Krok 1. Zapisanie warunku za pomocą funkcji trygonometrycznych.
Niech \(a\), \(b\) będą przyprostokątnymi (\(a\gt b\)), a \(c\) — przeciwprostokątną, oraz niech \(\alpha\) będzie kątem ostrym leżącym naprzeciw boku \(a\). Wtedy \(\sin\alpha=\frac{a}{c}\), \(\cos\alpha=\frac{b}{c}\), a warunek zadania przyjmuje postać:
\(\frac{a-b}{c}=\frac{1}{2}\), czyli \(\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{1}{2}\)
Krok 2. Podniesienie do kwadratu.
\(\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=\frac{1}{4}\)
\(1-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}\)
\(2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{4}\)
Krok 3. Równanie kwadratowe.
Podstawiamy \(\sin\alpha=\cos\alpha+\frac{1}{2}\) do jedynki trygonometrycznej:
\(\left(\cos\alpha+\frac{1}{2}\right)^2+\cos^2\alpha=1\)
\(2\cos^2\alpha+\cos\alpha-\frac{3}{4}=0\)
Mnożymy przez \(4\):
\(8\cos^2\alpha+4\cos\alpha-3=0\)
\(\Delta=16+96=112\), \(\;\sqrt{\Delta}=4\sqrt{7}\)
\(\cos\alpha=\frac{-4\pm 4\sqrt{7}}{16}=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{4}\)
Krok 4. Wybór rozwiązania i drugi kąt.
Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha\gt 0\) i odrzucamy wartość ujemną:
\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}-1}{4}\)
Drugi kąt ostry spełnia \(\beta=90^\circ-\alpha\), zatem:
\(\cos\beta=\sin\alpha=\cos\alpha+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}-1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{\sqrt{7}+1}{4}\)
Sprawdzenie: \(\left(\frac{\sqrt{7}-1}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{7}+1}{4}\right)^2=\frac{8-2\sqrt{7}+8+2\sqrt{7}}{16}=1\) ✓
Odpowiedź: \(\frac{\sqrt{7}-1}{4}\) oraz \(\frac{\sqrt{7}+1}{4}\)