Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Reszta z dzielenia przez dwumian $x-a$ to wartość wielomianu w punkcie $a$.
Przykład: Reszta z dzielenia $x^3+2x-1$ przez $x-1$ to $W(1)=2$.
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian dzieli się przez $(x-a)$.
Przykład: $W(x)=x^3-8$, $W(2)=0$, więc $W(x)=(x-2)(x^2+2x+4)$.
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ jest równa $W(a)$:
$$R=W(a)$$
Pozwala policzyć resztę bez wykonywania dzielenia — wystarczy podstawić jedną liczbę.
$$W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)$$
Liczba $a$ jest pierwiastkiem dokładnie wtedy, gdy $(x-a)$ jest czynnikiem wielomianu. To most między pierwiastkami a rozkładem na czynniki.
Pierwiastek $a=3$ odpowiada czynnikowi $(x-3)$, a dzielnik $(x+2)$ oznacza $a=-2$. Łatwo pomylić znak.
$$\deg(\text{iloraz})=\deg(\text{dzielna})-\deg(\text{dzielnik})$$
Reszta ma stopień mniejszy od dzielnika. Przy dzieleniu przez dwumian reszta jest więc stałą.
Uzupełniamy brakujące potęgi zerami, dzielimy najwyższe wyrazy, odejmujemy i powtarzamy. Przykład: $(x^3-1):(x-1)=x^2+x+1$.
Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego. To zawęża listę kandydatów do sprawdzenia.
Dwa wielomiany są równe, gdy mają identyczne współczynniki przy tych samych potęgach. Stąd metoda współczynników nieoznaczonych.
Przy dzieleniu pisemnym nie gub brakujących potęg. Sprawdzaj znak przy przechodzeniu od pierwiastka do czynnika.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Twierdzenie Bézouta mówi, że reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x-a)$ jest równa:
Oblicz resztę z dzielenia $W(x)=x^3-2x+5$ przez $(x-1)$.
Sprawdź, czy $(x-2)$ jest dzielnikiem wielomianu $W(x)=x^3-3x^2+4$.
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy:
Oblicz $W(-1)$ dla $W(x)=2x^3+x^2-x+3$ i podaj resztę z dzielenia przez $(x+1)$.
Reszta z dzielenia $W(x)=x^4+1$ przez $(x-1)$ wynosi:
Dla jakiej wartości $m$ wielomian $W(x)=x^3+mx-6$ dzieli się przez $(x-2)$?
Jeśli $W(3)=0$, to wielomian $W(x)$ dzieli się przez:
Wielomiany $W(x)=ax^2+3x+1$ oraz $P(x)=2x^2+bx+1$ są równe. Wyznacz $a$ i $b$.
Stopień ilorazu przy dzieleniu wielomianu stopnia $5$ przez wielomian stopnia $2$ wynosi:
Reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-1)$ wynosi $3$, a przez $(x+2)$ wynosi $-6$. Oblicz $W(1)$ i $W(-2)$.
Wykonaj dzielenie $\left(x^3-1\right):(x-1)$.
Wielomian $W(x)=x^3+2x^2-x-2$ ma pierwiastek $x=1$, bo:
Dla jakich $a$ i $b$ wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ jest podzielny zarówno przez $(x-1)$, jak i przez $(x-2)$?
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian $(x-a)$ jest wielomianem stopnia:
Wielomian $W(x)=x^3-4x^2+ax+b$ przy dzieleniu przez $(x-1)$ daje resztę $2$, a przez $(x+1)$ resztę $-6$. Wyznacz $a$ i $b$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Rozwiąż równanie $x^3-2x^2-3x+6=0$.
Wynikiem dzielenia wielomianu \(5x^3-7x^2-4x-4\) przez dwumian \(x-2\) jest trójmian kwadratowy postaci \(ax^2+bx+c\).
Podaj kolejno wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).
Przy dzieleniu wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \((x-1)\) otrzymujemy iloraz \(Q(x)=8x^2+4x-14\) oraz resztę \(R(x)=-5\). Oblicz pierwiastki wielomianu \(W(x)\).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.