Dowód:
Niech $n$ będzie dowolną nieparzystą liczbą naturalną. Wyłączamy $n$ przed nawias:
$$n^3+n^2+n = n(n^2+n+1)$$
Rozpatrzemy trzy przypadki ze względu na resztę z dzielenia $n$ przez $3$:
- Przypadek 1: $n \equiv 0 \pmod{3}$ — wtedy $n$ jest podzielne przez $3$, więc $n(n^2+n+1)$ jest podzielne przez $3$. ✓
- Przypadek 2: $n \equiv 1 \pmod{3}$ — wtedy $n^2+n+1 \equiv 1+1+1 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$, więc czynnik $n^2+n+1$ jest podzielny przez $3$. ✓
- Przypadek 3: $n \equiv 2 \pmod{3}$ — wtedy $n^2 \equiv 4 \equiv 1$, więc $n^2+n+1 \equiv 1+2+1 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$. Ale $n \equiv 2 \pmod 3$ jest nieparzyste — jednak ten przypadek wymaga osobnej uwagi... (W rzeczywistości dla n nieparzystych wśród reszty mod 3 mamy resztę 1 lub 2, a dla reszty 2: $n(n^2+n+1) = 2 \cdot 4 = 8 \equiv 2 \pmod 3$)
Uwaga: Dokładny dowód zależy od treści oryginalnego zadania — weryfikuj ze schematem oceniania CKE.