Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Wektor o początku $A=(x_A,\,y_A)$ i końcu $B=(x_B,\,y_B)$ ma współrzędne:
$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$
Od końca odejmujemy początek. Odwrotna kolejność daje wektor przeciwny $\vec{BA}$.
$$|\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}$$
Przykład: dla $\vec{u}=[4,\,2]$ mamy $|\vec{u}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$.
$$\vec{u}+\vec{v}=[u_x+v_x,\ u_y+v_y],\qquad k\vec{u}=[k\,u_x,\ k\,u_y]$$
Mnożenie przez liczbę $k>0$ zmienia tylko długość, a $k\lt 0$ dodatkowo odwraca zwrot.
$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha$$
Wynikiem jest liczba, nie wektor.
Znak iloczynu skalarnego od razu mówi, jaki jest kąt:
Sam kąt wyznaczamy ze wzoru:
$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$$
Wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego, co sprawdzamy warunkiem:
$$u_x v_y-u_y v_x=0$$
Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po kolei” — wynikiem jest liczba, którą otrzymujemy przez dodanie iloczynów. Pamiętaj też, że wektor to nie punkt: ten sam wektor może zaczynać się w dowolnym miejscu układu, bo liczy się tylko kierunek, zwrot i długość.
$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$
Od końca odejmujemy początek. Wektor $\vec{BA}$ ma te same liczby ze zmienionym znakiem — to wektor przeciwny.
$$\vec{u}\pm\vec{v}=[u_1\pm v_1,\ u_2\pm v_2],\qquad k\vec{u}=[ku_1,\ ku_2]$$
Mnożenie przez liczbę dodatnią zmienia długość, zachowując kierunek i zwrot. Liczba ujemna dodatkowo odwraca zwrot.
$$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
To twierdzenie Pitagorasa w przebraniu.
$$\vec{e}=\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}$$
Dla $\vec{u}=[3,-4]$ długość wynosi $5$, więc $\vec{e}=\left[\frac35,-\frac45\right]$. Sprawdzenie: $\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=1$ ✔
$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$$
Wynikiem jest liczba, nie wektor — to pierwsza rzecz do zapamiętania.
Długości są zawsze dodatnie, więc o znaku decyduje wyłącznie $\cos\alpha$.
$$\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$$
$$\vec{u}\parallel\vec{v} \iff \vec{v}=k\vec{u} \ \text{dla pewnego } k$$
Przykład: $[3,\,4]$ i $[-8,\,6]$ są prostopadłe, bo $-24+24=0$. Natomiast $[2,\,6]$ i $[1,\,3]$ są równoległe, bo pierwszy to podwojony drugi.
$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$
Dla $[1,\,\sqrt3]$ i $[\sqrt3,\,1]$: iloczyn to $2\sqrt3$, obie długości po $2$, więc $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha=30^\circ$.
$$\vec{u}\circ\vec{u}=|\vec{u}|^2$$
Bo kąt wektora z samym sobą wynosi $0^\circ$, a $\cos0^\circ=1$.
Przesunięcie punktu: do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora.
Czwarty wierzchołek równoległoboku $ABCD$: korzystamy z $\vec{AD}=\vec{BC}$.
Kąt prosty w trójkącie: wystarczy pokazać, że iloczyn skalarny dwóch boków wychodzących z wierzchołka wynosi zero.
Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po parach” dającym wektor — wynik jest liczbą. Przy wyznaczaniu wektora z dwóch punktów zawsze odejmuj początek od końca, nie odwrotnie.
$$y=ax+b$$
Litera $a$ to współczynnik kierunkowy — mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Litera $b$ to wyraz wolny — wartość $y$ w punkcie przecięcia z osią $OY$.
$$a>0 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad a\lt 0 \Rightarrow \text{malejąca},\qquad a=0 \Rightarrow \text{stała}$$
Wyraz wolny nie wpływa na monotoniczność — przesuwa jedynie wykres w pionie.
$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
Mając $a$, wyznaczamy $b$ przez podstawienie współrzędnych dowolnego z punktów. Drugi punkt służy wtedy do sprawdzenia.
