Nierówności z dwiema niewiadomymi — interpretacja graficzna

Z równania okręgu odczytujemy:

środek \(S=(1,-3)\), promień \(r=2\)

Stwierdzenie 1. Odległość środka od osi \(Ox\) jest równa \(|-3|=3\). Ponieważ \(3\gt 2=r\), okrąg nie ma punktów wspólnych z osią \(Ox\) — stwierdzenie prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2. Odległość środka od osi \(Oy\) jest równa \(|1|=1\). Ponieważ \(1\lt 2=r\), okrąg przecina oś \(Oy\) w dwóch punktach — stwierdzenie prawdziwe (P).

Sprawdzenie: dla \(x=0\) otrzymujemy \(1+(y+3)^2=4\), czyli \((y+3)^2=3\) — dwa rozwiązania ✓

Odpowiedź: P, P.

Rozwiązanie

Proste są równoległe (ten sam współczynnik kierunkowy) i malejące (ujemny), o wyrazach wolnych $3$ i $-1$. Pasuje $y=-\tfrac32x+3$ oraz $y=-\tfrac32x-1$.

Odpowiedź: A

Odczytujemy z wykresu równania obu prostych.

Prosta opadająca. Przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\) i oś \(Ox\) w punkcie \((2,0)\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi:

\(a=\frac{0-2}{2-0}=-1\), czyli \(y=-x+2\)

Prosta rosnąca. Przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\), a przez punkt \((2,1)\), więc:

\(a=\frac{1-(-3)}{2-0}=2\), czyli \(y=2x-3\)

Odpowiedź: B.

Krok 1. Wierzchołek \(A\). Leży na przecięciu prostych zawierających boki \(AB\) i \(AD\):

\(\frac{1}{2}x-1=2x-4\)

\(3=\frac{3}{2}x\)

\(x=2\), \(y=\frac{1}{2}\cdot 2-1=0\)

\(A=(2,0)\)

Krok 2. Wierzchołek \(C\). Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\):

\(C=(2\cdot 9-2,\;2\cdot 11-0)=(16,22)\)

Krok 3. Wierzchołek \(B\). Bok \(BC\) jest równoległy do \(AD\), więc leży na prostej o współczynniku kierunkowym \(2\) przechodzącej przez \(C\):

\(y-22=2(x-16)\), czyli \(y=2x-10\)

Punkt \(B\) jest przecięciem tej prostej z prostą zawierającą bok \(AB\):

\(2x-10=\frac{1}{2}x-1\)

\(\frac{3}{2}x=9\)

\(x=6\), \(y=\frac{1}{2}\cdot 6-1=2\)

Sprawdzenie: \(D=2S-B=(12,20)\) leży na prostej \(y=2x-4\), bo \(2\cdot 12-4=20\) ✓

Odpowiedź: \(B=(6,2)\)

Przekształcamy drugie równanie, dzieląc je stronami przez \((-4)\):

\(-4x+8y=-12\quad |:(-4)\)

\(x-2y=3\)

Otrzymaliśmy równanie identyczne z pierwszym. Oba równania opisują tę samą prostą, więc układ jest nieoznaczony.

Odpowiedź: D.

Z równania \((x-1)^2+(y+2)^2=5\) odczytujemy: środek \(S=(1,-2)\) oraz \(r^2=5\).

Stwierdzenie 1. Sprawdzamy, czy punkt \((-1,-3)\) spełnia równanie:

\((-1-1)^2+(-3+2)^2=(-2)^2+(-1)^2=4+1=5\) ✓

Punkt należy do okręgu — stwierdzenie prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2. Z równania \(r^2=5\), więc:

\(r=\sqrt{5}\approx 2{,}24\neq 5\)

Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: P, F.

Rozwiązanie

Prosta malejąca: $y=-x+2$ (wyraz wolny $2$). Prosta rosnąca: $y=2x-1$ (wyraz wolny $-1$). Sprawdzenie: $-x+2=2x-1\Rightarrow x=1,\ y=1$.

Odpowiedź: D

Punkt przecięcia prostych musi spełniać oba równania. Podstawiamy \(x=-8\), \(y=6\).

A: \(2\cdot(-8)+3\cdot 6=2\) ✓, ale \(-(-8)+6=14\neq -14\) ✗

B: \(3\cdot(-8)+2\cdot 6=-12\) ✓, ale \(2\cdot(-8)+6=-10\neq 10\) ✗

C: \(-8+6=-2\) ✓, ale \(-8-2\cdot 6=-20\neq 4\) ✗

D: \(-8-6=-14\) ✓ oraz \(-2\cdot(-8)+6=16+6=22\) ✓

Odpowiedź: D.

