Stereometria — zbiór zadań (klasa 4 LO) — zadania z rozwiązaniami

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości:

$$V=P_p\cdot H=24\cdot10=240\ \text{cm}^3$$

Pułapka: odpowiedź A ($80$) to wynik podzielenia przez $3$ — wzór z jedną trzecią dotyczy ostrosłupa, a nie graniastosłupa.

Odpowiedź: B. $240$ cm$^3$.

Objętość ostrosłupa jest trzy razy mniejsza niż graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości:

$$V=\frac13 P_p\cdot H=\frac13\cdot27\cdot8$$

Liczymy:

$$V=9\cdot8=72\ \text{cm}^3$$

Wskazówka rachunkowa: najpierw dziel to, co dzieli się bez reszty — $27:3=9$ jest wygodniejsze niż mnożenie $27\cdot8$ i dopiero potem dzielenie.

Odpowiedź: $V=72$ cm$^3$.

Podstawą walca jest koło, więc:

$$V=\pi r^2 H=\pi\cdot3^2\cdot10=\pi\cdot9\cdot10=90\pi\ \text{cm}^3$$

Przybliżenie: $90\pi\approx282{,}7$ cm$^3$.

Uwaga: promień podnosimy do kwadratu, a wysokość zostaje w pierwszej potędze — to najczęstsze źródło pomyłek przy walcu.

Odpowiedź: $V=90\pi\approx283$ cm$^3$.

Stożek jest „ostrosłupem” o okrągłej podstawie, więc również ma współczynnik $\frac13$:

$$V=\frac13\pi r^2 H=\frac13\pi\cdot36\cdot5$$

Liczymy:

$$V=\frac13\cdot180\pi=60\pi$$

Pułapka: odpowiedź A ($180\pi$) to objętość walca o tych samych wymiarach — dokładnie trzy razy większa.

Odpowiedź: C. $60\pi$.

Objętość kuli:

$$V=\frac43\pi r^3=\frac43\pi\cdot27=36\pi\ \text{cm}^3$$

Pole powierzchni kuli:

$$P=4\pi r^2=4\pi\cdot9=36\pi\ \text{cm}^2$$

Ciekawostka: dla $r=3$ obie liczby wychodzą równe $36\pi$, ale to przypadek — mają różne jednostki (cm$^3$ i cm$^2$) i nie należy ich utożsamiać.

Odpowiedź: $V=36\pi\approx113$ cm$^3$, $P=36\pi\approx113$ cm$^2$.

Objętość:

$$V=a^3=4^3=64\ \text{cm}^3$$

Pole powierzchni — sześcian ma $6$ jednakowych ścian kwadratowych:

$$P=6a^2=6\cdot16=96\ \text{cm}^2$$

Przekątna sześcianu (łącząca przeciwległe wierzchołki):

$$d=a\sqrt3=4\sqrt3\approx6{,}93\ \text{cm}$$

Nie mylić z przekątną ściany, która wynosi $a\sqrt2=4\sqrt2\approx5{,}66$ cm — przekątna bryły jest zawsze dłuższa.

Odpowiedź: $V=64$ cm$^3$, $P=96$ cm$^2$, $d=4\sqrt3$ cm.

We wzorze $V=a^3$ krawędź występuje w trzeciej potędze:

$$V_2=(2a)^3=8a^3=8V_1$$

Sprawdźmy na liczbach: dla $a=3$ objętość to $27$, dla $a=6$ objętość to $216$. Rzeczywiście $216:27=8$.

Zestawienie warte zapamiętania: przy skali $k$ długości rosną $k$ razy, pola $k^2$ razy, a objętości $k^3$ razy. Odpowiedź C ($4$ razy) dotyczyłaby pola powierzchni.

Odpowiedź: A. $8$ razy.

Powierzchnia walca to dwie podstawy (koła) plus powierzchnia boczna (rozwinięta w prostokąt).