Przykład: dla $A=(1,5)$ i $B=(3,1)$ mamy $a=\frac{1-5}{3-1}=-2$, potem $5=-2+b$, czyli $b=7$ i ostatecznie $y=-2x+7$.
$$\text{równoległe}:\ a_1=a_2,\qquad \text{prostopadłe}:\ a_1\cdot a_2=-1$$
Warunek prostopadłości wygodnie stosuje się tak: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.
Proste o równych $a$ i równych $b$ pokrywają się; równe $a$ i różne $b$ oznacza proste rozłączne.
$$Ax+By+C=0$$
Zamiana na postać kierunkową polega na wyznaczeniu $y$:
$$2x+3y-6=0 \ \Rightarrow\ y=-\tfrac23x+2$$
Postać ogólna obejmuje również proste pionowe ($B=0$), których nie da się zapisać jako $y=ax+b$.
Z osią $OY$: podstawiamy $x=0$ i otrzymujemy punkt $(0,\ b)$.
Z osią $OX$: rozwiązujemy $ax+b=0$, czyli szukamy miejsca zerowego $x=-\frac{b}{a}$.
Porównujemy prawe strony równań. Dla $y=2x-1$ i $y=-x+5$ dostajemy $3x=6$, czyli $x=2$ i $y=3$. Zawsze warto sprawdzić wynik w drugim równaniu.
Punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest taki sam. Dla $(1,2)$, $(3,6)$ i $(5,10)$ oba wynoszą $2$, więc punkty są współliniowe, a prosta to $y=2x$.
Taksówka z opłatą $8$ zł i stawką $3$ zł za kilometr to $f(x)=3x+8$. Współczynnik kierunkowy jest tempem wzrostu kosztu, a wyraz wolny — kosztem stałym. Ten sam schemat opisuje abonamenty, rachunki za prąd czy koszt produkcji.
Nie myl $a$ z $b$ przy odczycie ze wzoru. Przy prostopadłości pamiętaj o zmianie znaku, nie tylko o odwróceniu ułamka. I sprawdzaj wynik, podstawiając punkt do równania.
Warunki dla prostych $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$.
Przykład: Prosta prostopadła do $y=2x+1$ ma $a=-\frac{1}{2}$.
Współrzędne wektora to różnica współrzędnych końca i początku.
Przykład: $A(1,1)$, $B(4,5)$: $\overrightarrow{AB}=[3,4]$, długość $5$.
Nachylenie prostej przez punkty $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$; $\alpha$ — kąt z osią $Ox$.
Przykład: $A(1,2)$, $B(3,8)$: $a=\frac{6}{2}=3$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,0)$, $B=(4,1)$, $C=(1,3)$.
Punkty $A=(-1,2)$ i $B=(5,4)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Wierzchołek $C$ leży na prostej $y=x-3$. Oblicz współrzędne punktu $C$ i pole trójkąta $ABC$.
Dane są punkty $A=(1,2)$ i $B=(4,6)$. Wyznacz współrzędne punktu $C$ takiego, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku $A$ i $|AC|=10$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.
Oblicz miarę kąta ostrego między prostymi $y=2x$ oraz $y=-3x+1$.
Wektor o początku $A=(1,\,2)$ i końcu $B=(5,\,7)$ ma współrzędne:
Oblicz $\vec{u}+\vec{v}$, gdy $\vec{u}=[3,-1]$ i $\vec{v}=[2,\,5]$.
Oblicz długość wektora $\vec{u}=[6,\,8]$.
Iloczyn skalarny wektorów $[2,\,3]$ i $[4,-1]$ wynosi:
Oblicz $3\vec{u}$, gdy $\vec{u}=[-2,\,4]$.
Wektory są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn skalarny:
Sprawdź, czy wektory $\vec{u}=[3,\,4]$ i $\vec{v}=[-8,\,6]$ są prostopadłe.
Oblicz $\vec{u}-\vec{v}$ oraz $|\vec{u}-\vec{v}|$, gdy $\vec{u}=[7,\,3]$ i $\vec{v}=[4,-1]$.
