Krok 1. Wprowadzenie środków krawędzi.
Niech \(M\) będzie środkiem krawędzi \(AS\), a \(N\) — środkiem krawędzi \(BC\).
Krok 2. Odcinki \(BM\) i \(CM\).
Trójkąt \(ABS\) jest równoramienny (\(|AB|=|SB|=9\)), więc środkowa \(BM\) jest jednocześnie wysokością:
\(|BM|=\sqrt{9^2-4^2}=\sqrt{81-16}=\sqrt{65}\)
Analogicznie z trójkąta \(ACS\) (\(|AC|=|SC|=9\)):
\(|CM|=\sqrt{65}\)
Krok 3. Prostopadłość krawędzi \(AS\) do płaszczyzny \(BMC\).
Mamy \(AS\perp BM\) oraz \(AS\perp CM\), a proste \(BM\) i \(CM\) przecinają się w punkcie \(M\), zatem:
\(AS\perp\) płaszczyzna \(BMC\)
Krok 4. Pole trójkąta \(BMC\).
Trójkąt \(BMC\) jest równoramienny (\(|BM|=|CM|=\sqrt{65}\)) o podstawie \(|BC|=8\), więc jego wysokość \(MN\) wynosi:
\(|MN|=\sqrt{65-16}=\sqrt{49}=7\)
\(P_{BMC}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 7=28\)
Krok 5. Objętość.
Płaszczyzna \(BMC\) dzieli ostrosłup na dwa ostrosłupy o wspólnej podstawie \(BMC\) i wierzchołkach \(A\) oraz \(S\). Ponieważ \(AS\perp\) płaszczyzna \(BMC\), wysokościami tych ostrosłupów są odcinki \(AM\) i \(SM\), każdy o długości \(4\):
\(V=\frac{1}{3}\cdot 28\cdot 4+\frac{1}{3}\cdot 28\cdot 4=\frac{1}{3}\cdot 28\cdot 8=\frac{224}{3}\)
Odpowiedź: \(V=\frac{224}{3}\approx 74{,}67\)