Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
$$180^\circ=\pi\ \text{rad},\qquad \alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\text{st}}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}$$
Najczęstsze: $30^\circ=\frac{\pi}{6}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$.
$$l=r\alpha,\qquad P_{\text{wycinka}}=\frac{1}{2}r^2\alpha \qquad(\alpha \text{ w radianach})$$
W I ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w II — tylko sinus, w III — tangens i cotangens, w IV — cosinus.
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$$
$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$
Przy kątach $90^\circ$ i $270^\circ$ funkcja zmienia się na kofunkcję (sin↔cos), przy $180^\circ$ i $360^\circ$ — pozostaje ta sama.
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens i cotangens — okres $\pi$.
$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$
$$\sin x=a \Rightarrow x=\alpha+2k\pi \ \lor\ x=\pi-\alpha+2k\pi$$
$$\cos x=a \Rightarrow x=\pm\alpha+2k\pi,\qquad \operatorname{tg} x=a \Rightarrow x=\alpha+k\pi$$
We wzorach $l=r\alpha$ kąt musi być w radianach. Równanie $\sin x=a$ ma w każdym okresie dwa rozwiązania — pominięcie serii $\pi-\alpha$ to klasyczny błąd. W cosinusie znaki we wzorze na sumę są przeciwne niż w sinusie.
Miara łukowa to stosunek długości łuku do promienia — wielkość bezwymiarowa. Pełny kąt to $2\pi$ radianów:
$$360^\circ=2\pi,\qquad 180^\circ=\pi$$
$$\text{stopnie}\to\text{radiany}:\ \cdot\frac{\pi}{180^\circ},\qquad \text{radiany}\to\text{stopnie}:\ \cdot\frac{180^\circ}{\pi}$$
Warto znać: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, $\frac{\pi}{4}=45^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$, $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
$$l=r\alpha,\qquad P=\frac12 r^2\alpha$$
Wzory działają tylko dla kątów w radianach — to główny powód wprowadzenia miary łukowej.
Funkcja jest okresowa o okresie $T$, gdy $f(x+T)=f(x)$. Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens — $\pi$. Dla $y=\sin(bx)$ okres to $\frac{2\pi}{|b|}$.
Cosinus jest parzysty ($\cos(-x)=\cos x$, wykres symetryczny względem osi $OY$), a sinus nieparzysty ($\sin(-x)=-\sin x$, symetryczny względem początku układu).
Wzory $l=r\alpha$ i $P=\frac12 r^2\alpha$ wymagają radianów. Najmniejszy okres dodatni charakteryzuje funkcję — wielokrotności okresu też są okresami.
Część obwodu odpowiadająca kątowi środkowemu $\alpha$.
Przykład: $r=6$, $\alpha=60^\circ$: $l=\frac16\cdot12\pi=2\pi$.
Zamiana stopni na radiany i odwrotnie.
Przykład: $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Zamień $60^\circ$ na miarę łukową (radiany).
Zamień $\frac{3\pi}{4}$ na stopnie.
Ile wynosi $\cos 90^\circ$?
Oblicz $\sin 150^\circ$, korzystając ze wzoru redukcyjnego.
Jaki jest okres podstawowy funkcji $y=\sin x$?
Oblicz $\sin^2 40^\circ+\cos^2 40^\circ$.
Ile wynosi $\tg 45^\circ$?
Ile radianów ma kąt pełny ($360^\circ$)?
Zamień $90^\circ$ na radiany.
Zamień $\dfrac{\pi}{3}$ radianów na stopnie.
Okres funkcji $y=\sin x$ wynosi:
Zamień $135^\circ$ na radiany.
Okres funkcji $y=\operatorname{tg}x$ wynosi:
Funkcja ma okres $T=2\pi$ i $f(0)=3$. Ile wynosi $f(4\pi)$ i $f(-2\pi)$?
Oblicz długość łuku okręgu o promieniu $6$, na którym wsparty jest kąt środkowy $\dfrac{\pi}{3}$ radiana.
Kąt $\dfrac{\pi}{6}$ radiana to:
Funkcja ma okres $T=4$. Wiedząc, że $f(1)=5$, oblicz $f(9)$ i $f(13)$.
Oblicz miarę łukową kąta środkowego, na którym wsparty jest łuk długości $10$ w okręgu o promieniu $5$.
Który kąt jest równy $\pi$ radianów?
Funkcja $y=\sin x$ ma najmniejszy okres dodatni równy:
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.