Krok 1 — pole podstaw:

$$2\pi r^2=2\pi\cdot16=32\pi$$

Krok 2 — pole boczne. Prostokąt ma wymiary: obwód podstawy razy wysokość:

$$2\pi r H=2\pi\cdot4\cdot6=48\pi$$

Krok 3 — sumujemy:

$$P=32\pi+48\pi=80\pi\ \text{cm}^2\approx251\ \text{cm}^2$$

Wzór zbiorczy: $P=2\pi r(r+H)=2\pi\cdot4\cdot10=80\pi$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $P=80\pi\approx251$ cm$^2$.

Krok 1 — tworząca z twierdzenia Pitagorasa. Promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny:

$$l=\sqrt{r^2+H^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole podstawy:

$$P_p=\pi r^2=9\pi$$

Krok 3 — pole boczne:

$$P_b=\pi r l=\pi\cdot3\cdot5=15\pi$$

Krok 4 — pole całkowite:

$$P=9\pi+15\pi=24\pi\ \text{cm}^2\approx75{,}4\ \text{cm}^2$$

Uwaga: w polu bocznym stożka występuje tworząca $l$, a nie wysokość $H$ — to najczęstszy błąd w tym zadaniu.

Odpowiedź: $l=5$ cm, $P=24\pi\approx75$ cm$^2$.

Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy. Każda sześciokątna podstawa ma $6$ wierzchołków:

$$2\cdot6=12$$

Dla porządku pozostałe elementy: krawędzi jest $18$ ($6+6$ w podstawach i $6$ bocznych), a ścian $8$ ($2$ podstawy i $6$ bocznych).

Sprawdzenie wzorem Eulera: $W-K+S=12-18+8=2$ ✔

Odpowiedź: D. $12$ wierzchołków.

Podstawą jest kwadrat o boku $6$ cm.

Krok 1 — objętość:

$$V=P_p\cdot H=36\cdot8=288\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — pole powierzchni. Dwie podstawy plus cztery prostokąty boczne:

$$P=2\cdot36+4\cdot(6\cdot8)=72+192=264\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — przekątna bryły. Najpierw przekątna podstawy:

$$d_p=6\sqrt2$$

Następnie przekątna bryły z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $d_p$ i $H$:

$$d=\sqrt{\left(6\sqrt2\right)^2+8^2}=\sqrt{72+64}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}\approx11{,}7\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $V=288$ cm$^3$, $P=264$ cm$^2$, $d=2\sqrt{34}$ cm.

Krok 1 — objętość:

$$V=\frac13\cdot100\cdot12=\frac{1200}{3}=400\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — wysokość ściany bocznej. Tworzy ona trójkąt prostokątny z wysokością bryły i połową krawędzi podstawy:

$$h=\sqrt{H^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \text{cm}$$

Kluczowa uwaga: drugą przyprostokątną jest połowa krawędzi podstawy ($5$ cm), bo wysokość ściany pada na środek boku. Użycie całych $10$ cm to najczęstszy błąd w tym typie zadania.

Odpowiedź: $V=400$ cm$^3$, wysokość ściany bocznej $13$ cm.

Przekrój osiowy powstaje przez przecięcie bryły płaszczyzną zawierającą oś obrotu.

Dla walca taka płaszczyzna wycina prostokąt, którego jeden bok to średnica podstawy, a drugi to wysokość:

$$2r\times H=10\times8$$

Najczęstszy błąd: użycie promienia zamiast średnicy — stąd błędna odpowiedź C.

Dla porównania: przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, a kuli — koło wielkie.

Odpowiedź: B. prostokąt $10\times8$.

Krok 1 — przekątna podstawy. Kwadrat o boku $4$:

$$d_p=4\sqrt2$$

Krok 2 — identyfikujemy kąt. Przekątna bryły, przekątna podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Szukany kąt $\alpha$ leży między przekątną bryły a przekątną podstawy.