Wektory $[2,\,6]$ i $[1,\,3]$ są:
Punkt $A=(2,\,1)$ przesunięto o wektor $\vec{u}=[5,-3]$. Podaj współrzędne obrazu punktu $A$.
Wektor $\vec{u}=[a,\,3]$ jest prostopadły do $\vec{v}=[6,\,2]$. Wtedy $a$ wynosi:
Oblicz $2\vec{u}-3\vec{v}$, gdy $\vec{u}=[1,\,4]$ i $\vec{v}=[2,-1]$.
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,0]$ i $\vec{v}=[1,\,1]$.
Iloczyn skalarny wektora ze sobą, czyli $\vec{u}\circ\vec{u}$, jest równy:
Punkty $A=(1,\,1)$, $B=(4,\,2)$, $C=(5,\,5)$ są trzema wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz współrzędne punktu $D$.
Jeśli iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest ujemny, to kąt między nimi jest:
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,\sqrt3]$ i $\vec{v}=[\sqrt3,\,1]$.
Dane są punkty $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,0)$, $C=(4,\,3)$. Wykaż, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny, korzystając z iloczynu skalarnego, i oblicz jego pole.
Wyznacz wektor jednostkowy o tym samym kierunku i zwrocie co $\vec{u}=[3,-4]$.
Dane są wektory $\vec{u}=[2,\,1]$ i $\vec{v}=[m,\,4]$. Dla jakiej wartości $m$ wektory są równoległe, a dla jakiej prostopadłe?
Dane są punkty $A=(2,\,3)$ i $B=(7,\,8)$. Wyznacz współrzędne wektora $\vec{AB}$.
Oblicz długość wektora $\vec{u}=[6,\,8]$.
Dane są wektory $\vec{u}=[3,\,-2]$ i $\vec{v}=[1,\,5]$. Oblicz $\vec{u}+\vec{v}$ oraz $\vec{u}-\vec{v}$.
Oblicz iloczyn skalarny wektorów $\vec{u}=[2,\,3]$ i $\vec{v}=[4,\,-1]$.
Dla wektora $\vec{u}=[4,\,-3]$ oblicz $2\vec{u}$ oraz $-\vec{u}$.
Wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:
Sprawdź, czy wektory $\vec{u}=[3,\,4]$ i $\vec{v}=[-4,\,3]$ są prostopadłe.
Wyznacz współrzędne punktu $B$, jeśli $A=(1,\,4)$ i $\vec{AB}=[5,\,-2]$.
Który wektor jest równoległy do $\vec{u}=[2,\,3]$?
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,0]$ i $\vec{v}=[1,\,1]$.
Sprawdź, czy punkty $A=(1,\,2)$, $B=(3,\,5)$ i $C=(7,\,11)$ leżą na jednej prostej.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest ujemny. Co z tego wynika?
Dla jakiej wartości $m$ wektory $\vec{u}=[3,\,m]$ i $\vec{v}=[2,\,-6]$ są prostopadłe?
Punkty $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,0)$ i $C=(4,\,3)$ są wierzchołkami trójkąta. Korzystając z wektorów, sprawdź, czy trójkąt jest prostokątny.
Punkty $A=(1,\,1)$, $B=(5,\,2)$ i $C=(6,\,6)$ są trzema wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz czwarty wierzchołek $D$.
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,\sqrt3]$ i $\vec{v}=[1,\,0]$.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(5,\,1)$, $C=(2,\,4)$, korzystając ze wzoru wektorowego $P=\frac12\left|x_B y_C-x_C y_B\right|$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Punkty \(A=(-7,-2)\) i \(B=(4,-7)\) są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego \(ABC\), a wysokość opuszczona z wierzchołka \(A\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(2x+19y+52=0\).
Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).
Na okręgu o promieniu \(r\) opisano trapez równoramienny \(ABCD\) o dłuższej podstawie \(AB\) i krótszej \(CD\). Punkt styczności \(S\) dzieli ramię \(BC\) tak, że \(\dfrac{|CS|}{|SB|}=\dfrac25\).
a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
b) Oblicz cosinus \(|\sphericalangle CBD|\).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.