Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zbiór \(K\) to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(x\), dla których wartość liczbowa wyrażenia \(\sqrt{x\left(x^2-9\right)}\) jest liczbą rzeczywistą.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zatem
Zaznaczamy pierwiastki na osi. Krzywą prowadzimy od prawej strony z góry, jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni. Przy każdym pierwiastku jednokrotnym krzywa przechodzi przez oś, przy dwukrotnym (ogólnie: parzystej krotności) tylko jej dotyka i wraca.
Dlatego $W(x)=(x-1)^2(x+4)$ zmienia znak wyłącznie w $x=-4$.
$(x-1)(x-2)(x-3)\lt 0$. Pierwiastki $1$, $2$, $3$; znaki od prawej: $+,-,+,-$. Odpowiedź: $x\in(-\infty,1)\cup(2,3)$.
Ułamek ma taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika, więc:
$$\frac{L(x)}{M(x)}>0 \iff L(x)\cdot M(x)>0 \quad\text{przy } M(x)\neq0$$
To pozwala korzystać z tej samej krzywej znaków co przy wielomianach.
Nie mnożymy nierówności przez mianownik z niewiadomą — nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
$$\frac{x+2}{x-1}\ge1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x+2-(x-1)}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad x>1$$
Stąd $\frac{x}{x-3}\ge0$ daje $x\in(-\infty,0\rangle\cup(3,+\infty)$ — zero domknięte, trójka nie.
Z $x^3\ge4x$ nie wolno skracać przez $x$ (gubimy rozwiązania i mylimy znak). Poprawnie:
$$x^3-4x\ge0 \iff x(x-2)(x+2)\ge0 \iff x\in\langle-2,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$$
Podstaw jedną liczbę z każdego wyznaczonego przedziału do wyjściowej nierówności. To zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje niemal każdy błąd znaku.
Trzy klasyczne błędy: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą, pominięcie warunku na dziedzinę oraz mechaniczne naprzemienne wpisywanie znaków bez sprawdzenia krotności pierwiastków.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Rozwiąż nierówność $x^3-3x^2-4x+12\ge0$.
Rozwiąż równanie $2x^3-3x^2-3x+2=0$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x+1}{x-2}\ge2$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x^2-1}{x+3}\le x-1$.
Rozwiąż nierówność $x^4-5x^2+4\lt 0$.
Stopień wielomianu $2x^4-x$ jest równy
Rozwiązaniem nierówności $(x+1)(x-3)\lt 0$ jest
Równanie $x^3-x=0$ ma rozwiązania
Rozwiązaniem nierówności $\dfrac{x-1}{x+2}>0$ jest
Rozwiąż równanie $x^3-2x^2-9x+18=0$.
Rozwiązaniem nierówności $x(x-2)>0$ jest
Rozwiązaniem nierówności $(x-1)(x-3)\lt 0$ jest
Rozwiązaniem nierówności $x^2-4>0$ jest
Ile liczb całkowitych spełnia nierówność $(x+1)(x-4)\le0$?
Rozwiąż nierówność $x^2-5x+6\lt 0$.
Rozwiązaniem nierówności $x^2\ge16$ jest
Rozwiązaniem nierówności $(x-2)^2>0$ jest
Rozwiązaniem nierówności $x^2+x>0$ jest
Rozwiązaniem nierówności $(x-1)(x-2)(x-3)>0$ jest
Rozwiąż nierówność $(x-1)^2(x+3)\lt 0$.
Rozwiązaniem nierówności $x(x-3)>0$ jest
Rozwiązaniem nierówności $(x-2)(x-4)\lt 0$ jest
Rozwiązaniem nierówności $x^2-1>0$ jest
Ile liczb całkowitych spełnia $(x+2)(x-2)\le0$?
Rozwiąż nierówność $x(x-2)(x+1)>0$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.