Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(a\) i każdej liczby dodatniej \(b\) takich, że \(a+b=1\), prawdziwa jest nierówność
\(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{a+2b}\ge\frac{4}{3}\)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej \(a\) prawdziwa jest nierówność
\(a^2+\frac{16}{a}\ge 12\)
Rozwiąż nierówność
\(\frac{3x+1}{2x+1}\le\frac{3x+4}{2x+3}\)
Zaznaczamy pierwiastki na osi. Krzywą prowadzimy od prawej strony z góry, jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni. Przy każdym pierwiastku jednokrotnym krzywa przechodzi przez oś, przy dwukrotnym (ogólnie: parzystej krotności) tylko jej dotyka i wraca.
Dlatego $W(x)=(x-1)^2(x+4)$ zmienia znak wyłącznie w $x=-4$.
$(x-1)(x-2)(x-3)\lt 0$. Pierwiastki $1$, $2$, $3$; znaki od prawej: $+,-,+,-$. Odpowiedź: $x\in(-\infty,1)\cup(2,3)$.
Ułamek ma taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika, więc:
$$\frac{L(x)}{M(x)}>0 \iff L(x)\cdot M(x)>0 \quad\text{przy } M(x)\neq0$$
To pozwala korzystać z tej samej krzywej znaków co przy wielomianach.
Nie mnożymy nierówności przez mianownik z niewiadomą — nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
$$\frac{x+2}{x-1}\ge1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x+2-(x-1)}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad x>1$$
Stąd $\frac{x}{x-3}\ge0$ daje $x\in(-\infty,0\rangle\cup(3,+\infty)$ — zero domknięte, trójka nie.
Z $x^3\ge4x$ nie wolno skracać przez $x$ (gubimy rozwiązania i mylimy znak). Poprawnie:
$$x^3-4x\ge0 \iff x(x-2)(x+2)\ge0 \iff x\in\langle-2,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$$
Podstaw jedną liczbę z każdego wyznaczonego przedziału do wyjściowej nierówności. To zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje niemal każdy błąd znaku.
Trzy klasyczne błędy: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą, pominięcie warunku na dziedzinę oraz mechaniczne naprzemienne wpisywanie znaków bez sprawdzenia krotności pierwiastków.
W wyrażeniu wymiernym mianownik nie może być zerem. Dziedzinę wyznaczamy zawsze przed rozwiązaniem i na końcu sprawdzamy, czy wynik do niej należy.
$$\frac{L(x)}{M(x)}=0 \iff L(x)=0 \ \text{i} \ M(x)\neq0$$
O zerowaniu decyduje licznik; mianownik musi być tylko różny od zera.
Mnożymy obie strony przez mianownik (lub przez wspólny mianownik), rozwiązujemy i odrzucamy pierwiastki spoza dziedziny. Alternatywnie mnożymy „na krzyż”.
Nie wolno mnożyć nierówności przez mianownik o zmiennym znaku — nie wiadomo, czy odwrócić znak. Zamiast tego:
$$\frac{L}{M}>0 \iff L\cdot M>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc badamy znak iloczynu w przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe licznika i mianownika.
Przy nierówności nieostrej pierwiastek licznika domykamy (ułamek równy zeru jest dozwolony), ale pierwiastek mianownika zawsze wykluczamy — to punkt spoza dziedziny.
Dodajemy wydajności (odwrotności czasów). Gdy jedna ekipa robi coś w $6$ dni, druga w $12$, to $\frac x6+\frac x{12}=1$ daje $x=4$ dni wspólnej pracy.
Najczęstszy błąd to pominięcie dziedziny i przyjęcie pierwiastka „obcego”, który zeruje mianownik.
Najpierw dziedzina (mianownik ≠ 0), potem przyrównujemy licznik do zera.
Przykład: $\frac{x^2-9}{x-3}=0$: $x=\pm3$, ale $x\neq3$, więc $x=-3$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^2+b^2\ge2ab$.
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ prawdziwa jest nierówność $x+\dfrac1x\ge2$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $(a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge4$.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^4-4x+3\ge0$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$.
Liczby rzeczywiste $a$ i $b$ spełniają warunki $a+b=2$ oraz $a^2+b^2\le2$. Wykaż, że $a=b=1$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $(a+b)^3\ge4ab(a+b)$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$, $b$, $c$ prawdziwa jest nierówność $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$.
Liczby dodatnie $a$ i $b$ spełniają warunek $a+b=1$. Wykaż, że $ab\le\tfrac14$ oraz $\left(1+\dfrac1a\right)\left(1+\dfrac1b\right)\ge9$.
Rozwiąż nierówność $x^3-3x^2-4x+12\ge0$.
Rozwiąż równanie $2x^3-3x^2-3x+2=0$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x+1}{x-2}\ge2$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x^2-1}{x+3}\le x-1$.
Rozwiąż nierówność $x^4-5x^2+4\lt 0$.
Stopień wielomianu $2x^4-x$ jest równy
Rozwiązaniem nierówności $(x+1)(x-3)\lt 0$ jest
Równanie $x^3-x=0$ ma rozwiązania
Rozwiązaniem nierówności $\dfrac{x-1}{x+2}>0$ jest
Rozwiąż równanie $x^3-2x^2-9x+18=0$.
Dziedzina wyrażenia $\dfrac{1}{x^2-4}$ to zbiór liczb rzeczywistych oprócz
Rozwiązaniem nierówności $(x-3)(x+1)>0$ jest
Rozwiązaniem nierówności $\dfrac{x}{x-2}\lt 0$ jest
Ile liczb całkowitych spełnia nierówność $(x-1)(x-5)\lt 0$?
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x-2}{x+1}\lt 0$ i podaj dziedzinę.
Rozwiązaniem nierówności $x^2-9\lt 0$ jest
Rozwiązaniem nierówności $\dfrac{x+2}{x-1}>0$ jest
Dziedzina wyrażenia $\dfrac{x}{(x-1)(x+3)}$ to zbiór liczb rzeczywistych oprócz
Rozwiązaniem nierówności $\dfrac{x-4}{x}\le0$ jest
Rozwiąż nierówność $\dfrac{(x-2)(x+1)}{x}>0$ i podaj dziedzinę.
Dziedzina wyrażenia $\dfrac{1}{x-5}$ to wszystkie liczby oprócz
Rozwiązaniem nierówności $(x-2)(x+3)>0$ jest
Rozwiązaniem nierówności $\dfrac{x}{x-1}\lt 0$ jest
Ile liczb całkowitych spełnia $(x-2)(x-6)\lt 0$?
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x-3}{x+1}\le0$ i podaj dziedzinę.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.