Czworokąty opisane na okręgu
Klasa 2 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
∑Wzory 1
$p$ — połowa obwodu, $P$ — pole trójkąta.
Przykład: Trójkąt 3–4–5: $P=6$, $p=6$, więc $r=1$; $R=\frac{60}{24}=2{,}5$.
📘Teoria 1
Gdzie leżą środki
Okrąg opisany — środek w przecięciu symetralnych boków, bo każdy punkt symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka, a więc od wierzchołków.
Okrąg wpisany — środek w przecięciu dwusiecznych kątów, bo punkt dwusiecznej jest równo oddalony od ramion kąta, a więc od boków.
Wzory na promienie w trójkącie
$$r=\frac{P}{p},\qquad R=\frac{abc}{4P}$$
gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$ to połowa obwodu.
Pierwszy wzór wynika z podziału trójkąta na trzy mniejsze o wspólnym wierzchołku w środku okręgu — każdy ma wysokość $r$, więc łączne pole to $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.
Trójkąt prostokątny
$$R=\frac{c}{2},\qquad r=\frac{a+b-c}{2}$$
Przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego — to twierdzenie Talesa czytane wstecz: kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$.
Dla trójkąta $5$, $12$, $13$: $R=6{,}5$ oraz $r=\frac{5+12-13}{2}=2$. Kontrola wzorem ogólnym: $P=30$, $p=15$, $r=\frac{30}{15}=2$ ✔
Trójkąt równoboczny
$$R=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac{a\sqrt3}{6},\qquad R=2r$$
Oba środki to ten sam punkt — przecięcie wysokości, które dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ od wierzchołka. Stąd $R=\frac23h$ i $r=\frac13h$.
Konsekwencja dla pól: koło opisane ma pole czterokrotnie większe, bo pola zależą od kwadratu promienia.
Czworokąt wpisany w okrąg
$$\alpha+\gamma=180^\circ,\qquad \beta+\delta=180^\circ$$
Przeciwległe kąty muszą się dopełniać. Sama poprawna suma wszystkich kątów ($360^\circ$) nie wystarcza — kąty $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$, $144^\circ$ sumują się do $360^\circ$, ale $36+108=144\neq180$, więc takiego czworokąta nie da się wpisać w okrąg.
Okrąg zawsze da się opisać na prostokącie i kwadracie; na rombie tylko wtedy, gdy jest kwadratem.
Czworokąt opisany na okręgu
$$a+c=b+d$$
Sumujemy boki przeciwległe. Trapez o podstawach $4$ i $10$ oraz ramionach po $7$ spełnia warunek, bo $4+10=7+7$.
W romb okrąg da się wpisać zawsze — wszystkie boki są równe, więc warunek zachodzi automatycznie.
Dwa różne twierdzenia
To najczęstsze źródło pomyłek: warunek wpisania okręgu dotyczy boków, a warunek opisania — kątów.
Kwadrat
$$R=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad r=\frac{a}{2},\qquad \frac{R}{r}=\sqrt2$$
Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki (średnica = przekątna), wpisany dotyka boków (średnica = bok).
Na co uważać
Nie zamieniaj symetralnych z dwusiecznymi. Przy warunku $a+c=b+d$ pilnuj, które boki są przeciwległe. I sprawdzaj sensowność wyniku: $R$ musi być większe od połowy najdłuższego boku.
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 30
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach $6$, $8$, $10$.
Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach $5$, $5$, $6$.
Trapez prostokątny o podstawach $12$ i $6$ jest opisany na okręgu. Oblicz promień tego okręgu.
Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, $|\angle DAB|=70^\circ$, $|\angle ABC|=95^\circ$. Oblicz miary pozostałych kątów czworokąta.
Trójkąt ma boki długości $13$, $14$, $15$. Oblicz jego pole oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego.
Z punktu $P$ poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku $O$ i promieniu $5$, styczne w punktach $A$ i $B$. $|PO|=13$. Oblicz długość odcinka stycznej $PA$ oraz długość cięciwy $AB$.
Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ o bokach $|BC|=7$, $|CA|=8$, $|AB|=9$ jest styczny do boku $AB$ w punkcie $K$. Oblicz $|AK|$ i $|KB|$.
Deltoid $ABCD$, w którym $|AB|=|AD|=6$ i $|CB|=|CD|$, jest wpisany w okrąg, a $|\angle BAD|=60^\circ$. Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz promień okręgu wpisanego w ten deltoid.
Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątną $c$. Wykaż, że $r+R=\frac{a+b}{2}$, gdzie $r$ i $R$ — promienie okręgów wpisanego i opisanego.
Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg. $|AB|=3$, $|BC|=5$, $|CD|=8$, $|\angle ABC|=120^\circ$ oraz $|AD|\gt |AB|$. Oblicz $|AC|$, promień okręgu, $|AD|$ oraz pole czworokąta.
W czworokącie wpisanym w okrąg kąt $70^\circ$ ma przeciwległy kąt
Suma kątów wewnętrznych pięciokąta wypukłego jest równa
W czworokąt $ABCD$ można wpisać okrąg. $|AB|=7$, $|BC|=5$, $|CD|=6$. Długość boku $DA$ jest równa
Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg i $|\angle A|=70^\circ$. Miara kąta $C$ jest równa
Trapez równoramienny o podstawach $10$ i $4$ jest opisany na okręgu. Oblicz długość ramienia trapezu i promień tego okręgu.
W czworokącie wpisanym w okrąg jeden z kątów ma $70^\circ$. Kąt przeciwległy ma
Suma kątów wewnętrznych czworokąta jest równa
Czworokąt opisany na okręgu ma boki $a=3$, $b=4$, $c=5$. Bok $d$ jest równy
W czworokącie wpisanym w okrąg kąt $\alpha=90^\circ$. Kąt przeciwległy $\gamma$ jest równy
W czworokącie wpisanym w okrąg jeden kąt ma $85^\circ$. Oblicz kąt przeciwległy.
Warunkiem wpisania czworokąta w okrąg jest
W czworokącie kąty to $100^\circ$, $80^\circ$, $110^\circ$. Czwarty kąt jest równy
Warunkiem opisania czworokąta na okręgu jest
Czworokąt opisany na okręgu ma boki $a=5$, $c=7$, $b=6$. Bok $d$ jest równy
W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przy jednym boku to $\alpha=95^\circ$ i sąsiedni $\beta=100^\circ$. Oblicz pozostałe dwa kąty.
W czworokącie wpisanym w okrąg jeden kąt ma $80^\circ$. Kąt przeciwległy ma
Czworokąt opisany na okręgu ma boki $a=5$, $b=6$, $c=8$. Bok $d$ jest równy
Czworokąt opisany na okręgu ma boki $a=4$, $c=6$, $b=3$. Bok $d$ jest równy
W czworokącie wpisanym w okrąg kąt $\alpha=90^\circ$. Kąt przeciwległy ma
Czworokąt opisany na okręgu ma boki $a=10$, $b=4$, $c=7$. Oblicz bok $d$.
📄Zadania z arkuszy 4
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Czworokąt wypukły \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o promieniu \(4\). Kąty \(BAD\) i \(BCD\) są proste (zobacz rysunek). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego czworokąta przecinają się w punkcie \(E\) tak, że \(|BE|=3\cdot|DE|\) oraz \(|BD|=2\cdot|AE|\).
Oblicz długości boków czworokąta \(ABCD\). Zapisz obliczenia.
Miary kątów trójkąta \(ABC\) są równe \(\alpha=|\angle BAC|\), \(\beta=|\angle ABC|\) i \(\gamma=|\angle ACB|\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki \(AS\) i \(BS\) przecinają boki \(BC\) i \(AC\) tego trójkąta w punktach odpowiednio \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli \(\alpha+\beta=2\gamma\), to na czworokącie \(DCES\) można opisać okrąg.
W trójkącie \(ABC\) kąt wewnętrzny przy wierzchołku \(A\) ma miarę \(50^\circ\), a kąt wewnętrzny przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(60^\circ\). Okrąg \(o_1\) przechodzi przez punkt \(A\) i przecina boki \(AB\) i \(AC\) trójkąta odpowiednio w punktach \(D\) i \(E\). Okrąg \(o_2\) przechodzi przez punkt \(B\), przecina okrąg \(o_1\) w punkcie \(D\) oraz w punkcie \(F\) leżącym wewnątrz trójkąta \(ABC\). Ponadto okrąg \(o_2\) przecina bok \(BC\) trójkąta w punkcie \(G\).
Udowodnij, że na czworokącie \(CEFG\) można opisać okrąg.
Pary liczb \((x,y)\) spełniające układ równań: \(\begin{cases}-4x^2+y^2+2y+1=0\\ -x^2+y+4=0\end{cases}\) są współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego \(ABCD\).
a) Wyznacz współrzędne punktów \(A,B,C,D\).
b) Wykaż, że czworokąt \(ABCD\) jest trapezem równoramiennym.
c) Wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie \(ABCD\).