3)$ jest równe
Współczynnik kierunkowy prostej $y=2x+1$ jest równy
Oblicz długość odcinka o końcach $(1,1)$ i $(4,5)$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.