Zadanie: Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2+2n+7$ jest podzielna przez $4$.

1. Krok 1: Zapisanie liczby nieparzystej w ogólnej postaci.

   Każda nieparzysta liczba naturalna $n$ może być zapisana w postaci:

   $$n = 2k - 1$$

   gdzie $k \in \mathbb{N}$ (czyli $k = 1, 2, 3, \ldots$).

2. Krok 2: Podstawienie do wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$.

   Podstawiamy $n = 2k - 1$:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 3(2k-1)^2 + 2(2k-1) + 7$$

3. Krok 3: Rozwinięcie i uproszczenie wyrażenia.

   Obliczamy kolejno każdy składnik:

   $$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$$ $$3(2k-1)^2 = 3(4k^2 - 4k + 1) = 12k^2 - 12k + 3$$ $$2(2k-1) = 4k - 2$$

   Sumujemy wszystkie składniki:

   $$3n^2 + 2n + 7 = (12k^2 - 12k + 3) + (4k - 2) + 7$$ $$= 12k^2 - 12k + 4k + 3 - 2 + 7$$ $$= 12k^2 - 8k + 8$$

4. Krok 4: Wyłączenie czynnika $4$ przed nawias.

   Wyłączamy $4$ jako wspólny czynnik:

   $$12k^2 - 8k + 8 = 4(3k^2 - 2k + 2)$$

5. Krok 5: Sformułowanie wniosku.

   Ponieważ $k \in \mathbb{N}$, wyrażenie $3k^2 - 2k + 2$ jest liczbą całkowitą. Zatem:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 4 \cdot (3k^2 - 2k + 2)$$

   co oznacza, że $3n^2 + 2n + 7$ jest iloczynem liczby $4$ i pewnej liczby całkowitej.

Wniosek końcowy: Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ zachodzi:

co dowodzi, że wyrażenie $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielne przez $4$. $\blacksquare$