Równanie okręgu o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\):

\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

Podstawiamy \(a=-1\), \(b=2\), \(r=3\):

\((x-(-1))^2+(y-2)^2=3^2\)

\((x+1)^2+(y-2)^2=9\)

Odpowiedź: C.

Krok 1. Dane okręgu \(o_1\) i prosta \(k\).

\(S_1=(6,4)\), \(\;r_1=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\)

Prostą \(k\) zapisujemy w postaci ogólnej: \(3x+y+6=0\).

Krok 2. Odległość \(S_1\) od prostej \(k\) i połowa wspólnej cięciwy.

\(d_1=\frac{|3\cdot 6+4+6|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{28}{\sqrt{10}}\)

Wspólne punkty obu okręgów leżą na \(k\), więc odcinek łączący te punkty jest wspólną cięciwą. Jej połowa \(t\) spełnia:

\(t^2=r_1^2-d_1^2=98-\frac{784}{10}=98-78{,}4=19{,}6\)

Krok 3. Odległość środka \(o_2\) od prostej \(k\).

Dla okręgu \(o_2\) o promieniu \(r_2=2\sqrt{5}\) (czyli \(r_2^2=20\)) ta sama cięciwa daje:

\(d_2^2=r_2^2-t^2=20-19{,}6=0{,}4\)

\(d_2=\sqrt{0{,}4}=\frac{2}{\sqrt{10}}\)

Krok 4. Położenie środka \(o_2\).

Środek \(o_2\) leży na prostej przechodzącej przez \(S_1\) prostopadle do \(k\) (bo prosta łącząca środki jest prostopadła do wspólnej cięciwy). Wektor normalny prostej \(k\) to \([3,1]\), więc:

\(S_2=(6-3t,\;4-t)\) dla pewnego \(t\in\mathbb{R}\)

Ponieważ dla \(S_1\) mamy \(3\cdot 6+4+6=28\gt 0\), a środki leżą po różnych stronach prostej \(k\), dla \(S_2\) wyrażenie \(3x+y+6\) musi być ujemne:

\(3(6-3t)+(4-t)+6=28-10t=-2\)

(bo \(|3x+y+6|=d_2\cdot\sqrt{10}=2\))

\(t=3\)

\(S_2=(6-9,\;4-3)=(-3,1)\)

Sprawdzenie: \(\frac{|{-9}+1+6|}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=d_2\) ✓, a \(3\cdot(-3)+1+6=-2\lt 0\) — środki leżą po różnych stronach \(k\) ✓

Odpowiedź: \(o_2:\;(x+3)^2+(y-1)^2=20\)

Krok 1. Dane pierwszego okręgu.

Środek \(S_1=(3,-7)\), promień \(R=\sqrt{625}=25\).

Krok 2. Odległość środków.

\(|S_1S|=\sqrt{(12-3)^2+(5+7)^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\)

Krok 3. Warunki styczności.

Styczność zewnętrzna: \(R+r=15\Rightarrow r=-10\) — niemożliwe.

Styczność wewnętrzna: \(|R-r|=15\Rightarrow r=10\) lub \(r=40\).

Wśród podanych odpowiedzi występuje tylko \(r=10\).

Odpowiedź: C.

Krok 1. Odcięta punktu przecięcia. Przyrównujemy wzory funkcji:

$$x-2=5-ax\ \Longrightarrow\ x+ax=7\ \Longrightarrow\ x(1+a)=7.$$

Dla $a=-1$ równanie przyjmuje postać $0=7$ — wykresy są wtedy równoległe i nie przecinają się. Zakładamy więc $a\neq-1$:

$$x=\frac{7}{1+a}.$$

Krok 2. Rzędna punktu przecięcia.

$$y=x-2=\frac{7}{1+a}-2=\frac{7-2(1+a)}{1+a}=\frac{5-2a}{1+a}.$$

Krok 3. Warunek $x>0$. Licznik $7$ jest dodatni, więc

$$\frac{7}{1+a}>0\ \Longleftrightarrow\ 1+a>0\ \Longleftrightarrow\ a>-1.$$

Krok 4. Warunek $y>0$. Wiemy już, że $1+a>0$, więc znak ułamka zależy tylko od licznika:

$$\frac{5-2a}{1+a}>0\ \Longleftrightarrow\ 5-2a>0\ \Longleftrightarrow\ a\lt \frac{5}{2}.$$

Krok 5. Część wspólna.

$$a\in\left(-1,\ \frac{5}{2}\right).$$

Kontrola: dla $a=0$ punkt przecięcia to $(7,5)$ — obie współrzędne dodatnie ✓; dla $a=3$ mamy $\left(\frac74,-\frac14\right)$ ✗; dla $a=-2$ mamy $(-7,-9)$ ✗

Odpowiedź: $a\in\left(-1,\frac{5}{2}\right)$