Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
$p$ — połowa obwodu, $P$ — pole trójkąta.
Przykład: Trójkąt 3–4–5: $P=6$, $p=6$, więc $r=1$; $R=\frac{60}{24}=2{,}5$.
Okrąg opisany — środek w przecięciu symetralnych boków, bo każdy punkt symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka, a więc od wierzchołków.
Okrąg wpisany — środek w przecięciu dwusiecznych kątów, bo punkt dwusiecznej jest równo oddalony od ramion kąta, a więc od boków.
$$r=\frac{P}{p},\qquad R=\frac{abc}{4P}$$
gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$ to połowa obwodu.
Pierwszy wzór wynika z podziału trójkąta na trzy mniejsze o wspólnym wierzchołku w środku okręgu — każdy ma wysokość $r$, więc łączne pole to $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.
$$R=\frac{c}{2},\qquad r=\frac{a+b-c}{2}$$
Przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego — to twierdzenie Talesa czytane wstecz: kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$.
Dla trójkąta $5$, $12$, $13$: $R=6{,}5$ oraz $r=\frac{5+12-13}{2}=2$. Kontrola wzorem ogólnym: $P=30$, $p=15$, $r=\frac{30}{15}=2$ ✔
$$R=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac{a\sqrt3}{6},\qquad R=2r$$
Oba środki to ten sam punkt — przecięcie wysokości, które dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ od wierzchołka. Stąd $R=\frac23h$ i $r=\frac13h$.
Konsekwencja dla pól: koło opisane ma pole czterokrotnie większe, bo pola zależą od kwadratu promienia.
$$\alpha+\gamma=180^\circ,\qquad \beta+\delta=180^\circ$$
Przeciwległe kąty muszą się dopełniać. Sama poprawna suma wszystkich kątów ($360^\circ$) nie wystarcza — kąty $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$, $144^\circ$ sumują się do $360^\circ$, ale $36+108=144\neq180$, więc takiego czworokąta nie da się wpisać w okrąg.
Okrąg zawsze da się opisać na prostokącie i kwadracie; na rombie tylko wtedy, gdy jest kwadratem.
$$a+c=b+d$$
Sumujemy boki przeciwległe. Trapez o podstawach $4$ i $10$ oraz ramionach po $7$ spełnia warunek, bo $4+10=7+7$.
W romb okrąg da się wpisać zawsze — wszystkie boki są równe, więc warunek zachodzi automatycznie.
To najczęstsze źródło pomyłek: warunek wpisania okręgu dotyczy boków, a warunek opisania — kątów.
$$R=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad r=\frac{a}{2},\qquad \frac{R}{r}=\sqrt2$$
Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki (średnica = przekątna), wpisany dotyka boków (średnica = bok).
Nie zamieniaj symetralnych z dwusiecznymi. Przy warunku $a+c=b+d$ pilnuj, które boki są przeciwległe. I sprawdzaj sensowność wyniku: $R$ musi być większe od połowy najdłuższego boku.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach $6$, $8$, $10$.
Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach $5$, $5$, $6$.
Trapez prostokątny o podstawach $12$ i $6$ jest opisany na okręgu. Oblicz promień tego okręgu.
Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, $|\angle DAB|=70^\circ$, $|\angle ABC|=95^\circ$. Oblicz miary pozostałych kątów czworokąta.
Trójkąt ma boki długości $13$, $14$, $15$. Oblicz jego pole oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego.
Z punktu $P$ poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku $O$ i promieniu $5$, styczne w punktach $A$ i $B$. $|PO|=13$. Oblicz długość odcinka stycznej $PA$ oraz długość cięciwy $AB$.
Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ o bokach $|BC|=7$, $|CA|=8$, $|AB|=9$ jest styczny do boku $AB$ w punkcie $K$. Oblicz $|AK|$ i $|KB|$.
Deltoid $ABCD$, w którym $|AB|=|AD|=6$ i $|CB|=|CD|$, jest wpisany w okrąg, a $|\angle BAD|=60^\circ$. Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz promień okręgu wpisanego w ten deltoid.
Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątną $c$. Wykaż, że $r+R=\frac{a+b}{2}$, gdzie $r$ i $R$ — promienie okręgów wpisanego i opisanego.
Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg. $|AB|=3$, $|BC|=5$, $|CD|=8$, $|\angle ABC|=120^\circ$ oraz $|AD|\gt |AB|$. Oblicz $|AC|$, promień okręgu, $|AD|$ oraz pole czworokąta.
W czworokącie wpisanym w okrąg kąt $70^\circ$ ma przeciwległy kąt
Suma kątów wewnętrznych pięciokąta wypukłego jest równa
W czworokąt $ABCD$ można wpisać okrąg. $|AB|=7$, $|BC|=5$, $|CD|=6$. Długość boku $DA$ jest równa
Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg i $|\angle A|=70^\circ$. Miara kąta $C$ jest równa
Trapez równoramienny o podstawach $10$ i $4$ jest opisany na okręgu. Oblicz długość ramienia trapezu i promień tego okręgu.
W czworokącie wpisanym w okrąg jeden z kątów ma $70^\circ$. Kąt przeciwległy ma
Suma kątów wewnętrznych czworokąta jest równa
Czworokąt opisany na okręgu ma boki $a=3$, $b=4$, $c=5$. Bok $d$ jest równy
W czworokącie wpisanym w okrąg kąt $\alpha=90^\circ$. Kąt przeciwległy $\gamma$ jest równy
W czworokącie wpisanym w okrąg jeden kąt ma $85^\circ$. Oblicz kąt przeciwległy.
Warunkiem wpisania czworokąta w okrąg jest
W czworokącie kąty to $100^\circ$, $80^\circ$, $110^\circ$. Czwarty kąt jest równy
Warunkiem opisania czworokąta na okręgu jest
Czworokąt opisany na okręgu ma boki $a=5$, $c=7$, $b=6$. Bok $d$ jest równy
W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przy jednym boku to $\alpha=95^\circ$ i sąsiedni $\beta=100^\circ$. Oblicz pozostałe dwa kąty.
W czworokącie wpisanym w okrąg jeden kąt ma $80^\circ$. Kąt przeciwległy ma
Czworokąt opisany na okręgu ma boki $a=5$, $b=6$, $c=8$. Bok $d$ jest równy
Czworokąt opisany na okręgu ma boki $a=4$, $c=6$, $b=3$. Bok $d$ jest równy
W czworokącie wpisanym w okrąg kąt $\alpha=90^\circ$. Kąt przeciwległy ma
Czworokąt opisany na okręgu ma boki $a=10$, $b=4$, $c=7$. Oblicz bok $d$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe \(a\) oraz \(b\), przy czym \(a\gt b\). W ten trapez można wpisać okrąg.
Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od \(a\cdot b\).
Na okręgu jest opisany czworokąt \(ABCD\). Bok \(AD\) tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku \(AB\), a przekątna \(BD\) ma długość równą \(6\). Ponadto spełnione są następujące warunki:
\(\cos(\angle ADB)=\frac{7}{8}\), \(\;|\angle BCD|=90^\circ\) oraz \(\;|AB|\gt\sqrt{15}\).
Oblicz długość boku \(BC\) tego czworokąta.
Trapez prostokątny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) jest opisany na okręgu. Ramię \(BC\) ma długość \(10\), a ramię \(AD\) jest wysokością trapezu. Podstawa \(AB\) jest \(2\) razy dłuższa od podstawy \(CD\).
Oblicz pole tego trapezu.
Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi \(\dfrac{\pi\sqrt3}{8}\). Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.
Na okręgu o promieniu \(r\) opisano trapez równoramienny \(ABCD\) o dłuższej podstawie \(AB\) i krótszej \(CD\). Punkt styczności \(S\) dzieli ramię \(BC\) tak, że \(\dfrac{|CS|}{|SB|}=\dfrac25\).
a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
b) Oblicz cosinus \(|\sphericalangle CBD|\).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.