Krok 3 — tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta (wysokość bryły) do przyprostokątnej przy kącie (przekątna podstawy):

$$\tg\alpha=\frac{H}{d_p}=\frac{4}{4\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Przybliżenie: $\tg\alpha\approx0{,}71$, czyli $\alpha\approx35^\circ$.

Uwaga: kąt nachylenia do podstawy mierzymy względem rzutu przekątnej na podstawę, czyli względem przekątnej podstawy — nie względem krawędzi.

Odpowiedź: $\tg\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$.

Krok 1 — krawędź. Z $V=a^3$ wyciągamy pierwiastek trzeciego stopnia:

$$a=\sqrt[3]{125}=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole powierzchni:

$$P=6a^2=6\cdot25=150\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie: $5^3=125$ cm$^3$ ✔

Odpowiedź: krawędź $5$ cm, pole powierzchni $150$ cm$^2$.

Krok 1 — promień to połowa średnicy:

$$r=3\ \text{cm}$$

Krok 2 — objętość kuli:

$$V=\frac43\pi r^3=\frac43\pi\cdot27=36\pi\ \text{cm}^3$$

Pułapka: podstawienie średnicy zamiast promienia dałoby $\frac43\pi\cdot216=288\pi$ — czyli błędną odpowiedź A, ośmiokrotnie za dużą.

Odpowiedź: C. $36\pi$ cm$^3$.

Krok 1 — wysokość słupa wody:

$$h=\frac34\cdot50=37{,}5\ \text{cm}$$

Krok 2 — objętość wody:

$$V=80\cdot40\cdot37{,}5=120\,000\ \text{cm}^3$$

Krok 3 — zamiana na litry. Kluczowa zależność:

$$1\ \text{litr}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$$

$$120\,000:1000=120\ \text{litrów}$$

Kontrola sensu: całe akwarium ma $80\cdot40\cdot50=160\,000$ cm$^3$, czyli $160$ l. Trzy czwarte z tego to $120$ l ✔

Odpowiedź: wlano $120$ litrów wody.

Krok 1 — ustalamy wymiary stożka. Przy obrocie wokół dłuższej przyprostokątnej to ona staje się wysokością, a krótsza zakreśla podstawę i staje się promieniem:

$$H=8\ \text{cm},\qquad r=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\pi r^2 H=\frac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi\ \text{cm}^3$$

Przybliżenie: $96\pi\approx301{,}6$ cm$^3$.

Warto porównać: obrót wokół krótszej przyprostokątnej dałby $H=6$ i $r=8$, czyli $V=\frac13\pi\cdot64\cdot6=128\pi$ — inną bryłę o większej objętości. Oś obrotu ma znaczenie.

Odpowiedź: $V=96\pi\approx302$ cm$^3$.

Krok 1 — objętość walca:

$$V_w=\pi r^2 H=\pi\cdot25\cdot12=300\pi\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — objętość kuli:

$$V_k=\frac43\pi\cdot27=36\pi\ \text{cm}^3$$

Krok 3 — stosunek objętości:

$$\frac{V_k}{V_w}=\frac{36\pi}{300\pi}=\frac{36}{300}=\frac{3}{25}=0{,}12$$

Symbol $\pi$ skraca się, więc wynik jest dokładny, bez zaokrągleń.

Sprawdzenie sensu: kula o średnicy $6$ cm swobodnie mieści się w walcu o średnicy $10$ cm i wysokości $12$ cm, więc wynik poniżej $100\%$ jest wiarygodny.

Odpowiedź: kula zajmuje $\frac{3}{25}$ objętości walca, czyli $12\%$.

Krok 1 — pole podstawy. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $6$:

$$P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13 P_p\cdot H=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot\sqrt3$$

Krok 3 — upraszczamy. Iloczyn $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$:

$$V=\frac13\cdot9\cdot3=9\ \text{cm}^3$$

Warto zauważyć: pierwiastki się zniosły i wynik jest liczbą całkowitą — to dobry sygnał, że rachunki są poprawne.

Odpowiedź: $V=9$ cm$^3$.